Bài tập ôn tập Hình học Lớp 9 - Chương 4: Hình trụ. Hình nón. Hình cầu

 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
 Chương
 4 HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
 Bài 1 Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể 
 tích hình trụ
 Tóm tắt lý thuyết
 1. Hình trụ
 Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quay 
 cạnh CD cố định, ta được một hình trụ (h.73). 
 Khi đó:
  Hai đáy là hai hình tròn C và D bằng 
 nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
  Đường thẳng CD là trục của hình trụ.
  AB là một đường sinh. Đường sinh vuông góc 
 với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là chiều 
 cao hình trụ. Hình 73
 2. Diện tích xung quanh của hình trụ
 Sxq 2 Rh.
 2
 Stp 2 Rh 2 R .
 3. Thể tích hình trụ
 V Sh R2h ( R là bán kính đáy, h là chiều cao, S là diện tích đáy).
 Các ví dụ
 Ví dụ 1.
Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 2 cm, chiều cao là 6 cm. Hãy tính:
1. Diện tích xung quanh của hình trụ.
2. Diện tích toàn phần của hình trụ.
3. Thể tích hình trụ.
  Lời giải
 1 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
  Lời giải
1. Diện tích xung quanh của hình trụ là
 2
 Sxq 2 Rh 2 26 24 243,14 75,36 cm 
2. Diện tích toán phần của hình trụ là
 2 2 2
 Stp 2 Rh 2 R 2 26 2 2 24 8 32 323,14 100,48 cm 
3. Thể tích hình trụ là:
V R2h .22.6 24 24.3,14 75,36 (cm3 ).
  Ví dụ 2. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 20 cm2 và diện tích toàn phần là 28 cm2 . 
 Tính thể tích của hình trụ đó.
  Lời giải
 Stp SXq 28 20 2
Ta có Sd 4 cm .
 2 2
 2 2
Mà Sd R R 4 R 2( cm)
 20 10
Ta có S 2 Rh h 5 ( cm)
 xq 2 R 2
Thể tích của hình trụ đó là V R2h 22 5 20 62,8 cm3 .
  Ví dụ 3. Một hình trụ có chiều cao bằng 5 cm . Biết diện tích toàn phần gấp đôi diện tích xung 
 quanh. Tính thể tích hình trụ.
  Lời giải
Vì diện tích toàn phần bằng hai lần diện tích xung quanh nên 
 2 Rh 2 R2 4 Rh 2 R2 2 Rh R h.
Vậy bán kính đáy là 5 cm .
 Thể tích của hình trụ là V R2h 52 5 125 cm3 .
  Ví dụ 4. Một thùng phuy hình trụ có số đo diện tích xung quanh (tính bằng mét vuông) đúng 
 bằng số đo thể tích (tính bằng mét khối). Tính bán kính đáy của hình trụ.
  Lời giải
Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h. 
 2 2 3
Ta có SXq 2 Rh m ; V R h m .
Theo đề bài hai số đo trên bằng nhau nên ta có 2 Rh R2h suy ra 
 R 2 ( m) .
  Ví dụ 5. Một lọ hình trụ được "đặt khít" trong một hộp giấy hình hộp chữ nhật. Biết thể tích của 
 lọ hình trụ là 270 cm3 , tính thể tích của hộp giấy.
  Lời giải
 2 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
Gọi bán kính và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h. 
Khi đó hình hộp chữ nhật có cạnh đáy là 2 R và chiều cao là h. Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của 
hình trụ và hình hộp. 
 2
 V1 R h 270 
Ta có 2 . Do đó .
 V2 4R h V2 4
 2704 3
Suy ra V2 344 cm 
Vậy thể tích hình hộp là 344 cm3 .
  Ví dụ 6. Cho hình chữ nhật ABCD với AB 2a, BC a . Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh 
 cạnh AB một vòng thì được hình trụ có thể tích V1 và khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC 
 V1
 một vòng thì được hình trụ có thể tích V2 . Tính tỉ số 
 V2
  Lời giải
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh A B một vòng thì được hình trụ có chiều cao h AB 2a , 
bán kính đáy R BC a nên có thể tích
 2 2 3
V1 R h a 2a 2 a (dvtt) .
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh canh B C một vòng thì được 
hình trụ có chiều cao h BC a , bán kính đáy R CD 2a nên 
có thể tích
 2 2 3
V2 R h (2a) a 4 a ( dtt ) .
 3
 V1 2 a 1
Vậy 3 .
 V2 4 a 2
  Ví dụ 7. Một hộp sữa hình trụ có chiều cao hơn đường kính là 3 cm . Biết diện tích vỏ hộp (kể cả 
 nắp) là 292,5 cm2 . Tính thể tích của hộp sữa đó.
  Lời giải
Gọi R là bán kính đáy của hộp sữa, h là chiều cao của nó. Ta có h 2R 3. Vì diện tích toàn phần 
của hộp sữa là 292,5 cm2 nên
 2 R(h R) 292,5 
 2 R(h R) 292,5 
 2 R(2R 3 R) 292,5 
 R(R 1) 48,75
 R2 R 48,75 0
Giải ra được R1 6,5 (chọn); R2 7,5 (loại). 
Vậy bán kính đáy hộp sữa là 6,5 cm .
 3 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
Chiều cao hộp sữa là 16 cm . Thể tích hộp sữa là V R 2h (6,5)2 16 676 cm3 .
 Luyện tập
Bài 1. Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6 cm , chiều cao là 9 cm . Hãy tính
1. Diện tích xung quanh của hình trụ.
2. Thể tích của hình trụ.
  Lời giải
1. Diện tích xung quanh của hình trụ là 2 69 108 cm2 .
2. Thể tích của hình trụ là 62 9 324 cm3 .
Bài 2. Một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 8 cm,5 cm . Quay hình chữ nhật đó 
một vòng quanh chiều dài hay chiều rộng thì thể tích lớn hơn?
  Lời giải
Khi quay quanh chiều dài thì R 5,h 8 ( cm) . 
 2 3
V1 5 8 200 cm 
Khi quay quanh chiều rộng thì R 8,h 5 ( cm) . 
 2 3
V2 8 5 320 cm 
Vì V2 V1 nên khi quay quanh chiều rộng thì thể tích sẽ lớn hơn khi quay quanh chiều dài.
Bài 3. Người ta cắt hình trụ bằng một mặt phẳng chứa trục. Biết thiết diện là một hình vuông có 
diện tích bằng 36 cm2 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
  Lời giải
Độ dài mỗi cạnh của thiết diện là a 35 6( cm) . 
Vậy chiều cao của hình trụ là h 6( cm) , bằng đường kính của đáy hình 
trụ. Ta có 2R 6 do đó R 3( cm) .
Diện tích xung quanh của hình trụ là 
 2
 SXq 2 Rh 2 36 113,4 cm 
Thể tích của hình trụ là V R2h 32 6 169,56 cm3 .
Bài 4. Một hình trụ có chu vi đáy là 24 cm và diện tích toàn phần là 768 cm2 . Tính thể tích của 
hình trụ. 
  Lời giải
 C 24 
Ta có C 2 R , suy ra R 12( cm) . 
 2 2 
Vì dện tích toàn phần của hình trụ là 768 cm2 nên 
 2 R(h R) 768 , hay 2 12(h 12) 768 h 12 32
 4 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
 h 20( cm)
Vậy thể tích của hình trụ là V R2h 122 20 2880 cm3 .
 3
Bài 5. Tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của một hình trụ là . Biết bán kính 
 5
đáy là 6 cm , tính chiều cao của hình trụ.
  Lời giải
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h. ta có 
 Sxq 2 Rh 2 6h 12 h
 Sxq 3
 Stp 2 R(h R) 2 6(h 6) . Theo đề bài ta có .
 Stp 5
 12 h 3
Suy ra . Giải ra ta được h 9( cm) .
 12 (h 6) 5
Bài 6. Một hình trụ có thể tích là 300 cm3 và diện tích xung quanh là 120 cm2 . Tính diện tích toàn 
phần của hình trụ đó.
  Lời giải
Gọi bán kính đáy và chiểu cao của hình trụ lần lượt là R và h. 
Ta có V R2h 300 cm3 .
 2
 SXq 2 Rh 120 cm 
 R2h 300
Do đó R 5 ( cm) .
 2 Rh 120
 2 2
 Stp 2 Rh 2 R 120 157 277 cm 
Bài 7. Một hình trụ có diện tích xung quanh là 24 cm2 và diện tích toàn phần là 42 cm2 . Tính 
thể tích của hình trụ đó.
  Lời giải
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h. 
Ta có
 Stp SXq 42 24 2
 Sd 9 cm 
 2 2
 2
 Sd 9 R 9 R 3 ( cm)
 S
Ta có S 2 Rh h Xq 4 ( cm) .
 Xq 2 R
Do đó thể tích của hình trụ là V R2h 32 4 36 cm3 .
Bài 8. Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao, thiết diện đi qua trục có diện tích bằng 72 cm2 . 
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ. 
 5 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
  Lời giải
Gọi bán kính đáy là R , chiều cao là h. Theo đề bài ta có R h và 
 2
 2Rh 72 R 36 R1 6(thỏa mãn), R2 6 (loại). 
Do đó R h 6 cm .
Diện tích xung quanh bằng 2 Rh 2  Rh 2 66 72 cm2 .
Diện tích toàn phần bằng 
 2 Rh 2 R2 2 66 2 62 144 cm2 .
Thể tích của hình trụ bằng R2h 62 6 216 cm3 .
Bài 9. Một hình trụ có chiều cao là 18 cm và diện tích toàn phần là 176 cm2 . Chứng minh rằng diện 
tích xung quanh hình trụ bằng 9 lần diện tích đáy.
  Lời giải
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h. 
Vì diện tích toàn phần bằng 176 cm2 nên ta có
 2 R(h R) 176 2 R(18 R) 176 R2 18R 88 0
Giải ra được R1 4 (chọn); R2 22 (loại). Vậy diện tích đáy hình trụ là 
 2 2
 Sd R 16 cm . Diện tích xung quanh hinh tru là 
 2 Sxq 144 
 SXq 2 Rh 2 418 144 cm . Do đó 9 (lần).
 Sd 16 
Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD có AB BC . Biết diện tích hình chữ nhật là 48 cm2 , chu vi là 
 28 cm . Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB một vòng ta đuợc một hình trụ. Tính dện tích xung 
quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ này.
  Lời giải
 AB BC 14
Từ đề bài ta có 
 AB  BC 48 . 
Suy ra AB, CD là nghiệm của phương trình: x2 14x 48 0 . 
Giải phương trình ta đươc x1 6, x2 8 . 
Do AB BC nên AB 8; BC 6 .
 2
1. Diện tích xung quanh của hình trụ là SXq 2  BC  AB 2 68 96 cm 
 2 2 2
2. Diện tích toàn phần của hình trụ là Stp SXq 2Sd 96 2 R 96 2 6 168 cm 
3. Thể tích của hình trụ là V  BC 2  AB 62 8 288 cm3 .
 6 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
 Hình nón – Hình nón cụt – Diện tích xung 
 Bài 2
 quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
 Tóm tắt lý thuyết
 • Mô tả hình nón
+) Đáy của hình nón là hình tròn (O) ;
+) SA là đường sinh. 
+) S là đỉnh, SO là đường cao.
 • Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
 Sxq rl
 2
 Stp rl r
 (r,l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón).
 1
Thể tích hình nón V r 2h (h là chiều cao).
 3
 • Hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần 
mặt phẳng bị giới hạn bởi hình nón là một hình tròn. Phần hình 
tròn nằm giữa mặt phẳng nói trên và đáy là một hình nón cụt.
 • Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón cụt
 Sxq (R r)l
 2 2
 Stp (R r)l R r
(R, r lần lượt là bán kính hai đáy, l là độ dài đường sinh của hình nón cụt).
 • Thể tích hình nón cụt:
 V h R2 r 2 Rr 
 3
 (h là đường cao của hình nón cụt).
Hình khai triển mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt.
Một hình nón được xác định khi biết 2 trong 3 yếu tố: bán kính đáy, chiều cao, đường sinh.
 Các ví dụ
 7 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
  Ví dụ 1.Một hình nón có bán kính đáy bằng r , diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. 
 Tính theo r
 1. Diện tích xung quanh của hình nón;
 2. Thể tích của hình nón.
  Lời giải
1. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy nên rl 2 r 2 , suy ra 
 l 2r . 
Vậy rl r 2r 2 r 2 . 
Diện tích xung quanh bằng 2 r 2 .
2. Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có h2 l2 r2 (2r)2 r2 3r 2 
nên h r 3 .
  Ví dụ 2. Một hình nón có bán kính đáy bằng r , đường sinh bằng l . Khai triển mặt xung quanh 
 hình nón ta được một hình quạt. Tính số đo cung của hình quạt theo r và l .
  Lời giải
Khi cắtmặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. 
Khi đó bán kính hình quạt tròn SBC bằng độ dài đường sinh SB l và độ dài B»C bằng chu vi đáy. 
Độ dài B»C của hình quạt bằng chu vi đáy của hình nón bằng 2 r . Độ dài đường tròn (S;SA) bằng 
 2 l.
Ta có 
 2 l 2 n 2 l 2 n l n
 S l 2 r l 2 r r .
 q 360 360 360
Do đó, số đo cung AB của hình quạt là
 2 r r
 n 360  360  .
 2 l l
  Ví dụ 3. Một hình nón cụt có các bán kính đáy bằng a và 2a, chiều cao bằng a.
 1. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt;
 2. Tính thể tích của hình nón cụt.
  Lời giải
1. Trong mặt phẳng OABO , kẻ AH  O B . Ta có O H OA a nên HB a . 
Tam giác AHB vuông cân nên AB HB 2 a 2
 2
Ta có Sxq r1 r2 l (a 2a)a 2 3 a 2 .
2. Tính thể tích của hình nón cụt:
 1 7
V a a2 (2a)2 a 2a a3 .
 3 3
 8 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
  Ví dụ 4. Một hình nón có bán kính đáy bằng 20 cm , số đo thể tích 
 (tính bằng cm2 ) bằng bốn lần số đo diện tích xung quanh (tính bằng 
 cm2 ). Tính chiều cao của hình nón.
  Lời giải
Gọi h là chiều cao của hình nón. Thể tích của hình nón bằng
 1 400
V 202 h h.
 3 3
 2 2 2
Đường sinh SA bằng h 20 . Diện tích xung quanh của hình nón bằng Sxq 20 h 400
Do V 4Sxq nên
 400
 h 420 h2 400
 3
 5h 3 h2 400
 25h2 9 h2 400 
 h2 225 h 15.
Vậy chiều cao của hình nón bằng 15 cm .
  Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC 10 cm , đường cao AH 4 cm . Quay tam giác 
 ABC một vòng quanh cạnh BC . Tính thể tích hình tạo thành.
  Lời giải
Khi quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC , hình tạo thành 
gồm hai hình nón có đường cao theo thứ tự là HB và HC . Thể tích 
của hình tạo thành bằng.
 1 1 1
  AH 2  BH  AH 2 CH  AH 2 (BH CH )
 3 3 3
 1 1 160
  AH 2.BC 42.10 (cm3 ) .
 3 3 3
  Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC 10 cm , đường cao AH 4 cm . Quay tam giác 
 ABC một vòng quanh cạnh BC . Tính thể tích hình tạo thành.
  Lời giải
 9 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hình trụ - hình nón – hình cầu.
Quay tam giác vuông cân ABC một vòng quanh cạnh góc vuông AB cố 
định, ta được hình nón đỉnh B , đường sinh BC , bán kính đường tròn 
đáy là AC .Tam giác ABC vuông cân tại A , theo định lý Pitago, ta có 
 2
 AB2 AC 2 BC 2 hay 2AC 2 3 2 18, suy ra AC 2 9 , do đó 
 AC 3 ( cm).
Diện tích xung quanh của nón là 
 2
 Sxq  AC  BC 33 2 9 2 39,85 cm .
 1 1 1
Thể tích hình nón là V AC 2  AB  AC3 33 9 cm3 .
 3 3 3
 Luyện tập
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, Bˆ 60 và BC 2a (đơn vị độ dài). Quay xung quanh 
tam giác một vòng quanh cạnh huyền BC . Tìm diện tích xung quanh và thể tích hình tạo thành.
  Lời giải
Khi quay tam giác vuông ABC một vòng xung quanh cạnh huyền BC , ta được hai hình nón có các 
đáy úp vào nhau, bán kính đường tròn đáy bằng đường cao AH kẻ từ A đến cạnh huyền BC . Ta có 
 a 3
 AH (đơn vị độ dài). 
 2
 a2(3 3)
Diện tích xung quanh hình tạo thành là S  AH (AB AC) (đơn vị diện tích). 
 2
 1 a3
Thể tích hình tạo thành là V  AH 2  BC (đơn vị thể tích). 
 3 2
 Bài 2. Một hình nón có bán kính đáy bằng 7 cm , chiều cao bằng 24 cm .
1. Tính số đo cung hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón;
2. Tính diện tích toàn phần của hình nón;
3. Tính thể tích của hình nón.
 10