Bài tập ôn tập Hình học Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn

 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
 Chương
 2 ĐƯỜNG TRềN
 Bài 1 Sự xỏc định đường trũn. Tớnh chất đối xứng 
 của đường trũn.
 Túm tắt lý thuyết
1. 1 Định nghĩa đường trũn
Định nghĩa .
Đường trũn tõm O bỏn kớnh R (với R 0 ) là hỡnh gồm cỏc điểm cỏch đều 
điểm O một khoảng khụng đổi bằng R .
Đường trũn tõm O bỏn kớnh R được kớ hiệu là (O; R) , ta cũng cú thể kớ 
hiệulà (O) khi khụng cần chỳ ý đến bỏn kớnh.
Nhận xột. Cho đường trũn (O; R) và một điểm M . Khi đú
  M nằm trờn (O; R) khi và chỉ khi OM R .
  M nằm bờn trong (O; R) khi và chỉ khi OM R .
  M nằm bờn ngoài (O; R) khi và chỉ khi OM R .
1.2 Cỏch xỏc định đường trũn
 1. Một đường trũn được xỏc định khi biết tõm và bỏn kớnh của nú.
 2. Một đường trũn được xỏc định khi biết một đoạn thẳng là đường kớnh của đường trũn đú.
 3. Qua ba điểm khụng thẳng hàng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường trũn.
1.3 Tớnh chất đối xứng của đường trũn
Tớnh chất 2. Đường trũn là hỡnh cú tõm đối xứng. Tõm của đường trũn là tõm đối xứng của đường trũn 
đú. 
Tớnh chất 3. Đường trũn là hỡnh cú trục đối xứng. Bất kỡ đường kớnh nào cũng là trục đối xứng của 
đường trũn.
 1 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
 ! Đường trũn cú một tõm đối xứng và cú vụ số trục đối xứng.
 Cỏc vớ dụ
  Vớ dụ 1. Cho tam giỏc ABC vuụng tai A . Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn đi qua ba 
 đỉnh của tam giỏc.
 Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC .
 BC
Ta cú AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nờn AM .
 2
 BC
Suy ra MA MB MC .
 2
 BC
Vậy đường trũn đi qua ba đỉnh của tam giỏc ABC cú tõm là điểm M và bỏn kớnh R .
 2
  Vớ dụ 2. Chứng minh rằng: Nếu một tam giỏc cú một cạnh là đường kớnh của đường trũn đi qua 
 ba đỉnh của tam giỏc thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng.
 Lời giải
Xột tam giỏc ABC cú ba đỉnh nằm trờn đường trũn O đường kớnh BC .
Ta cú OA OB OC (vỡ là bỏn kớnh của O ) .
 BC
Lỳc đú OA là trung tuyến ứng với cạnh BC và AO .
 2
Vậy tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng tại A .
! Đường trũn qua ba đỉnh của một tam giỏc vuụng thỡ nú cú tõm là trung điểm của cạnh huyền và bỏn 
kớnh bằng phõn nửa độ dài cạnh huyền. Ngược lại, một đường trũn đi qua ba đỉnh của một tam giỏc 
nhận một canh của tam giỏc đú là đường kớnh thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng.
  Vớ dụ 3. Cho tam giỏc đều ABC cú cạnh bằng a . Tớnh bỏn kớnh của đường trũn đi qua ba đỉnh 
 của tam giỏc ABC .
 Lời giải
 2 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . 
Dựng cỏc đường trung trực của cỏc cạnh AB, BC, AC , cỏc đường trung 
trực này đồng quy tại O , suy ra O là tõm đường trũn đi qua ba đỉnh của 
tam giỏc ABC . Bỏn kớnh của O là R OA OB OC .
Vỡ tam giỏc ABC là tam giỏc đều nờn cỏc đường trung trực này cũng là 
đường trung tuyến của tam giỏc ABC . Suy ra O cũng là trọng tõm của 
tam giỏc ABC .
 2
 2 2 2 a a 3
Trong tam giỏc ABM vuụng tại M ta cú AM AB BM a .
 2 2
 2 2 a 3 a 3
Lại cú OA AM  .
 3 3 2 3
 a 3
Vậy bỏn kớnh đường trũn đi qua ba đỉnh của tam giỏc ABC là R .
 3
  Vớ dụ 4. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB 12cm, BC 5 cm. Chứng minh rằng bốn điểm 
 A, B,C,D cựng thuộc một đường trũn. Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn đú.
 Lời giải
Gọi O là giao điểm AC và BD.Khi đú O là trung điểm của AC, BD.
Mà ABCD là hỡnh chữ nhật nờn AC BD .
Do đú OA OB OC OD hay bốn điểm A, B,C,D cựng thuộc một 
 AC
đường trũn (O) , bỏn kớnh R OA .
 2
 AC
Tam giỏc ABC vuụng tại B nờn AC AB2 BC 2 122 52 13 . Suy ra R 6,5 cm .
 2
Vậy bốn điểm A, B,C,D cựng thuộc một đường trũn (O) bỏn kớnh R 6,5 cm
! Đường trũn qua bốn đỉnh của hỡnh chữ nhật ABCD cú tõm là giao điểm của hai đường chộo và bỏn 
kớnh của nú bằng một nửa độ dài đường chộo của hỡnh chữ nhật đú.
  Vớ dụ 5. Cho (O) với hai đường kớnh AC và DB vuụng gúc với nhau. Chứng minh rằng 
 ABCD là hỡnh vuụng.
 Lời giải
Tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo AC và DB là đường kớnh của đường 
trũn (O) nờn ABCD là hỡnh chữ nhật.
Lại cú AC  BD .
Vậy ABCD là hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau nờn
 ABCD là hỡnh vuụng.
 3 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
  Vớ dụ 6. Cho hỡnh thang cõn ABCD với AB // CD và AB CD . Chứng minh rằng bốn điểm 
 A, B,C,D cựng thuộc một đường trũn.
 Lời giải
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Do ABCD là hỡnh thang cõn với hai đỏy AB,CD nờn MN là đường trung 
trực của AB,CD.
Gọi P là trung điểm của BC. Qua P dựng đường trung trực của BC cắt 
 MN tại O . Ta cần chứng minh OA OB OC OD.
Thật vậy, vỡ O nằm trờn đường trung trực của AB nờn OA OB .
Mà MN cũng là trung trực của CD nờn OC OD .
Hơn nữa, O nằm trờn đường trung trực của BC nờn OB OC . Từ đú suy ra OA OB OC OD .
Vậy bốn điểm A, B,C,D cựng thuộc một đường trũn (O) bỏn kớnh R OA.
  Vớ dụ 7. Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy, hóy xỏc định vị trớ của mỗi điểm A 1; 1 , B 1; 2 ,
 C 2; 2 đối với đường trũn tõm O bỏn kớnh 2.
 Lời giải
OA là cạnh huyền trong tam giỏc vuụng cõn cạnh bằng 1nờn 
 OA 12 12 2 2, suy ra Anằm bờn trong O;2 .
OB là cạnh huyền trong tam giỏc vuụng cú hai cạnh là1 ; 2 
 nờn OB 12 22 5 2, suy ra B nằm bờn ngoài O;2 .
OC là cạnh huyền trong tam giỏc vuụng cõn cạnh bằng 2
 2 2
 nờnOC 2 2 2, suy ra C nằm trờn O;2 .
  Vớ dụ 8. Cho gúc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc tia Ax . Dựng đường O đi qua hai điểm B và 
 C sao cho tõm nằm trờn tia Ay .
 Lời giải
Giả sử đó dựng được (O) thỏa món đề bài. Khi đú OB OC bằng bỏn 
kớnh, nờn O nằm trờn đường trung trực d của BC.
Lại cú O thuộc Ay nờn O là giao điểm của d và Ay.
Cỏch dựng: Dựng đường trung trực d của BC cắt Ay tại O . Dựng đường 
trũn tõm O bỏn kớnh OB thỡ đú là đường trũn phải dựng (như hỡnh vẽ).
  Vớ dụ 9. Một tấm bỡa hỡnh trũn khụng cũn dấu vết của tõm. Hóy tỡm lại tõm của hỡnh trũn đú.
 4 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
 Lời giải.
Cỏch 1. Trờn đường trũn của tấm bỡa lấy ba điểm A , B , C khụng trựng 
 A
nhau.
Nối A với B và B với C .
Dựng cỏc đường trung trực của AB và BC chỳng cắt nhau tại O , khi đú O
 O là tõm của đường trũn đi qua ba đỉnh của tam giỏc ABC hay O là tõm 
của tấm bỡa hỡnh trũn.
 B C
Cỏch 2. Gấp tấm bỡa sao cho hai phần của hỡnh trũn trựng nhau, nếp gấp là A
một đường kớnh.
 D
Lại gấp như trờn theo nếp gấp khỏc, ta được một đường kớnh thứ hai. O
Giao điểm của hai đường kớnh này là tõm của tấm bỡa hỡnh trũn. C
 B
  Vớ dụ 10. Cho tứ giỏc ABCD cú Cà + Dà = 90°. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của 
 AB , BD , DC , CA. Chứng minh rằng bốn điểm M , N , P , Q cựng thuộc một đường trũn.
 Lời giải
Gọi I là giao điểm của AD và BC . I
Vỡ Cà + Dà = 90° nờn Dã IC = 90° . 1 2
 B
 M
Do M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , A
 1 2
 BD , DC và CA nờn MN , NP , PQ , QM lần 
 Q
lượt là đường trung bỡnh của tam giỏc ABD , BCD , N
 ACD , ABC .
Suy ra MN // AD , PQ // AD , MQ // BC , NP // BC D P C
do đú MN // PQ , NP // MQ .
Vậy tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành.
 Mả Ià
 1 1 ã ả ả à à
Lại cú: (gúc đồng vị). Khi đú NMQ M1 M 2 I1 I2 90 .
 ả à
 M 2 I2
Do đú MNPQ là hỡnh chữ nhật.
Theo vớ dụ 4 thỡ bốn điểm M , N , P , Q cựng thuộc một đường trũn.
 Luyện tập
 Bài 1. Cho tam giỏc ABC cõn tại A , BC 12cm , chiều cao AH 4cm . Tớnh bỏn kớnh của đường 
 trũn đi qua ba đỉnh của tam giỏc ABC .
 Lời giải
 5 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
Vỡ tam giỏc ABC cõn tại A nờn đường cao AH cũng là đường A
trung trực của đoạn BC . M
 B C
Qua truing điểm M của AB kẻ đường trung trực của AB cắt H
đường thẳng AH tại O . Khi đú O là tõm của đường trũn đi qua O
ba đỉnh của tam giỏc ABC .
Bỏn kớnh của đường trũn (O) là R = OA = OB .
 2
 2 2 2 2 ổBC ử 2
Tam giỏc BOH vuụng tại H nờn BO = BH + OH Û BO = ỗ ữ + (OA- AH )
 ốỗ 2 ứữ
 Û R2 = 36+ (R- 4)2
 Û 8R = 52
 Û R = 6,5 .
Vậy bỏn kớnh của đường trũn đi qua ba đỉnh của tam giỏc ABC bằng 6,5 cm .
 Bài 2. Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú ba đỉnh nằm trờn đường trũn (O). Đường cao AH cắt (O)
 ở D . Biết BC 24 cm , AC 20 cm . Tớnh chiều cao AH và bỏn kớnh đường trũn (O).
 Lời giải
Vỡ tam giỏc ABC cõn tại A nờn đường cao AH cũng là đường trung A
trực của đoạn BC , suy ra H là trung điểm của đoạn BC và tõm O 
của đường trũn đi qua ba đỉnh của tam giỏc ABC nằm trờn đường 
cao AH . O
Tam giỏc ACH vuụng tại H nờn B H C
 AH AC 2 CH 2 202 122 16 cm 
 D
Vỡ AD là đường kớnh của đường trũn O nờn tam giỏc ACD vuụng tại C . Áp dụng hệ thức về cạnh 
và đường cao trong tam giỏc vuụng ACD ta cú
 AC 2 202
 AC 2 = AD.AH Û AD = ị AD = = 25 (cm).
 AH 16
 AD 25
Vậy AH 16 cm và bỏn kớnh đường trũn (O) là R = = cm .
 2 2
 Bài 3. Cho hỡnh thang cõn ABCD (với AD // BC ) cú AB = 12 cm , AC = 16 cm , BC 20 cm . 
 Chứng minh rằng A , B , C , D cựng thuộc một đường trũn. Tớnh bỏn kớnh đường trũn đú.
 6 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
Vỡ ABCD là hỡnh thang cõn với hai đỏy AD , BC nờn A D
 AB = CD = 12 cm và BD = AC = 16 cm .
Gọi O là trung điểm của BC .
Xột tam giỏc ABC cú: B
 O C
 AB2 + AC 2 = 122 + 162 = 400ùỹ
 ýù ị ABC vuụng tại A .
 2 2 ù
 BC = 20 = 400 ỵù
Do tam giỏc ABC vuụng tại A nờn ba đỉnh của tam giỏc ABC cựng thuộc đường trũn O .
Tương tự ta cũng cú tam giỏc BCD vuụng tại D nờn ba đỉnh của tam giỏc BCD cựng thuộc đường 
trũn O .
 BC
Vậy bốn điểm A , B , C , D cựng thuộc đường trũn O cú bỏn kớnh R 10 cm .
 2
 Bài 4. Cho đường trũn O đường kớnh AB , M , N thuộc O sao cho AM BN và M , N 
 nằm trờn hai nửa đường trũn khỏc nhau. Chứng minh MN là đường kớnh của O .
 Lời giải
Vỡ M , N thuộc O đường trũn đường kớnh AB nờn tam giỏc ABM , M
 ABN là cỏc tam giỏc vuụng lần lượt tại M , N .
 ABM vuụng tại M và ABN vuụng tại N cú cạnh huyền AB 
 A B
chung và AM BN nờn ABM ABN , suy ra BM AN . O
Tứ giỏc AMBN cú AM BN và BM AN nờn AMBN là hỡnh bỡnh 
hành. N
Lại cú ãAMB 90 nờn tứ giỏc AMBN là hỡnh chữ nhật.
Do đú MN là đường kớnh của đường trũn O .
 Bài 5. Cho tứ giỏc ABCD cú Bà = Dà = 90° .
 1. Chứng minh bốn điểm A , B , C , D cựng thuộc một đường trũn.
 2. Nếu AC BD thỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh gỡ?
 Lời giải
 1. Gọi O là trung điểm của AC . B
 Vỡ tam giỏc ABC vuụng tại B nờn ba đỉnh A , B , C 
 cựng thuộc đường trũn O .
 A C
 O
 Vỡ tam giỏc ADC vuụng tại D nờn ba đỉnh A , D , C 
 cựng thuộc đường trũn O .
 D
 Vậy bốn điểm A , B , C , D cựng thuộc đường trũn O cú 
 đường kớnh AC .
 7 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
 2. Nếu BD AC thỡ BD là đường kớnh của đường trũn O , suy B
 ra Bã AD = 90° .
 à à à A C
 Khi đú tứ giỏc ABCD cú A = B = D = 90° nờn ABCD là hỡnh O
 chữ nhật.
 D
 Bài 6. Cho hỡnh chữ nhật ABCD , vẽ tam giỏc AEC vuụng tại E . Chứng minh năm điểm A, B,
 C, D, E cựng thuộc một đường trũn.
 Lời giải
Gọi O là trung điểm của AC .
Vỡ tam giỏc ABC vuụng tại B nờn ba điểm A, B, C cựng thuộc E
đường trũn O đường kớnh AC . D C
Vỡ tam giỏc ADC vuụng tại D nờn ba điểm A, D, C cựng thuộc 
đường trũn O đường kớnh AC . 
 O
Vỡ tam giỏc AEC vuụng tại E nờn ba điểm A, E, C cựng thuộc 
đường trũn O đường kớnh AC . A B
Vậy năm điểm A, B, C, D, E cựng thuộc đường trũn O đường 
kớnh AC .
 Bài 7. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH . Từ M là điểm bất kỡ trờn cạnh BC kẻ 
 MD  AB , ME  AC . Chứng minh năm điểm A , D , M , H , E cựng nằm trờn một đường 
 trũn.
 Lời giải
Vỡ MD  AB và MC  AB nờn MD // AE . A
Vỡ ME  AC và AB  AC nờn ME // AD .
Từ hai điều trờn suy ra ADME là hỡnh bỡnh hành.
 D
Mà Dã AE = 90° nờn ADME là hỡnh chữ nhật, suy ra bốn 
 O E
điểm A , D , M , E thuộc đường trũn O đường kớnh 
 AM (với O là trung điểm của đoạn AM ).
Lại cú tam giỏc AHM vuụng tại H nờn ba điểm A , H , B H M C
 M thuộc đường trũn O đường kớnh AM .
Vậy năm điểm A , D , M , H , E cựng nằm trờn một đường trũn O đường kớnh AM .
 Bài 8. Cho tam giỏc ABC cú AQ , BK , CI là ba đường cao và H là trực tõm.
 1. Chứng minh A, B, Q, K cựng thuộc một đường trũn. Xỏc định tõm của đường trũn đú.
 2. Chứng minh A, I, H, K cựng thuộc một đường trũn. Xỏc định tõm của đường trũn đú.
 Lời giải
 8 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
 1. Gọi O là trung điểm AB . A
 Vỡ tam giỏc ABQ vuụng tại Q nờn ba điểm A, B,
 Q thuộc đường trũn (O) đường kớnh AB .
 Vỡ tam giỏc ABK vuụng tại K nờn ba điểm A, B, O' K
 K thuộc đường trũn (O) đường kớnh AB .
 O
 Từ đú suy ra bốn điểm A, B, Q, K cựng thuộc 
 I
 đường trũn (O) đường kớnh AB .
 H
 2. Gọi OÂ là trung điểm AH .
 Vỡ tam giỏc AHI vuụng tại I nờn ba điểm A, H,
 B Q C
 I thuộc đường trũn (OÂ) đường kớnh AH .
 Vỡ tam giỏc AHK vuụng tại K nờn ba điểm A, H, K thuộc đường trũn (OÂ)đường kớnh AH .
Từ đú suy ra bốn điểm A, I, H, K cựng thuộc đường trũn (OÂ) đường kớnh AH .
 Bài 9. Cho tam giỏc đều ABC cú AM , BN, CP là ba đường trung tuyến. Chứng minh B, P, N, 
 C cựng thuộc một đường trũn. 
 Lời giải
Tam giỏc ABC là tam giỏc đều nờn ba đường trung tuyến A
 AM , BN, CP cũng là cỏc đường cao của tam giỏc ABC . Suy 
ra cỏc tam giỏc BPC , BNC là cỏc tam giỏc vuụng.
Vỡ tam giỏc BPC vuụng tại P nờn ba điểm B, P, C thuộc P N
đường trũn M đường kớnh BC .
Vỡ tam giỏc BNC vuụng tại N nờn ba điểm B, N, C thuộc 
 B C
đường trũn M đường kớnh BC . M
Vậy bốn điểm B, P, N, C cựng thuộc đường trũn M đường 
kớnh BC .
 Bài 10. Cho tứ giỏc ABCD cú AC  BD . Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh 
 AB , BC ,CD , DA . Chứng minh bốn điểm M , N, P, Q cựng thuộc một đường trũn. 
 Lời giải
 Gọi I là giao điểm của AC và BD . B
 ã à à
 Do AC  BD nờn BIC = I1 + I2 = 90°.
 Vỡ M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB , M N
 BC ,CD , DA nờn MN , NP , PQ , QM lần lượt là đường 2 1
 1
 trung bỡnh của tam giỏc ABC , BCD , CDA, DAB . I
 A 2 C
 Suy ra MN // AC // PQ , MQ // BD // NP .
 Vậy tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành. Q P
 D
 ùỡ à ả
 ù I1 = N1
Lại cú ớù (gúc so le trong của cặp đường thẳng song song)
 ù à ả
 ợù I2 = N2
 ã ả ả à à
Khi đú MNP = N1 + N2 = I1 + I2 = 90° . 
Do đú MNPQ là hỡnh chữ nhật.
 9 Dự ỏn tài tập toỏn 9. Chương 2: Đường trũn
Vậy bốn điểm M , N, P, Q cựng thuộc một đường trũn.
 Bài 11. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A .
 1. Nờu cỏch dựng đường trũn O đi qua A và tiếp xỳc với BC tại B .
 2. Nờu cỏch dựng đường trũn O đi qua A và tiếp xỳc với BC tại C .
 Lời giải
 1. Giả sử đó dựng được đường trũn (O) thỏa món đề bài. d'
 Khi đú OA = OB bằng bỏn kớnh, nờn O nằm trờn đường 
 trung trực d của AB . d
 A
 Lại cú (O) tiếp xỳc với BC tại B nờn OB ^ BC , suy ra O 
 nằm trờn đường thẳng d đi qua B và vuụng gúc với BC . O
 Do đú O là giao điểm của d và dÂ.
 Cỏch dựng. Dựng đường trung trực d của AB . Dựng 
 đường thẳng d vuụng gúc với BC tại B . Gọi O là giao B C
 điểm của d và dÂ. Dựng đường trũn tõm O bỏn kớnh OA 
 thỡ đú là đường trũn phải dựng (như hỡnh vẽ).
 2. Giả sử đó dựng được đường trũn (OÂ) thỏa món đề 
 bài. Khi đú OÂA = OÂC bằng bỏn kớnh, nờn OÂ nằm trờn 
 d2
 đường trung trực d1 của AC .
 d1
 Lại cú OÂ tiếp xỳc với BC tại C nờn OÂC ^ BC , suy 
 ( ) O'
 A
 ra OÂnằm trờn đường thẳng d2 đi qua C và vuụng gúc 
 với BC .
 Do đú OÂlà giao điểm của d1 và d2 .
 Cỏch dựng. Dựng đường trung trực d1 của AC . Dựng B C
 đường thẳng d2 vuụng gúc với BC tại C . Gọi OÂ là giao 
 điểm của d1 và d2 . Dựng đường trũn tõm OÂ bỏn kớnh 
 OÂA thỡ đú là đường trũn phải dựng (như hỡnh vẽ).
 Bài 12. Cho năm điểm A, B, C, D, E . Biết rằng qua bốn điểm A, B, C, D cú thể vẽ được một 
 đường trũn, qua bốn điểm B, C, D, E cũng vẽ được một đường trũn. Hỏi qua cả năm điểm 
 A, B, C, D, E cú thể vẽ được một đường trũn khụng?
 Lời giải
Gọi O là đường trũn đi qua đỉnh của tam giỏc ABC .
Với giả thiết:
 Bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trũn O1 , suy ra O1  O .
 Bốn điểm B, C, D, E thuộc đường trũn O2 , suy ra O2  O .
Vậy cả năm điểm A, B, C, D, E cựng thuộc đường trũn O .
 Bài 13. Cho đường trũn O; R đường kớnh BC . Điểm A di động trờn O , gọi P, Q theo thứ tự 
 là trung điểm của AB và AC .
 1. Chứng minh PQ cú độ dài khụng đổi khi A di động trờn O .
 10