Bài tập ôn tập Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập ôn tập Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
Tóm tắt nội dung tài liệu: Bài tập ôn tập Hình học Lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chương HỆ THỨC LƯỢNG TRONG 1 TAM GIÁC VUÔNG Bài 1 Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao Tóm tắt lý thuyết Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Đặt AB c , BC a , CA b , AH h , BH c ', CH c '. Khi đó ta có các hệ thức sau 2 2 2 2 a b c a.c ' c a.h b.c b'.c ' h2 1 1 1 a.b' b2 h2 a2 b2 Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB 3 cm , AC 4 cm . Tính BC , AH , BH , CH . Lời giải Ta có 2 2 2 2 2 BC AB AC 3 4 25 BC 5 cm . AH.BC AB.AC AB.AC 3.4 AH 2,4 cm . BC 5 2 2 2 AB 3 BH.BC AB BH 1,8 cm . BC 5 CH BC BH 3,2 cm . 1 Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . ( H thuộc cạnh BC ) biết AB a , BC 2a . Tính theo a độ dài AC và AH . Lời giải Theo định lí Pitago, ta có BC 2 AB2 AC 2 suy ra 2 AC 2 BC 2 AB2 2a a2 3a2 AC 2 a 3 . Lại có AH.BC AB.AC AB.AC a 3 AH . BC 2 Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 3 cm , AC 4 cm , đường cao AH . Gọi E , F là hình chiếu của H lên AB , AC . Tính diện tích tứ giác AEHF . Lời giải Tứ giác AEHF có ba góc A , E , F là góc vuông nên AEHF là hình chữ nhật. Do đó SAEHF AE.AF . Ta có BC 5 cm , AH 2,4 cm nên trong các tam giác vuông AHB và AHC ta có AH 2 AE.AB AH 2 AE 2,76 cm . AB AH 2 AF.AC AH 2 AF 1,44 cm . AC Suy ra SAEHF 2,76.1,44 3,9744 cm . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết BH 25 cm , CH 144 cm . Tính AB , AC , BC , CH . Lời giải 2 Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông BC BH HC 25 144 169 . 2 AB BH.BC 25.169 AB 65 cm . 2 AC CH.BC 144.169 AC 156 cm . 2 AH BH.CH 25.144 AH 60 cm . Ví dụ 5. 25 60 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết BH cm , AH cm . 12 13 Tính AB , AC , BC , CH . Lời giải Ta có AH 2 144 BH CH AH 2 CH cm BH 13 BC BH CH 13 cm 652 65 AB2 BH 2 CH 2 AB cm 132 13 2 12 Ví AdụC 6. C ChoH C tamB 1 giác44 AABCC vuông12 cm tại B , đường cao BH cm và 4AB 3BC . Tính 5 AB,AC,BC,AH,CH. Lời giải 3 Từ giả thiết ta suy ra AB BC . 4 1 1 1 Mặt khác, ta có . Suy ra BH 2 BA2 BC 2 25 16 1 25 BC 2 16 BC 4 cm 144 9BC 2 BC 2 9BC 2 Suy ra BA 3 cm . Từ đây, ta tìm được AC 5 cm, AH 1,8 cm , CH 3,2 cm 3 Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Ví dụ 7. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 5 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD,DC và I là giao điểm của AN,BM và. 1. Chứng minh rằng AN vuông góc với MB . 2. Tính AI,MI . 3. Tính diện tích tứ giác BINC . . Lời giải 1.Xét hai tam giác ADN và BAM có Aˆ Dˆ 90 , AD AB , DN AM. Suy ra ADN BAM (c g c) , do đó D· AN ·ABM . Suy ra M· AI ·AMI D· AN ·AMB ·ABM ·AMB 90. Từ đây, ta có AN BM . 2. Ta có BM 2 AM 2 AB2 5 20 25 BM 5 cm . AM 2 Suy ra MI 1 cm, AI 2 AM 2 MI 2 5 1 4 AI 2 cm . MB 1 3. Ta có S S S (BI.IN BC.CN) 11 cm2 . BCNI BCN BIN 2 12 Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC 5 cm , đường cao AH cm . Tính BH,CH. 5 Lời giải 144 Giả sử BH CH . Ta có BH HC BC 5 . Mặt khác BH CH AH 2 . Từ (1) ta có 25 (BH CH )2 25 , 288 237 suy ra BH 2 2BH.CH CH 2 25 BH 2 CH 2 25 25 25 Do đó 337 288 49 (BH CH )2 BH 2 2BH CH CH 2 . 25 25 25 7 Suy ra BH CH 5 Từ (1) và (2) ta có 4 Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông (BH+CH)+(BH-CH) 16 9 BH= = cm, CH = BC-BH = cm. 2 5 5 Ví dụ 9. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao , AkẻH HvuôngM góc với AB AB3 tại M . Chứng minh rằng BM . BC 2 Lời giải Trong tam giác vuông AHB BH 2 ta có BM.BA BH 2 , suy ra BM AB Mặt khác, trong tam giác vuông ABC , ta có BH.BC AB2 , hay AB2 AB4 AB3 BH .Do đó BM BC AB.BC 2 BC 2 Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 10. Cho hình vuông ABCD ,I là điểm thay đổi trên cạnh AB ( I khác A và B ). 1 1 Đường thẳng DI cắt BC tại K . Chứng minh rằng không đổi. DI 2 DK 2 Lời giải Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DI , cắt BC tại H . Xét hai tam giác ADI và CDH có µA Cµ 90 , AD DC , C· DI C· DH (cùng phụ với góc C· DI) . Suy ra ADI CDH (g c g) , do đó DI DH . Suy ra 1 1 1 1 1 DI 2 DK 2 DH 2 DK 2 DC 2 Từ đó, ta có đpcm. Ví dụ 11. Cho tam giácABC cân tại A , có góc A nhọn. Vẽ BM 2 AM AB vuông góc với AC . Chứng minh rằng 2 1 MC BC Lời giải 5 Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông |Gọi D là điềm đối xứng với C qua A , khi đó AB AD AC nên tam giác BCD vuông tại B và có đường cao BM . Suy ra CM CD BC 2 CM 2AC BC 2 , suy ra 2 AC AC AM 2 1 . Mà AB AC , nên ta có BC CM CM 2 AB AM 2 1 . BC CM Vậy bài toán được chứng minh. Luyện tập Bài 1. Cho tam giác vuông ABC , đường cao AH , cạnh góc vuông AC 60 cm , cạnh huyền BC 100 cm . Tính chu vi tam giác ABC , ABH , ACH. Lời giải Xét tam giác vuông ABC có AB BC 2 AC 2 80 cm . AB AC 6080 AH 48 cm . BC 100 AB2 BH 64 cm,CH BC BH 36 cm BC Chu vi tam giác ABC là AB BC CA 240 cm . Chu vi tam giác ABH là AB AH HB 192 cm . Chu vi tam giác ACH : AC AH HC 144 cm . Bài 2. Cho tam giác vuông có các canh góc vuông bằng 5 cm và 12 cm . Tìm cạnh huyền và các hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Lời giải Các hình chiều của các cạnh lên cạnh huyền là: AB2 52 25 BH cm. BC 13 13 25 144 CH BC CH 13 cm . 13 13 Bài 3. Tìm các canh của tam giác vuông, biết đường cao và đường trung tuyền ứng với cạnh huyền theo thứ tự là 4cm và 5cm. Lời giải Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A nên AM MC MB 5cm , suy ra BC 2MA 10cm. 6 Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Xét AHM : HM AM 2 AH 2 3 cm . Suy ra BH MB HM 2 cm, HC HM MC 8 cm Xét tam giác vuông ABC : AB2 BH.BC 20 AB 2 5 cm. AC 2 CH.CB 80 AC 4 5 cm Bài 4. Tìm các cạnh của tam giác vuông, biết đường cao ứmg với cạnh huyền là 4 cm , diện tích tam giác vuông bằng 20 cm2 . Lời giải 2S 2.20 Ta có BC ABC 10 cm . AH 4 Đặt BH x(x 0). Ta có AH 2 BH.CH 16 x(10 x) 2 x 2 x 10x 16 0 x 8 Khi BH 2 cm : AB2 BH BC 2,10 AB 2 5 cm; AC BC 2 AB2 4 5 cm. Khi BH 8 cm : AB2 BH BC 810 AB 4 5 cm; AC BC 2 AB2 2 5 cm. Khi đó ba cạnh của tam giác là 2 5 cm,4 5 cm và 10 cm. Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AH 6 cm và HC HB 9 cm . Tính HB, HC. Lời giải Đặt BH x CH 9 x với x 0 . Ta có AH 2 BH HC x(9 x) 36 x2 9x 36 0 x 12 x 3 Vậy HB 3 cm, HC HB 9 12 cm . AB 3 Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, , đường cao AH 18 cm . Tính chu vi tam giác AC 4 ABC. Lời giải Đặt AB 3x AC 4x với x 0 . 7 Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Suy ra BC AB2 AC 2 5x . 1 1 1 AB AC 12x 15 Ta có 2 2 2 AH x cm . AH AB AC AB2 AC 2 5 2 Chu vi tam giác ABC bằng AB BC CA 12x 90 cm . Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A vái AB AC và đường cao AH.Tính AB, AC biết AH 6 cm và diện tích tam giác ABC bằng 37,5 cm2. Lời giải Giả sử tam giác đó là ABC có đường cao AH 2S 237,5 Ta có BC ABC 12,5 cm AH 6 Đặt BH x(x 0) . Ta có 9 x AH 2 BH.CH 36 x.(12,5 x) x2 12,5x 36 0 2 x 8 9 9 15 Khi BH cm : AB2 BH BC 12,5 AB cm; AC BC 2 AB2 10 cm. 2 2 2 Khi BH 8 cm : AB2 BH BC 812,5 AB 10 cm; AC BC 2 AB2 7,5 cm . Khi đó là ba cạnh của tam giác là AB 7,5 cm, AC 10 cm và BC 12,5 cm . Bài 8. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D . Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O . Biết AB 2 13,OA 6 . Tính diện tích hình thang. Lời giải Xét OAB vuông tại O , ta có: OB AB2 OA2 (2 13)2 62 4 Xét ABD vuông tại A , đường cao AO ta có: AB2 (2 13)2 AB2 BD OB BD 13 OB 4 AD BD2 AB2 132 (2 13)2 3 13 . Ta có OD BD OB 13 4 9 . AD2 AD2 (3 13)2 Xét ADC ABC vuông tại D ta có: AD2 OA AC AC 19,5 . OA OA 6 8 Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông OD.AC 9.19,5 9 13 Mà AD.DC OD.AC DC . AD 3 13 2 1 Vậy S AD.(AB DC) 126,75 (đvdt) ABCD 2 Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường cao AH , cạnh bên AC 30, HB 32 .Tính độ dài AH, HC, AB Lời giải Đặt HC x(x 0) . Xét ABC vuông tại A , đường cao AH ta có AH 2 HC.HB 302 x(x 32) (x 18)(x 50) 0 x 18 x 50 Xét AHC vuông tại H ta có AH AC2 HC2 24 . Xét ABC vuông tại A ta có AB2 HB.BC 32.(32 18) 40 . Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB 60 cm, AD 32 cm . Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC . Đường này cắt AC tại E và AB tại F . Tính độ dài các đoạn EA, EC, ED, FB, FD. Lời giải Xét tam giác vuông ADC ta có AD2 AD2 322 256 EA cm AC AD2 CD2 322 602 17 CD2 602 900 EC cm AC 322 602 17 Xét tam giác vuông ADE có 322.602 480 tam giác vuông ADE có ED EA.EC cm . 322 602 17 AD2 322 544 FD cm. ED 3260 15 68 322 682 256 AF FD2 AD2 322 cm. 602 15 256 644 FB AB AF 60 cm. 15 15 Bài 11. Tính diện tích hình thang ABCD , có đường cao bằng 12 cm , hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, DB 15 cm . 9 Dự án tài tập toán 9. Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Lời giải Qua B vẽ đường thẳng song song với AC , cắt DC ở E . Gọi BH là đường cao của hình thang. Ta có BE // AC nên BE BD. Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông BDH , ta có BH 2 HD2 BD2 122 HD2 152 HD2 225 144 81 HD 9 cm Xét tam giác BDE vuông tại B , ta có 225 BD2 DE.DH 152 DE.9 DE 25 cm 9 Ta có AB CE nên AB CD CE CD DE 25 cm . 2512 Do đó S 150 cm2 . ABCD 2 Bài 12. Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD 10 cm , đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tìm đường cao của hình thang. Lời giải Gọi AH, BK là đường cao của hình thang, Đặt AB AH BK x DC AB 10 x Dễ dàng chứng minh được DH CK . 2 2 10 x Do đó HC . 2 Xét ADC vuông tại A , ta có AH 2 HD.HC . Do đó Từ đó suy ra x 2 5 cm . Đường cao của hình thang bằng 2 5 cm . Bài 13. Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi 72 cm , hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7 cm . Lời giải Đặt AM x(x 0) , ta có BC 2x, AH x 7 . Theo các hệ thức trong tam giác vuông 2 2 2 2 AB AC BC 4x (1) AB.AC BC.AH 2x(x 7) (2) Từ (1) và (2) suy ra AB2 AC 2 2AB.AC 4x2 4x(x 7) (AB AC)2 8x2 28x (72 2x)2 8x2 28x x2 65x 1296 0 (x 16)(x 81) 0 x 16 x 81 10
File đính kèm:
bai_tap_on_tap_hinh_hoc_lop_9_chuong_1_he_thuc_luong_trong_t.docx