Bài tập ôn tập Đại số Lớp 9 - Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
 Chương HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH 
 3 BẬC NHẤT HAI ẨN
 Phương trình bậc nhất 2 ẩn. Hệ hai phương 
 1
 § trình bậc nhất hai ẩn.
 Tóm tắt lý thuyết
 1.1 Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
 Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng ax by c 1 với a, b không đồng thời bằng 0 . 
 ax by c
 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng 2 với a, b không đồng thời bằng 
 a x b y c
 0 và a ,b không đồng thời bằng 0 . 
 Cặp số x0 ; y0 được gọi là nghiệm của 1 nếu x0 ; y0 thỏa 1 . 
 Cặp số x0 ; y0 được gọi là nghiệm của 2 nếu x0 ; y0 thỏa mãn hai phương trình trong 2 .
  Ví dụ 1.
 Kiểm tra cặp số sau có phải là nghiệm của phương trình 2x y 1 0 hay không?
 a) (1;1) ;
 b) (0,5;3) .
  Lời giải
1. Thay x 1 và y 1 vào phương trình, ta có 2.1 1 1 0 . Vậy (1;1) là nghiệm của phương trình.
2. Thay x 0,5 và y 3 vào phương trình, ta có 2.0,5 3 1 3 0 . Vậy (0,5;3) không là nghiệm 
của phương trình.
 1.2 Tập nghiệm của phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
 Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm và được biểu diễn bởi đường thẳng ax by c
 3 .
 x ¡
  N ế u a 0 và b 0 thì 3 có nghiệm tổng quát a c .
 y x 
 b b
 c
 x 
  N ế u a 0 và b 0 thì 3 có nghiệm tổng quát a .
 y ¡
 x ¡
  Nếu a 0 và b 0 thì 3 có nghiệm c .
 y 
 b
 1 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
  Ví dụ 2.
 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau
 a) 3x y 2 ; b) x 5y 3 0
 c) 4x 0y 2 d) 0x 2y 5
  Lời giải
 x ¡
 a) 3x y 2 y 3x 2 . Vậy phương trình có nghiệm tổng quát 
 y 3x 2
 x 5y 3
 b) x 5y 3 0 x 5y 3 . Vậy phương trình có nghiệm tổng quát 
 y ¡ .
 1
 x 
 c) 4x 0y 2 . Phương trình có nghiệm tổng quát 2
 y ¡ .
 x ¡
 d) 0x 2y 5 . Phương trình có nghiệm tổng quát 5 
 y 
 2
 Các bài toán nâng cao
  Dạng 48. Xét xem cặp số có phải là nghiệm của phương trình không.
  Áp dụng nền tảng kiến thức.
 BÀI TẬP MẪU 
  Thực hành tốt kĩ năng tính toán biểu thức.
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1.
 Trong các cặp số (2;1) , (3; 1) , (0;5) cặp số nào là nghiệm của phương trình x 2y 4 0
  Lời giải
 Với (2;1) , ta có 2 21 4 0 ( 2;1) là nghiệm.
 Với (3; 1) , ta có 3 2( 1) 4 3 0 (3; 1) không là nghiệm.
 Với (0;5) , ta có 0 25 4 6 0 (0;5) không là nghiệm.
  Dạng 49. Tìm nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương trình.
  Biến đổi biểu thức để đưa về x theo y hoặc y theo x .
 BÀI TẬP MẪU 
 2 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
  Ví dụ 1.
 Tìm nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm các phương trình sau
 a) 3x y 2 0 ;
 b) 0x 2y 3 .
  Lời giải
 x ¡
 x ¡ 3 
a) 3x y 2 0 y 3x 2 ; b) 0x 2y 3 y 3 . 
 y 3x 2 2 y 
 2
  Dạng 50. Xác định tham số khi biết nghiệm của phương trình.
  Thực hành tốt kĩ năng tính biểu thức.
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1.
 Tìm m trong mỗi trường hợp sau 
 1. 1;2 là nghiệm của phương trình mx y 5 0 ;
 2. Điểm A(0;3) thuộc đường thẳng 4x my 6 0 .
  Lời giải
1. Thay x 1, y 2 vào phương trình ta có m.1 2 5 0 m 3.
2. Thay x 0, y 3 vào đường thẳng, ta có 4.0 m.3 6 m 2 .
  Dạng 51. Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất.
 BÀI TẬP MẪU 
 ax by c
 Xét hệ . Nếu 
  Ví dụ 1. a x b y c 
 Tìm m trong mỗi trường hợp sau 
 a b
 1. 1;2 là nghiệm của thì phương hệ phương trình trình mx cóy nghiệm 5 0 ; duy nhất.
 a b 
 2. Điểm A(0;3) thuộc đường thẳng 4x my 6 0 .
 a b c
  thì hệ phương trình vô Lời nghiệm. giải
 a b c
1. Thay x 1, y 2 vào phương trình ta có m.1 2 5 0 m 3 .
 a b c
2. Thay x 0 , y 3 vào đường thì hệ thẳng, phương ta cótrình 4. 0có mvô.3 số 6nghiệm. m 2 .
 a b c 
 3
  Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1.
 Không vẽ đồ thị, hãy đoán nhận số nghiệm các hệ phương trình sau
 2x y 1
 a) 
 x y 1
 x y 2
 b) 
 2x 2y 3
  Lời giải
 2x y 1 x y 2
a) b) 
 x y 1 2x 2y 3
 2 1 1 1 2
Ta có nên hệ có nghiệm duy nhất. Ta có nên hệ vô nghiệm.
 1 1 2 2 3
  Dạng 52. Hai hệ phương trình tương đương.
  Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung tập nghiệm. 
 Hai hệ phương trình vô nghiệm cũng được coi là tương đương.
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1.
 Xét sự tương đương của các hệ phương trình sau:
 2x y 1 2x y 1
 1. 1 và 2 
 x 2y 1 x y 0
 x y 12 x y 1
 2. 3 và 4 
 x y 5 2x y 0
  Lời giải
 2x y 1 2x y 1
1. và 
 x 2y 1 x y 0
 2x y 1 2x y 1 2x y 1 2x y 1
 x 2y 1 x 2y (2x y) 3x 3y 0 x y 0
 2x y 1 2x y 1
Vậy 1 và 2 là hai hệ tương đương.
 x 2y 1 x y 0
 x y 12 x y 1
2. 3 và 4 
 x y 5 2x y 0
Ta thấy cặp số (2;1) thỏa 3 nhưng không thỏa 4 . 
 x y 1 x y 1
Vậy 3 và 4 không tương đương.
 2x y 5 2x y 0
 4 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
 Luyện tập
 Bài 1. Cho phương trình mx (m 1)y 3 .
1. Với m 1, xét xem các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của phương trình.
i) (3; 2) ii) (0;1) iii) ( 1;0) .
2. Tìm nghiệm tồng quát của phương trình trên ứng với
i) m 1 ii) m 2 .
3. Tìm giá trị m tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm.
i) (3;1) ii) (2;3) .
  Lời giải
1. Với m 1, ta có phương trình 2x 3y 3.
i) Thay x 3, y 2 vào phương trình, ta có 23 3( 2) 6 3 nên (3; 2) không là nghiệm của 
phương trình.
ii) Thay x 0, y 1 vào phương trình, ta có 20 31 3 nên (0;1) là nghiệm của phương trình.
iii) Thay x 1, y 0 vào phương trình, ta có 2( 1) 30 2 3 nên ( 1;0) không là nghiệm của 
phương trình.
2. Tìm nghiệm tổng quát.
i) Với m 1 ta có phương trình 1 x ( 1 1)y 3 x 3. 
 x 3
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát .
 y ¡
 2
ii) Với m 2 ta có phương trình 2x 3y 3 y x 1. 
 3
 x ¡
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát 2 . 
 y x 1 
 3
 3 3
 3 3 x y 
Hoặc: 2x 3y 3 x y . Vậy phương trình có nghiệm tổng quát 2 2 .
 2 2
 y ¡
3. Tìm giá trị m tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm.
 1
i) Thay x 3, y 1 vào phương trình, ta có 3m (m 1)1 3 m .
 2
ii) Thay x 2, y 3 vào phương trình, ta có 2m (m 1)3 3 m 0 .
 Bài 2. Không vẽ đồ thị, hãy đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau
 4x 3y 5 x 2y 5
a) b) 
 x y 1 2x 4y 3
 2 3
 3x y 2 x y 5
c) d) 3 2
 6x 2y 4
 2y 8
  Lời giải
 4x 3y 5 x 2y 5
a) b) 
 x y 1 2x 4y 3
 5 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
 4 3 1 2 5
Do nên hệ có nghiệm duy nhất. Do nên hệ vô nghiệm.
 1 1 2 4 3
 2 3
 3x y 2 x y 5
c) d) 3 2
 6x 2y 4
 2y 8
 3 1 2 0 2
Do nên hệ có vô số nghiệm. Do nên hệ có nghiệm duy nhất.
 6 2 4 2 3
 4 Các bài tập nâng cao
 3x ay 5
 Bài 3. Cho hệ phương trình . Tìm a ,b để hệ
 2x y b
 a) Có nghiệm duy nhất;
 b) Vô nghiệm;
 c) Vô số nghiệm.
  Lời giải
 3 a 3
1. Hệ có nghiệm duy nhất a .
 2 1 2
 3 a 3
 a 
 3 a 5 2 1 2
2. Hệ vô nghiệm .
 2 1 b 3 5 10
 b 
 2 b 3
 3 a 3
 a 
 3 a 5 2 1 2
3. Hệ có vô số nghiệm .
 2 1 b 3 5 10
 b 
 2 b 3
 6 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
 § 2 Phương pháp giải hệ phương trình.
 Tóm tắt lý thuyết
 1.1 Phương pháp thế
 Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1. Biểu thị một ẩn (giả sử ẩn x ) theo ẩn còn lại (ẩn y ) từ một trong các phương trình của hệ.
 Bước 2. Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại rồi tìm giá trị của y .
 Bước 3. Thay giá trị y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x .
 Bước 4. Kết luận nghiệm của hệ phương trình
  Ví dụ 1.
 Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
 4x 5y 3 7x 2y 1
 a) b) 
 x 3y 5. 3x y 6
 5x 3y 1 x y 5 0
 c) d) 
 2x y 1 x 5 3y 1 5
  Lời giải
 4x 5y 3 x 5 3y x 5 3y
1. 
 x 3y 5 4x 5y 3 4(5 3y) 5y 3
 x 5 3y x 5 3y x 5 3( 1) 2
 17y 17 y 1 y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) (2; 1) .
 7x 2y 1 y 6 3x y 6 3x y 6 3x y 3
2. 
 3x y 6 7x 2y 1 7x 2(6 3x) 1 13x 13 x 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) (1;3) .
 5x 3y 1 y 1 2x y 1 2x
3. 
 2x y 1 5x 3y 1 5x 3( 1 2x) 1
 y 1 2x y 1 2( 4) 7
 x 4 x 4
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x; y) ( 4;7) .
 x y 5 0 x y 5 x y 5
4. 
 x 5 3y 1 5 x 5 3y 1 5 y 5 5 3y 1 5
 5 5
 x y 5 x 
 2 2
 1 5 
 y 1 5
 2 y 
 2
 7 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
 5 5 1 5 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) ; .
 2 2 2 
1.2 Phương pháp cộng đại số
 Để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ta thực hiện các bước sau:
 Bước 1. Nhân cả hai vế của các phương trình trong hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ đã cho 
 về hệ mới, trong đó các hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau (hoặc đối nhau).
 Bước 2. Trừ ( hoặc cộng ) từng vế của các phương trình trong hệ mới để khử bớt một ẩn.
 Bước 3. Giải phương trình một ẩn vừa thu được.
 Bước 4. Thay giá trị tìm được của ẫn này vào một trong các phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại.
 Bước 5. Kết luận nghiệm của hệ phương trình.
  Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.
 x 3y 1 2x y 3
 a) b) 
 2x 3y 11 x y 1
 3x 4y 18 3x 2y 1
 c) d) 
 4x 3y 1 2x 3 3y 4 6
  Lời giải
 x 3y 1 3x 12 x 4 x 4
 1. 
 2x 3y 11 x 3y 1 4 3y 1 y 1
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) (4;1) .
 2x y 3 x 2 x 2 x 2
 2. 
 x y 1 x y 1 2 y 1 y 1
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) (2;1) .
 3x 4y 18 12x 16y 72 25y 75 y 3 x 2
 3. 
 4x 3y 1 12x 9y 3 12x 9y 9 12x 93 9 y 3
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) (2;3) .
 3x 2y 1 6x 2y 2 11y 11 2 y 2 x 3
 4. 
 2x 3 3y 4 6 6x 9y 12 2 6x 2y 2 6x 2 2 2 y 2
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) ( 3; 2) .
1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ
 8 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
 Để giải hệ phương trình ta còn dùng phương pháp đặt ẩn phụ thông qua các ẩn đã cho. 
 Với dạng này ta cần nhận biết được sự tương đồng của các ẩn từ đó chọn ẩn phụ đặt cho hợp lý để 
 đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi áp dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng dại số 
 để giải. Sau khi tìm được nghiệm theo ẩn mới, sau đó ta thay lại ẩn ban đầu đễ tìm nghiệm của hệ 
 đã cho.
  Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình.
 1 1 1 1 4 1 1 
 1 2 1
 x y x 2 y 1 3 x y 
 a) b) c) 
 3 4 2 3 1 1 2
 5 1 
 x y x 2 y 1 6x 5y 15
  Lời giải
 1. Điều kiện xác định x 0, y 0 . 
 1 1
 Đặt a ,b , hệ phương trình đã cho trở thành 
 x y
 a b 1 a 1 b a 1 b a 1 b
 3a 4b 5 3a 4b 5 3(1 b) 4b 5 7b 2
 2 9 1 9 7
 a 1 a x 
 7 7 x 7 9
 . Khi đó ta có (nhận)
 2 2 1 2 7
 b b y 
 7 7 y 7 2
 7 7 
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) ; .
 9 2 
 2. Điều kiện xác định x 2, y 1.
 1 1
 Đặt a ,b , hệ phương trình đã cho trở thành
 x 2 y 1
 7
 a 2 b a 
 a b 2 a 2 b a 2 b 5
 3 
 2a 3b 1 2(2 b) 3b 1 5b 3 b 3
 5 b 
 5
 1 19
 x 2 
 a 7
 Từ đó thay vào ta tìm được (nhận)
 1 2
 y 1 
 b 5
 19 2 
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) ; .
 7 5 
 3. Điều kiện xác định x 0, y 0 . 
 9 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Hệ hai phương tình bậc nhất hai ẩn
 1 1
 Đặt a ,b , hệ phương trình đã trở thành
 x y
 4a 4b 3
 4a 4b 3 20a 20b 15 4b 1
 1 1 2 
 a b 5a 6b 4 20a 24b 16 20a 20b 15
 6 5 15 
 1 1 1 1
 b b 
 4 4 x 2 x 2
 Khi đó ta có (nhận)
 1 1 1 1 y 4
 20a 20 15 a 
 4 2 y 4
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) (2;4) .
 Các dạng toán
  Dạng 53. Giải và biện luận hệ phương trình 
  Dùng phương pháp thế, biểu diễn 1 ẩn theo ẩn còn lại sau đó đưa về phương trình bậc nhất 
 1 ẩn.
  Giải và biện luận phương trình bậc nhất 1 ẩn.
  Kết luận tập nghiệm của hệ phương trình.
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. Cho hệ phương trình ( m là tham số)
  Dùng thước đo góc để kiểm tra xem hai góc so le trong hoặc hai góc đồng vị (các góc tạo 
 x my 1 (1)
 bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng cần kiểm tra có song song hay không) có bằng nhau 
 hay không.. (5m 2)x 3y m 2 (2)
 Giải và biện luận hệ phương trình theo m .
  Lời giải
 Từ phương trình (1) suy ra x 1 my , thay vào phương trình (2) ta được
 (5m 2)(1 my) 3y m 2 5m2 2m 3 y 4m 4 (m 1)(5m 3)y 4(m 1). (3)
 Nếu m 1 thì (3) 0 y 0 luôn đúng với mọi y ¡ . Vậy phương trình có vô số nghiệm.
 3 32
  Nếu m thì phương trình (3) 0 y (vô lý). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
 5 5
 3 4 m 3
  Nếu m 1 và m thì (3) y , do đó x . Vậy hệ phương trình có nghiệm 
 5 5m 3 5m 3
 m 3 4 
 duy nhất (x; y) ; .
 5m 3 5m 3 
 10