Ôn tập Chuyên đề Toán 11 - Bài 3: Hàm số liên tục

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
GIẢI TÍCH 11. CHƯƠNG IV
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
LÝ THUYẾT
I ===I
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa 1.
Cho hàm số xác định trên khoảng và . 
Hàm số được gọi là liên tục tại nếu .
Hàm số không liên tục tại ta nói hàm số gián đoạn tại .
2. Hàm số liên tục trên một khoảng
Định nghĩa 2.
Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên và , .
3. Các định lý cơ bản
Định lý 1.
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập .
Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lý 2.
Cho các hàm số , liên tục tại . Khi đó:
Các hàm số, , liên tục tại x0.
Hàm số liên tục tại nếu .
Định lý 3. Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một số sao cho .
Chú ý: Ta có thể phát biểu định lý 3 theo cách khác như sau:
Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc .
CÁC DẠNG BÀI TẬP
II ===I
DẠNG 1: X...c trên khoảng và và gián đoạn tại điểm 
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Ví dụ 2
 Lời giải 
+ TXĐ: .
+ Nếu thì . Vì là thương của 2 đa thức, đồng thời mẫu số nên liên tục trên các khoảng và . 	(1)
+ Nếu ta có và 
Vì nên liên tục tại điểm .	(2)
Từ (1) và (2) suy ra liên tục trên . 
Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn .
Ví dụ 3
 Lời giải
Tập xác định: . 
ta có .
Suy ra hàm số liên tục trên khoảng .
 Mặt khác: ; . 
Vậy hàm số liên tục trên đoạn.
Tìm để hàm số liên tục trên với .
Ví dụ 4
Lời giải
+ Khi thì là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng .
+ Khi thì là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng nên liên tục trên khoảng .
+ Xét tính liên tục của hàm số tại điểm , ta có:
* .
* .
* .
Hàm số liên tục trên hàm số liên tục tại 
Û Û Û .
Cho hàm số . Tìm để liên tục trên .
Ví dụ 5
Lời giải
+ TXĐ: .
+ Với thì là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên nửa khoảng nên liên tục trên nửa khoảng .
+ Với thì là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng nên liên tục trên khoảng .
+ Tại điểm : 
Ta có và .
Vậy để hàm số liên tục trên thì khi hàm số liên tục tại .
DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Phương pháp giải: Để chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của hàm số, ta thực hiện các bước sau
B1: Biến đổi phương trình về dạng .
B2: Tìm hai số và sao cho .
B3: Chứng minh hàm số liên tục trên .
Từ đó suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc .
Trường hợp 1: Phương trình không chứa tham số .
(Casio hỗ trợ việc tìm hai số và sao cho ).
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trong khoảng .
Xét tính liên tục của hàm số tại .
Ví dụ 1Ví Ví Ví dụ 1
Lời giải
Đặt .
+ Ta có , nên 
+ Hàm số liên tục trên nên liên tục trên .
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng nên phương trình có nghiệm trong khoảng .
Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng .
Ví dụ 2
Lời giải
Đặt .
+ Hàm số liên tục trên nên liên tục trên , .
+ Ta có , , 
Vì nên phương trì...nh có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng , mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm.
Trường hợp 3: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm khi cho đẳng thức liên hệ giữa các hệ số.
 Cho 3 số , , thỏa mãn . Chứng minh phương trình luôn có nghiệm thuộc .
Ví dụ 1
Lời giải
Xét hàm số .
+ Hàm số liên tục trên .
+ Ta có nên .
 nên .
Do đó .
Suy ra , trái dấu hoặc cả hai đều bằng 0.
Vậy phương trình luôn có nghiệm thuộc .
 Cho 3 số , , thỏa mãn . Chứng minh phương trình luôn có nghiệm.
Ví dụ 2
Lời giải
Xét hàm số .
+ Hàm số liên tục trên .
+ Ta có , , 
Do đó 
Suy ra tồn tại hai giá trị , sao cho .
Vậy phương trình luôn có nghiệm.