Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 8: Phương trình vô tỷ

 Nhúm file Word toỏn THCS
 CHỦ ĐỀ 8 – PHƯƠNG TRèNH Vễ TỶ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.........................................................................................2
 DẠNG 1: GHẫP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH .............................................................................................2
 DẠNG 2: NHÂN LIấN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH.................................................................................................3
 DẠNG 3: DỰ ĐOÁN NGHIỆM ĐỂ TỪ Để TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH...................................6
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ...................................................................................................................12
 DẠNG 1 : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ ...................................................12
 DẠNG 2. BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHỤ RỒI ĐƯA VỀ TÍCH.....................14
 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH.................................................16
 DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY MỘT SỐ, VẾ KIA SỐ Để BẰNG BĐT CỐI, BUNHIA..............18
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ .....................................................................................22
 I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.......................................................................................22
 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ. ..............................................................................................................22
 III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ..................................................................................................................23
 1 Nhúm file Word toỏn THCS
 I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
DẠNG 1: GHẫP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH
Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh: x 9 2012 x 6 2012 x 9 x 6 
 Lời giải
Điều kiện: x 6 .
Phương trỡnh 2012 x 6 2012 x 9 x 9 x 6 0 
 2012 x 6 1 x 9 x 6 1 0
 x 6 1 x 9 2012 0
 x 5, x 4048135 ( thỏa món điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là: S 5;4048135 .
Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh: 2x 1 3 4x2 2x 1 3 8x3 1 .
 Lời giải
 1
Điều kiện: x .
 2
Phương trỡnh 2x 1 3 3 4x2 2x 1 2x 1 4x2 2x 1 0
 2x 1 3 4x2 2x 1 2x 1 3 0
 2x 1 3 4x2 2x 1 1 0
 x 4
 2x 1 3 2x 1 9 
 2 1
 4x2 2x 1 1 4x 2x 1 1 x 0, x (Thỏa món điều kiện).
 2
 1 
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là: S 0;4; .
 2
Vớ dụ 3. Giải phương trỡnh: x3 4 x2 4 x2 8 2x 4 x2 .
 Lời giải
Điều kiện: x2 4 2 x 2.
Khi đú phương trỡnh đó cho trở thành
 2 Nhúm file Word toỏn THCS
 x3 8 4 x2 4 x2 2x 4 x2 0
 x 2 x2 2x 4 x2 2x 4 4 x2 0
 x2 2x 4 x 2 4 x2 0
 x 1 2 3 x 2 4 x2 0
 4 x2 2 x
 2 x 0
 2 2
 4 x 4 4x x
 x 0
 x 2
So với điều kiện, ta cú tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S 0;2 .
Vớ dụ 4. Giải phương trỡnh x 2 7 x 7x x2 2 x 7 0 .
 Lời giải.
Điều kiện: 0 x 7 .
Khi đú, ta cú
 x 2 7 x 7x x2 2 x 7 0
 2 7 x 2 x x(7 x) (7 x) 0
 2 7 x x 7 x 7 x x 0
 7 x x 2 7 x 0
 7 x x 0
 2 7 x 0
 7 x x
 7 x 4
 x 3
 7
 x 
 2
 7 
So với điều kiện, ta cú tập nghiệm của phương trỡnh là S 3;  .
 2
DẠNG 2: NHÂN LIấN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH
 a b
 • a b khi biểu thức xỏc định.
 a b
 a b2
 • a b khi biểu thức xỏc định.
 a b
Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh x2 1 x2 x 2 2x 3x 1 .
 Lời giải.
 3 Nhúm file Word toỏn THCS
 1
Điều kiện: x .
 3
Khi đú 
 x2 1 x2 x 2 2x 3x 1
 x2 2x 1 x2 x 2 3x 1 0
 2
 2 x x 2 3x 1 
 x 1 0
 x2 x 2 3x 1
 2
 2 x 1 
 x 1 0
 x2 x 2 3x 1
 2 1 
 x 1 1 0
 x2 x 2 3x 1 
 x 1
So với điều kiện, ta cú tập nghiệm của phương trỡnh là S 1.
Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh x2 2018 2x2 1 x 1 2018 x2 x 2 .
 Lời giải.
 2
 2 1 7
Ta cú x x 2 x 0,x . Khi đú
 2 4
 x2 2018 2x2 1 x 1 2018 x2 x 2 x2 x 1 2018 2x2 1 x2 x 2 0
 2 2
 2x 1 x x 2 x2 x 1
 x2 x 1 2018. 0 x2 x 1 2018. 0
 2x2 1 x2 x 2 2x2 1 x2 x 2
 2 2018 2
 x x 1 1 0 x x 1 0
 2x2 1 x2 x 2 
 1 5
 x 
 2
 1 5 
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S .
 2  
Vớ dụ 3. Giải phương trỡnh 4x2 5x 1 3 2 x2 x 1 9x .
 Lời giải.
 2
 2 1 3 2
Ta cú x x 2 x 0,x nờn điều kiện là 4x 5x 1 0.
 2 4
Khi đú
 4 Nhúm file Word toỏn THCS
 4x2 5x 1 3 2 x2 x 1 9x
 4x2 5x 1 4x2 4x 4 9x 3 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4 
 9x 3 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4
 9x 3
 9x 3 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4
 1 
 9x 3 1 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4 
 1
Trường hợp 1. 9x 3 0 x (thỏa).
 3
Trường hợp 2. 
 1
 1 0
 4x2 5x 1 4x2 4x 4
 1
 1
 4x2 5x 1 4x2 4x 4
 4x2 5x 1 4x2 4x 4 1
Vỡ 4x2 4x 4 2x 1 2 3 3 nờn trường hợp 2 vụ nghiệm.
 1
Vậy phương trỡnh cú tập nghiệm là S  .
 3
Vớ dụ 4. Giải phương trỡnh 5x 4 3x 2 4x 5 2x 3 .
 Lời giải.
 2
Điều kiện: x .
 3
Với điều kiện trờn phương trỡnh trở thành
 5x 4 3x 2 4x 5 2x 3
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3 0
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3 
 0
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3
 x 1 x 1
 0
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3
 1 1 
 x 1 0
 5x 4 4x 5 3x 2 2x 3 
 x 1
So với điều kiện ta cú tập nghiệm của phương trỡnh là S 1.
Vớ dụ 5. Giải phương trỡnh 3x2 7x 3 x2 2 3x2 5x 1 x2 3x 4 .
 Lời giải.
 5 Nhúm file Word toỏn THCS
 2
 2 3x 7x 3 0
 2 3 7 2
Ta cú x 3x 4 x 0,x nờn điều kiện là x 2 0
 2 4 2
 3x 5x 1 0
Với điều kiện trờn, phương trỡnh trở thành
 3x2 7x 3 x2 2 3x2 5x 1 x2 3x 4
 3x2 7x 3 3x2 5x 1 x2 3x 4 x2 2 0
 3x2 7x 3 3x2 5x 1 x2 3x 4 x2 2 
 0
 3x2 7x 3 3x2 5x 1 x2 3x 4 x2 2
 4 2x 6 3x
 0
 3x2 7x 3 3x2 5x 1 x2 3x 4 x2 2
 2 3 
 2 x 0
 3x2 7x 3 3x2 5x 1 x2 3x 4 x2 2 
 2 x 0
 x 2
So với điều kiện ta được tập nghiệm của phương trỡnh là S 2 .
Vớ dụ 6. Giải phương trỡnh 6 1 x2 4x 3 1 x 1 .
 Lời giải.
Điều kiện: 1 x 1.
Khi đú, phương trỡnh trở thành
 6 1 x2 4x 3 1 x 1 
 6 1 x2 3 1 x 4x 3 0
 3 1 x 2 1 x 1 4x 3 0
 4(1- x)- 12
 Û 3 1+ x. - 4x + 3 = 0
 2 1- x + 1
 3- 4x
 Û 3 1+ x. - 4x + 3 = 0
 2 1- x + 1
 ổ ử
 ỗ 3 1+ x ữ 3
 Û (3- 4x).ỗ + 1ữ= 0 Û x = ( thỏa món)
 ỗ ữ
 ốỗ2 1- x + 1 ứữ 4
 ùỡ 3ùỹ
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S = ớù ýù
 ợù 4ỵù
DẠNG 3: DỰ ĐOÁN NGHIỆM ĐỂ TỪ Để TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH
 • Nếu nhẩm được một nghiệm x = α của phương trỡnh thỡ ta tỏch được phương 
trỡnh đú về dạng tớch (x – α).f(x) = 0.
 • Nếu nhẩm được một nghiệm x = –α của phương trỡnh thỡ ta tỏch được phương 
 6 Nhúm file Word toỏn THCS
trỡnh đú về dạng tớch (x +α).f(x) = 0.
 • Trong trường hợp f(x) = 0 mà phức tạp thỡ ta thường chứng minh f(x) = 0 vụ 
nghiệm hoặc chứng minh f(x) = 0 cú nghiệm duy nhất.
Bước 1: Nhẩm cỏc số nguyờn thỏa món điều kiện xem số nào thỏa món phương trỡnh, ta thường nhẩm cỏc số 
mà thay vào cỏc căn đều khai căn được.
Bước 2: Lập bảng để chọn số cần chốn vào phần căn.
 a-b2
Bước 3: Kết hợp cụng thức a - b= để đưa về tớch.
 a + b
Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh 3x+1- 6- x + 3x2 - 14x - 8 = 0 .
Phõn tớch bài toỏn: Phương trỡnh này ta nhẩm được một nghiệm x = 5 nờn ta sẽ tỏch được nhõn tử x – 5 
 3 x +1 6- x
 x = 5 4 1
Từ bảng này, ta suy ra 3x+1sẽ đi với số 4, cũn 6- x sẽ đi với số 1.
Trỡnh bày lời giải:
 1
Điều kiện : - Ê x Ê 6
 3
Phương trỡnh Û ( 3x+1- 4)- ( 6- x - 1)+ 3x2 - 14x - 5 = 0
 (3x+1)- 42 (6- x)- 12
Û + + 3x2 - 15x+x - 5 = 0
 3x+1 + 1 6- x + 2
 3x-15 5- x
Û + + 3x(x - 5)+ (x - 5)= 0
 3x+1 + 1 6- x + 2
 ổ ử
 ỗ 1 1 ữ
Û (x - 5)ỗ + + 3x+1ữ= 0
 ốỗ 3x+1 + 1 6- x + 2 ứữ
Trường hợp 1: Xột x – 5 = 0 Û x = 5 ( thỏa món điều kiện)
 1 1
Trường hợp 2: Xột + + 3x+1=0 loại vỡ 
 3x+1 + 1 6- x + 2
 1 1 1
 + + 3x+1> 0 ∀- Ê x Ê 6
 3x+1 + 1 6- x + 2 3
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S = {5}
Vớ dụ 2: Giải phương trỡnh x - 1 + 6- x = 3x2 - 4x - 1
Phõn tớch bài toỏn: Phương trỡnh này ta nhẩm được một nghiệm x = 2 nờn ta sẽ tỏch được nhõn tử x – 2
 x - 1 6- x
 x = 2 1 2
Từ bảng này, ta suy ra x - 1 sẽ đi với số 1, cũn 6- x sẽ đi với số 2.
 7 Nhúm file Word toỏn THCS
Trỡnh bày lời giải:
Điều kiện : 1Ê x Ê 6
Phương trỡnh Û ( x - 1- 1)+ ( 6- x - 2)= 3x2 - 4x - 4
 (x - 1)- 12 (6- x)- 22
 Û + = 3x2 - 6x+2x - 4
 x - 1 + 1 6- x + 2
 x - 2 2- x
 Û + = 3x(x - 2)+2(x - 2)
 x - 1 + 1 6- x + 2
 ổ ử
 ỗ 1 1 ữ
 Û (x - 2)ỗ - - 3x - 2ữ= 0
 ốỗ x - 1 + 1 6- x + 2 ứữ
Trường hợp 1: Xột x – 2 = 0 Û x = 2 ( thỏa món điều kiện)
 1 1
Trường hợp 2: Xột - - 3x - 2 = 0 
 x - 1 + 1 6- x + 2
 1 1
 Û = - 3x - 2 (*)
 x - 1 + 1 6- x + 2
 1 1
 Û = + 3x+2
 x - 1 + 1 6- x + 2
 1
Do x - 1 + 1³ 1 nờn Ê 1
 x - 1 + 1
 1
Với 1Ê x Ê 6 thỡ 3x + 2 ³ 3.1+ 2 = 5 nờn + 3x + 2 > 5
 6- x + 2
Do đú phương trỡnh (*) vụ nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S = {2}
Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh 5.( 3x - 2 + x + 3)= 4x2 - 24x + 35
Phõn tớch bài toỏn: Phương trỡnh này ta nhẩm được một nghiệm x = 1 nờn ta sẽ tỏch được nhõn tử x – 1
 3 x - 2 x + 3
 x = 1 1 2
Từ bảng này, ta suy ra x - 1 sẽ đi với số 1, cũn 6- x sẽ đi với số 2.
Trỡnh bày lời giải:
 2
Điều kiện : x ³
 3
 ộ ự 2
Phương trỡnh 5.ờ 3x - 2 - 1 + x + 3 - 2 ỳ= 4x - 24x + 20
 ở( ) ( )ỷ
 8 Nhúm file Word toỏn THCS
 ộ3x - 2 - 12 x + 3 - 22 ự
 ờ( ) ( ) ỳ 2
 Û 5.ờ + ỳ= 4x - 24x + 20
 ởờ 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 ỷỳ
 ổ(3x - 2)- 12 (x + 3)- 22 ữử
 ỗ ữ 2
 Û 5.ỗ + ữ= 4x - 4x - 20x + 20
 ốỗ 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 ứữ
 ổ 3x - 3 x - 1 ử
 ỗ ữ
 Û 5.ỗ + ữ= 4x(x - 1)- 20(x - 1)
 ốỗ 3x - 2 + 1 x + 3 + 2ứữ
 ổ 15 5 ử
 ỗ ữ
 Û (x - 1)ỗ + - 4x+20ữ= 0
 ốỗ 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 ứữ
Trường hợp 1: Xột x – 1 = 0 Û x = 1 ( thỏa món điều kiện)
 15 5
Trường hợp 2: Xột + - 4x+20=0 
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2
 15 5
 Û + - 4x+20=0 
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2
 15 5
 Û + = 4x - 20 (*)
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2
 15 5 15 5
Nếu x + =4 (*)
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 3.6- 2 + 1 6 + 3 + 2
Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = 4 nờn phương trỡnh (*) vụ nghiệm.
 15 5 15 5
Nếu x >6 thỡ + < + =4 (*)
 3x - 2 + 1 x + 3 + 2 3.6- 2 + 1 6 + 3 + 2
Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = 4 nờn phương trỡnh (*) vụ nghiệm.
Nếu x = 6 thỏa món (*) và thỏa món điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S = {1;6}
Vớ dụ 4: Giải phương trỡnh x3 - 2 x + 2 - 4 = 0
Phõn tớch bài toỏn: Phương trỡnh này ta nhẩm được một nghiệm x = 2 nờn ta sẽ tỏch được nhõn tử x – 2
 x + 2
 x = 2 2
Từ bảng này, ta suy ra x + 2 sẽ đi với số 2.
Trỡnh bày lời giải:
Điều kiện : x ³ 2
Phương trỡnh (x3 - 8)- 2( x + 2 - 2)= 0
 9 Nhúm file Word toỏn THCS
 (x + 2)- 22
 Û (x - 2)(x2 + 2x + 4)- 2 = 0
 x + 2 + 2
 x - 2
 Û (x - 2)(x2 + 2x + 4)- 2 = 0
 x + 2 + 2
 ổ 2 ử
 ỗ 2 ữ
 Û (x - 2)ỗx + 2x + 4- ữ= 0
 ốỗ x + 2 + 2ứữ
Trường hợp 1: Xột x – 2 = 0 Û x = 2 ( thỏa món điều kiện)
 2 2
Trường hợp 2: Xột x2 + 2x + 4- Û x2 + 2x + 4 = (*) 
 x + 2 + 2 x + 2 + 2
 2
Do x + 2 + 2 ³ 2 nờn Ê 1 
 x + 2 + 2
 2
Mà x2 + 2x + 4 = (x + 1) + 3³ 3 nờn phương trỡnh (*) vụ nghiệm. 
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S = {2}
Vớ dụ 5: Giải phương trỡnh x3 x 7 x2 5 .
Phõn tớch bài toỏn: Phương trỡnh này ta nhẩm được một nghiệm x 2 nờn ta sẽ tỏch được nhõn tử x 2 
 x2 5 
 x 2 3
Từ bảng này ta suy ra x2 5 sẽ đi với số 3 .
Trỡnh bày lời giải:
Phương trỡnh x3 x 10 x2 5 3 
 x2 5 3
 x3 8 x 2 
 x2 5 3
 x2 4
 x 2 x2 2x 4 x 2 0
 x2 5 3
 2 x 2 
 x 2 x 2x 5 0 
 x2 5 3 
Trường hợp 1: Xột x 2 0 x 2 ( thỏa món điều kiện ).
Trường hợp 2:
 x 2 x 2
 Xột x2 2x 5 0 x2 2x 5 
 x2 5 3 x2 5 3
 x2 5 x2 x x x 2
Do nờn x2 5 3 x 2 hay 1 
 2
 3 2 x 5 3
Mà x2 2x 5 x 1 2 4 4 nờn phương trỡnh vụ nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S 2 .
 10