Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 7: Bất đẳng thức

 Nhóm file Word toán THCS
 CHỦ ĐỀ 7 – BẤT ĐẲNG THỨC
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ...................................................................................................................................2
DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH...................................................................................................................2
DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP.............................................................3
DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI........................................4
DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI .....................................................................................................................................7
DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP..................................................................................7
DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ ........................................................................10
DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN ..........................................................................................................14
II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA.......................................................................................................................16
III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG............................................................................................20
DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG...................................................................................................................20
DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT ..............................................................21
DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca ...............................................................................................................................23
DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUÔN TÒN TẠI HAI SỐ CÓ TÍCH KHÔNG 
ÂM.........................................................................................................................................................................24
DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1......................................................26
DẠNG 6 : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU .............................................................................................28
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ .........................................................................................30
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI..........................................................................................................................30
II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA ...................................................................................................................31
III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG............................................................................................32
 1 Nhóm file Word toán THCS
 I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
1. Dạng hai số không âm x, y
• Dạng tổng sang tích: x y 2 xy .
 2
 x y x y 
• Dạng tích sang tổng: xy hay xy .
 2 2 
 x2 y2
• Dạng lũy thừa: x2 y2 2xy hay xy .
 2
 Dấu " " xảy ra x y .
 x2 1
• Dạng đặc biệt: x x.1 .
 2
2. Dạng ba số không âm x, y, z
• Dạng tổng sang tích: x y z 33 xyz .
 3
 x y z x y z 
• Dạng tích sang tổng: 3 xyz hay xyz .
 3 3 
 x3 y3 z3
• Dạng lũy thừa: x3 y3 z3 3xyz hay xyz .
 3
 Dấu " " xảy ra x y z .
 x3 1 1
• Dạng đặc biệt: x x.1.1 .
 3
3. Dạng tổng quát với n số không âm x1, x2 ,..., xn
 n
• Dạng tổng sang tích: x1 x2 ... xn n x1x2...xn .
 x x ... x x x ... x n
 n 1 2 n 1 2 n 
• Dạng tích sang tổng: x1x2...xn hay x1x2...xn .
 n n 
 xn xn ... xn
• Dạng lũy thừa: xn xn ... xn x x ...x hay x x ...x 1 2 n .
 1 2 n 1 2 n 1 2 n n
 Dấu " " xảy ra x1 x2 ... xn .
 xn n 1
• Dạng đặc biệt: x x.1 .1...1 .
 n 1 n
4. Bất đẳng thức trung gian
 1 1 4
• x 0, y 0 . Dấu " " xảy ra x y .
 x y x y
 1 1 1 9
• x 0, y 0, z 0 . Dấu " " xảy ra x y z .
 x y z x y z
DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH
 1
Ví dụ 1. Cho x 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 8x2 4x 15 .
 4x2
 Lời giải
 2 2 1 
Có T 4x 4x 1 4x 2 14
 4x 
 2 Nhóm file Word toán THCS
 2 2 1 2 1
 2x 1 4x 2 14 0 2 4x . 2 14 16 
 4x 4x
 1
Vậy MinT 16 khi x 
 2
 1
Ví dụ 2. Cho x 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 4x2 3x 2011.
 4x
 Lời giải
 1
Có M 4x2 4x 1 x 2010
 4x
 2 1 1
 2x 1 x 2010 0 2 x. 2010 2011. 
 4x 4x
 1
Vậy MinM 2011 khi x 
 2
 x2 y2
Ví dụ 2. Cho x y 0 và xy 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H .
 x y
 Lời giải
 2
 x2 y2 2xy 2xy x y 4
Có H 
 x y x y
 4 4
 x y 2 x y . 4 .
 x y x y
 4
 x y x y 2 y 2 x x 3 1
Vậy Min H 4 khi x y .
 2 
 xy 2 x 2x 2 0 y 3 1
 xy 2 
DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP.
Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh : a b 1 b a 1 ab 
 Lời giải
 1 (b 1) b ab
Có b 1 1.(b 1) a b 1 ; 
 2 2 2
 ab ab ab
Và tương tự: b a 1 a b 1 b a 1 ab đpcm
 2 2 2
Dấu ‘=” xảy ra khi a = b = 2
 11abc
Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ 1. Chứng minh: ab c 1 bc a 9 ca b 4 
 12
 Lời giải:
Có:
 bc ca
 ab c 1 bc a 9 ca b 4 ab (c 1).1 . (a 9).9 . (b 4).4
 3 2
 (c 1) 1 bc (a 9) 9 ca (b 4) 4 11abc
 ab. . . 
 2 3 2 2 2 12
 3 Nhóm file Word toán THCS
Dấu “=” xảy ra khi a = 18, b = 8, c = 2
Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = a b(a 2b) b a(b 2a) 
 Lời giải
Xét:
 3b (a 2b) 3a (b 2a) a2 b2
M. 3 a. 3b(a 2b) b 3a(b 2a) a. b. 5ab
 2 2 2
 a2 b2 a2 b2
 5. 6 M 2 3
 2 2
Vậy MaxM = 2 3 khi a = b = 1
Ví dụ 4. Cho x 0 , y 0 và x2 y2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 P x 14x 10y y 14y 10x 
 Lời giải
Xét: P. 24 24x 14x 10y 24y 14y 10x 
 24x 14x 10y 24y 14y 10x 
 24 x.1 y.1 
 2 2
 x2 1 y2 1 x2 y2 1 48
 24 24 48 P P 4 6 .
 2 2 2 24
Vậy MaxP 4 6 khi x y 1.
Ví dụ 5. Cho x 0 , y 0 và xy x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y .
 Lời giải
 Từ xy x y x y x y
 2 2
 2 1 2 1 4xy x y x y 2
và x y xy x y 4xy x y x y 4 x y 0 x y 4 .
 2 2 2 4
 2 2
 x y 4xy x y 8xy xy 2
Dấu "=" xảy ra khi 
 x y 4 x y 4 x y 4
 x , y là hai nghiệm phương trình t 2 4t 2 0 t 2 2 .
Do x y x 2 2 , y 2 2 .
Vậy MinP 4 khi x 2 2 , y 2 2 .
DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Ví dụ 1. Cho a , b , c 0 và ab bc ac 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 a b c
 P .
 a2 1 b2 1 c2 1
 Lời giải
Thay 1 ab bc ac , ta được:
 a b c
P 
 a2 ab bc ac b2 ab bc ac c2 ab bc ac
 4 Nhóm file Word toán THCS
 a b c
 a b a c b a b c c a c b 
 a a b b c c
 . . .
 a b a c b a b c c a c b
 a a b b c c
 a b a c b a b c c a c b
 2 2 2
 a b a c b c 
 a b a b a c a c b c b c 3
 2 2
 3 1
Vậy MaxP khi a b c .
 2 3
Ví dụ 2. Cho các số dương a , b , c thỏa mãn a b c 1. Chứng minh:
 ab bc ca 3
 c ab a bc b ca 2
 Lời giải
 ab bc ca ab bc ca
Ta có 
 c ab a bc b ca c.1 ab a.1 bc b.1 ca
 ab bc ca
 c a b c ab a a b c bc b a b c ca
 ab bc ac
 a c b c a b a c b c b a 
 a b b c c a
 . . .
 a c c b a b a c b c b a
 1 a b b c c a 3
 ( đpcm).
 2 c a c b a b a c b c a b 2
Ví dụ 3. Cho a 0 , b 0 , c 0 và ab bc ac 3abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 a2 b2 c2
 P .
 c c2 a2 a a2 b2 b b2 c2 
 Lời giải
 a2 b2 c2
Có P 
 c c2 a2 a a2 b2 b b2 c2 
 a2 c2 c2 b2 a2 a2 c2 b2 b2
 c c2 a2 a a2 b2 b b2 c2 
 1 c 1 a 1 b 
 2 2 2 2 2 2 
 c c a a a b b b c 
 1 c 1 a 1 b 
 c 2 c2a2 a 2 a2b2 b 2 b2c2 
 5 Nhóm file Word toán THCS
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ab bc ac 3
 .
 c 2a a 2b b 2c 2 a b c 2abc 2
 3
Vậy MinP khi a b c 1.
 2
Ví dụ 4. Cho a 0 , b 0 , c 0 và a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 a b c
 T .
 1 9b2 1 9c2 1 9a2
 Lời giải
 a 1 9b2 9ab2 b 1 9c2 9bc2 c 1 9a2 9ca2
 Có T 
 1 9b2 1 9c2 1 9a2
 9ab2 9bc2 9ca2 
 a 2 b 2 c 2 
 1 9b 1 9c 1 9a 
 9ab2 9bc2 9ca2 
 a b c 
 2 1.9b2 2 1.9c2 2 1.9a2 
 3 1 2 1
 a b c ab bc ac a b c a b c do a b c 1 .
 2 2 2
 1 1
Vậy MinT khi a b c .
 2 3
 1 1 1 1
Ví dụ 5. Cho a , b , c 0 và 2 . Chứng minh: abc .
 1 a 1 b 1 c 8
 Lời giải
 1 1 1
 Có 2
 1 a 1 b 1 c
 1 1 1 b c cosi b c bc
 1 1 2 . 2 .
 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 b 1 c 1 b 1 c 
 1 ac 1 ab
Tương tự: 2 ; 2 .
 1 b 1 a 1 c 1 c 1 a 1 b 
Nhân các bất đẳng thức dương, cùng chiều ta được:
 1 8abc 1
 hay abc (đpcm). 
 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 8
 6 Nhóm file Word toán THCS
DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI
 1 1 1
 Tách x y z x y y z z x .
 2 2 2
 xyz xy. yz. zx x, y, z 0.
Ví dụ 1. Cho a 0 , b 0 , c 0 và a2 b2 c2 1. Chứng minh: 
 ab bc ac bc ca ab
 a) a b c ; b) 3 .
 c a b a b c
 Lời giải
 ab bc ac 1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc 
a) Có 
 c a b 2 a b 2 b c 2 c a 
 1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc
 .2 . . . . . a b c (đpcm).
 2 a b 2 b c 2 c a
 2 2 2 2 2 2 2
 bc ca ab b c c a a b 2 2 2
b) Xét 2 2 2 2 a b c 
 a b c a b c
 1 b2c2 c2a2 1 c2a2 a2b2 1 a2b2 b2c2 
 2 2 2 2 2 2 2
 2 a b 2 b c 2 c a 
 1 b2c2 c2a2 1 c2a2 a2b2 1 a2b2 b2c2
 .2 . .2 . .2 .
 2 a2 b2 2 b2 c2 2 c2 a2
 bc ac ab
 a2 b2 c2 2 3, do đó 3 (đpcm).
 a b 2
Ví dụ 2. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của ABC . Chứng minh (a b c)(b c a)(c a b) abc .
 Lời giải
 Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của ABC nên
 a b c 0,b c a 0,c a b 0 .
 (a b c) (b c a)
 Có 0 (a b c)(b c a) b ;
 2
 (b c a) (c a b)
 0 (b c a)(c a b) c ;
 2
 (c a b) (a b c)
 0 (c a b)(a b c) a ;
 2
 Nhân ba đẳng thức dương cùng chiều ta được
 (a b c)(b c a)(c a b) abc (điều phải chứng minh).
DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP
 Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của biến.
 Bước 2: Kẻ bảng xác định số nào sẽ đi với nhau.
 Bước 3: Tách ghép thích hợp số hạng và sử dụng bất đẳng thức Cô-si.
 5
Ví dụ 1. Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2a .
 a
 Lời giải
 Phân tích bài toán
 a 2 3 4 
 7 Nhóm file Word toán THCS
 13 23 37
 P 6,5 7,7 9,25 
 2 3 4
 13
 Từ bảng thứ nhất dự đoán min P a 2 .
 2
 1
 a
 a
 1
 a 2 2
 2
 1 a 5 5a
 Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với .
 a 4 a 4
 Trình bày lời giải
 5 5a 3a 5 5a 3a 3a 3.2 13
 Có P 2  5 5 ( do a 2) .
 a 4 4 a 4 4 4 4 2
 5 5a
 13 
 Vậy min P khi a 4 a 2 (thỏa mãn).
 2
 a 2
 6 24
Ví dụ 2. Cho x 0, y 0 và x y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x y .
 x y
 Lời giải
 Phân tích bài toán
 (x ; y) (1 ; 5) (2 ; 4) (3 ; 3) (4 ; 2) (5 ; 1)
 84 39 156
 F 16,8 15 16 19,5 31,2
 5 2 5
 Từ bảng thứ nhất, ta dự đoán min F 15 khi x 2, y 4 .
 1 1
 x y
 x y
 1 1
 x 2, y 4 2 4
 2 4
 1 x 6 6x 3x 1 y 24
 Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với ; sẽ đi với nên sẽ đi với 
 x 4 x 4 2 y 16 y
 24y 3y
 .
 16 4
 Trình bày lời giải
 Có
 6 3x 24 3y x y 
 F 
 x 2 y 2 2 2 
 6 3x 24 3y 1 1
 2  2  (x y) 18 (x y)
 x 2 y 2 2 2
 1
 18 6 15 (do x y 6).
 2
 6 3x 24 3y x 2
 Vậy min F 15 khi ; ; x y 6 (thỏa mãn).
 x 2 y 2 y 4
 8 Nhóm file Word toán THCS
 28 1
Ví dụ 3. Cho x 0, y 0 và x y 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2x2 y2 .
 x y
 Lời giải
 Phân tích bài toán
 x; y 1;2 2;1 
 69
 P 34,5 24
 2
 Từ bảng thứ nhất, ta dự đoán min P 24 khi x 2, y 1.
 1 1
 x y
 x y
 1
 x 2, y 1 2 1 1
 2
 1 x 28 28x 1
 Từ bảng thứ hai, ta suy ra sẽ đi với nên sẽ đi với 7x ; se đi với y .
 x 4 x 4 y
 Trình bày lời giải
 Có
 28 1 2 2
 P 7x y 2x y 7x y
 x y 
 28 1 2 2
 7x y 2(x 2) (y 1) (x y) 9
 x y 
 28 1
 2 7x 2  y 0 0 3 9 24.
 x y
 28 1
 Vậy min P 24 khi 7x; y; x 2 0; y 1 0; x y 3 x 2, y 1.
 x y
Ví dụ 4. Cho 2 x 3,4 y 6,4 z 6 và x y z 12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz .
 Lời giải
 Nhận xét: Do y và z vai trò như nhau nên sử dụng bất đẳng thức Cô-si đối với tích yz , ta được 
 2
 y z 1
 P x(yz) x x(12 x)(12 x) .
 2 4
 Đến đây ta kẻ bảng để dự đoán giá trị lớn nhất của P 
 x 2 3
 243
 P 50 60,75
 4
 243
 Từ bảng thứ nhất dự đoán max P khi x 3.
 4
 x 12 x
 x 3 3 9
 Từ bảng thứ hai, ta suy ra 3x sẽ đi với 12 x nên ta biến đổi
 3 3
 1 1 x 24 1 3 24 243
 P [(3x)(12 x)(12 x)] .
 12 12 3 12 3 4
 243 9
 Vậy max P khi x 3, y z .
 4 2
 9 Nhóm file Word toán THCS
DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ
 • Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện của ẩn phụ.
 • Một số bất đẳng thức trung gian thường dùng:
 ▪ Với mọi a,b thì 2 a2 b2 (a b)2 4ab . Dấu bằng xảy ra khi a b .
 ▪ Với mọi a,b,c thì 3 a2 b2 c2 (a b c)2 3(ab bc ca) . Dấu bằng xảy ra khi 
 a b c .
 2 3
 a2 b2 a b a3 b3 a b 
 ▪ Với mọi a,b thì a,b; a b 0 . Dấu bằng xảy ra khi 
 2 2 2 2 
 a b .
 1 1 4
 ▪ a 0,b 0 . Dấu bằng xảy ra khi a b .
 a b a b
 1 1 1 9
 ▪ a 0,b 0,c 0 . Dấu bằng xảy ra khi a b c .
 a b c a b c
 x 8 x 2y
Ví dụ 1. Cho x 0, y 0 và 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K .
 2 y y x
 Lời giải
 x x 8 x 8 x x 1 1
Đặt a = , do 2 ³ + ³ 2 . = 4 Þ £ Þ 0 < a £ 
 y 2 y 2 y y y 4 4
 2 æ2 ö 2
 K = a + = ç + 32a÷- 31a ³ 2 .32a - 31a
 a èça ø÷ a
Có 
 1 33æ 1ö
 = 16- 31a ³ 16- 31. = çdo0 < a £ ÷
 4 4 èç 4ø÷
 33 1
Vậy MinK = khi a = hay x = 2, y = 8. 
 4 4
 2
 (x + y + 1) xy + x + y
Ví dụ 2. Cho x > 0, y > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= +
 xy + x + y (x + y + 1)2
 2
 (x + y + 1) xy + x + y 1
 Đặt a = Þ = 
 xy + x + y (x + y + 1)2 a
 2 2
Do (m + n + p) ³ 3(mn + np + pm) Þ (x + y + 1) ³ 3(xy + x + y)Þ a ³ 3 
 10
Vậy MinA = khi a = 3 Þ x = y = 1. 
 3
 x2 + y2 xy
Ví dụ 3. Cho x > 0, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = + 
 xy x + y
 Lời giải
 2 2 2
 x + y - 2xy xy x + y xy æ ö xy
 ( ) ( ) çx + y÷
Có A = + = + - 2 = ç ÷ + - 2 
 xy x + y xy x + y èç xy ø÷ x + y
 x + y x + y
Đặt t = ,do x + y ³ 2 xy Þ ³ 2 Þ t ³ 2 
 xy xy
 10