Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 5: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bạn đang xem tài liệu "Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 5: Phương trình quy về phương trình bậc hai", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
Tóm tắt nội dung tài liệu: Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 5: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Nhóm file Word toán THCS CHỦ ĐỀ 5 – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ.........................................................................................................2 DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM .....................................................................2 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ..........................................................................................................2 DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG................................................................................................................................3 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax4 bx3 cx2 bx a 0 ...............................................................................3 DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ..............................................................4 DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ..........................................................................................................4 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ............................................................................................................................6 DẠNG 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐUA ĐƯỢC VỀ DẠNG TÍCH:(x - )( ax2 + bx + c) = 0 ..............................6 DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG: .........................................................................................................8 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ......................................................................................................10 I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ.......................................................................................................10 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ......................................................................................................................10 1 Nhóm file Word toán THCS I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM • Nếu nhẩm được một nghiệm x của phương trình ax3 bx2 cx d 0 thì ta tách được phương trình đó về dạng tích x ax2 b' x c ' 0. • Nếu nhẩm được một nghiệm x của phương trình ax3 bx2 cx d 0 thì ta tách được phương trình đó về dạng tích x ax2 b' x c ' 0 . Ví dụ. Giải phương trình x3 4x2 2x 4 0 . Lời giải Nhận xét: phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x 2 (có thể dùng máy tính) nên ta sẽ tách được nhân tử x 2. Cách 1 Có x3 4x2 2x 4 0 x3 2x2 2x2 4x 2x 4 0 x2 x 2 2x x 2 2 x 2 0 x 2 x2 2x 2 0 x 2 0 x 2 x 2 2 2 x 2x 1 3 0 x 1 3 x 1 3 Cách 2 Có x3 4x2 2x 4 0 (x3 8) 4(x2 4) 2(x 2) 0 x 2 x2 2x 4 4 x 2 x 2 2 x 2 0 x 2 x2 2x 2 0 , từ đó giải được x 2, x 1 3 . Cách 3 Đặt phép chia da thức x3 4x2 2x 4 0 cho đa thức x 2 ta được thương là x2 2x 2 nên x3 4x2 2x 4 x 2 x2 2x 2 nên phương trình x 2 x2 2x 2 0 , từ đó giải được x 2, x 1 3 . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2;1 3 . DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG Xét phương trình ax4 bx2 c 0 a 0 . Cách 1 Đặt t x2 , điều kiện t 0 , ta được phương trình bậc hai at 2 bt c 0 . Giải t , đối chiếu điều kiện và suy ra x . Cách 2 Giải trực tiếp bằng cách đưa về tích hoặc đưa về bình phương theo x . Ví dụ. giải phương trình x4 x2 20 0 . Lời giải Cách 1 (Đặt t x2 ) Đặt t x2 , điều kiện t 0 , phương trình đã cho trở thành t 2 t 20 0 t 2 5t 4t 20 0 t 5 t 4 0 t 5 (loại), t 4 (thỏa mãn) x2 4 x 2 . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2. Cách 2 (giải trực tiếp) Có x4 x2 20 0 x4 5x2 4x2 20 0 x2 x2 5 4 x2 5 0 2 Nhóm file Word toán THCS x2 5 x2 4 0 x2 5 (loại), x2 4 x 2 . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2. DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG x a x b x c x d k a c b d Cách giải: Ghép kết hợp 2 2 x a x c x b x d k x x ac x x bd k ac bd Đặt ẩn phụ t x2 x hoặc t x2 x . 2 Ví dụ. Giải phương trình x 1 x 2 x 3 x 4 24 . Lời giải Cách 1 (Đặt ẩn phụ) Phương trình x 1 x 4 x 2 x 3 24 x2 5x 4 x2 5x 6 24 . Đặt t x2 5x 5, ta được phương trình t 1 t 1 24 t 5 , suy ra x 0, x 5 x2 5x 5 5 x x 5 0 2 2 2 5 15 x 5x 5 5 x 5x 10 x x 2 4 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0; 5 . Cách 2 (Đưa về tích) Phương trình x2 3x 2 x2 7x 12 24 x4 10x3 35x2 50x 0 x x3 10x2 35x 50 0 x x3 5x2 5x2 25x 10x 50 0 x x 5 x2 5x 10 0 x 0, x 5 . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0; 5 . DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax4 bx3 cx2 bx a 0 Cách giải Trường hợp 1: Xét x 0 , thay vào phương trình xem thỏa mãn hay loại. 2 2 1 1 Trường hợp 2: Xét x 0 , chia hai vế phương trình cho x được a x 2 b x c 0, rồi đặt ẩn phụ x x 1 1 t x thì t 2 x2 2 . x x2 Ví dụ. Giải phương trình x4 3x3 2x2 6x 4 0 . Lời giải Cách 1:(Đặt ẩn phụ) Trường hợp 1: Xét x 0 , thay vào phương trình ta được 4 0 (loại). Trường hợp 2: Xét x 0 , chia hai vế phương trình cho x2 được 3 Nhóm file Word toán THCS 2 6 4 2 4 2 x 3x 2 2 0 x 2 3 x 2 0 x x x x 2 4 4 Đặt t x t 2 x2 4 x2 t 2 4 x x2 x2 Phương trình trở thành t 2 4 3t 2 0 t 2 3t 2 0 t 2 t 2t 2 0 t t 1 2 t 1 0 t 1 t 2 0 t 1,t 2 , suy ra 2 x 1 x x2 x 2 0 x2 x 2x 2 0 x 1 x 2 0 2 2 x2 2x 2 0 x2 2x 1 3 0 x 1 3 x 2 x x 1, x 2, x 1 3 . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1; 2; 1 3 Cách 2 (Đưa về tích) Có: x4 3x3 2x2 6x 4 0 x4 x3 4x3 4x2 2x2 2x 4x 4 0 x 1 x3 4x2 2x 4 4 x 1 x3 2x2 2x2 4x 2x 4 0 x 1 x 2 x2 2x 2 0 x 1, x 2, x 1 3 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1; 2; 1 3 DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ • Biến đổi về một biểu thức. • Đặt t bằng biểu thức đó và đưa về phương trình bậc hai đối với t . Ví dụ: Giải phương trình x x 1 x2 x 1 6 . Lời giải Có x x 1 x2 x 1 6 x2 x x2 x 1 6 . Đặt t x2 x , ta được t 2 t 6 0 t 2,t 3. t 2 x2 x 2 0 x 1, x 2 . t 3 x2 x 3 0 (vô nghiệm). Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1;2 DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Đặt điều kiện các mẫu khác 0. Quy đồng cùng mẫu chung rồi bỏ mẫu. Đặt ẩn phụ nếu được. 90 90 9 Ví dụ 1. Giải phương trình . x x 9 2 Lời giải 4 Nhóm file Word toán THCS Điều kiện: x 0, x 9 . 90 90 9 10 10 1 20x 90 1 Có x x 9 2 x x 9 2 x x 9 2 x2 31x 180 0, 31 2 4.1. 180 1681 0 41 31 41 x x 36, x 5. (thỏa mãn điều kiện) 2 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 36; 5. 5 Nhóm file Word toán THCS II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ DẠNG 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐUA ĐƯỢC VỀ DẠNG TÍCH:(x - )( ax2 + bx + c) = 0 Bước 1: Tách riêng phần chứa m được dạng f(x) + m(x - ) = 0, rồi tách x - từ f(x) ta đưa được phương trình đã cho về dạng: x (x - )( ax2 + bx + c) = 0 2 ax bx c 0 Bước 2: Ghi nhớ một số điều kiện sau: • Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt Phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x . • Phương trình đã cho có đúng 2 phân biệt Phương trình ax2 + bx + c = 0 có đúng một nghiệm thỏa mãn x . • Phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm Phương trình ax2 + bx + c = 0 hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x . Ví dụ: Cho phương trình: x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 = 0 (1) Tìm m để phương trình đã cho: a) Có ba nghiệm phân biệt b) Có đúng hai nghiệm khác nhau c) Có đúng một nghiệm d) Có ba nghiệm phân biệt x1;x2;x3 thỏa mãn x1x2 x2x3 x1x3 6 . Lời giải Ta có: (1) x3 – 3x2 + 4 + 3m(x + 1) = 0 (x + 1)(x2 – 4x + 4) + 3m(x + 1) = 0 x 1 2 (x + 1)(x – 4x + 4 + 3m) = 0 2 x – 4x 4 3m 0 (2) a) (1) có ba nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt x -1 ' 4 4 3m 0 m 0 2 ( 1) 4.( 1) 4 3m 0 m 3 Vậy m < 0, m -3 là giá trị cần tìm b) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau (2) có đúng một nghiệm x -1 Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x -1 ' 4 4 3m 0 m 0 m 0 2 ( 1) 4.( 1) 4 3m 0 m 3 Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó một có nghiệm x = -1 ' 4 4 3m 0 m 0 (loại). 2 ( 1) 4.( 1) 4 3m 0 m 3 Vậy m = 0 là giá trị cần tìm c) (1) có đúng hai nghiệm (2) không có nghiệm nào thỏa mãn x -1 Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x = -1 ' 4 4 3m 0 m 0 (loại). 2 ( 1) 4.( 1) 4 3m 0 m 3 Trường hợp 2: (2) vô nghiệm kép ' 4 4 3m 0 m > 0 Vậy m > 0 là giá trị cần tìm d) Theo câu a) với m < 0, m -3 thì (1) có ba nghiệm phân biệt x1;x2;x3 6 Nhóm file Word toán THCS Do x1;x2;x3 vai trò như nhau và trong ba nghiệm của (1) có một nghiệm bằng - 1 nên ta giả sử x3 = -1 thì x1;x2 là hai nghiệm của (2). b c Theo định lý Vi-ét, ta có x x 4;x x 3m 4 1 2 a 1 2 a Thay x3 1 vào x1x2 x2x3 x1x3 6 ta được: x1x2 (x1 x2 ) 6 3m 4 4 6 m 2 (thỏa mãn) Vậy m = -2 là giá trị cần tìm. 7 Nhóm file Word toán THCS DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG: Bài toán: Tìm m để phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) (1) a) Có bốn nghiệm phân biệt. b) Có đúng ba nghiệm khác nhau. c) Có đúng hai nghiệm khác nhau. d) Có đúng một nghiệm. e) Vô nghiệm. Bước 1: Đặt t = x2, t 0 , phương trình trở thành at2 + bt + c = 0 (2) Bước 2: Nhận xét • Với t < 0 thì không có x • Với t = 0 thì có 1 giá trị x = 0 • Với t > 0 thì có hai giá trị của x là x = t Do đó ta có các kết quả sau: a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có hai nghiệm phân biệt t 1 > 0, t 2 > 0. b) (1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2)có hai nghiệm phân biệt t 1 > 0, t 2 > 0. c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xảy ra hai trường hợp: Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t 1 = t 2 > 0. Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t 1 < 0< t 2 . d) (1) có đúng một nghiệm xảy ra hai trường hợp: Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t 1 = t 2 = 0. Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t 1 < 0 ; t 2 = 0. e) (1) vô nghiệm xảy ra ba trường hợp: Trường hợp 1: (2) vô nghiệm Trường hợp 2: (2) có nghiệm kép thỏa mãn t 1 = t 2 < 0 Trường hợp 3: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t 1 < 0 ; t 2 < 0. Ví dụ : Cho phương trình x4 – (2m – 1)x2 + 2m – 2 = 0 (1) Tìm m để phương trình đã cho : a) Có bốn nghiệm phân biệt. b) Có đúng ba nghiệm khác nhau. c) Có đúng hai nghiệm khác nhau. 4 4 4 4 d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 x2 x3 x4 10 Lời giải Cách 1: (Đặt ẩn phụ t =x2) Đặt t = x2 , t 0 , phương trình (1) trở thành t2 – (2m – 1)t + 2m – 2 = 0 (2) Nhận xét : • Với t < 0 thì không có x. • Với t > 0 thì có một nghiệm x = 0 • Với t > 0 thì có hai giá trị của x là x = t a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có 2 nghiệm phân biệt t 1 > 0, t 2 > 0. Có = [-(2m)]2 – 4.1.(2m – 2) = (2m – 1)2 – 8m + 8 = (2m – 3)2 3 • (2) có hai nghiệm phân biệt t , t khi > 0 (2m – 3)2 > 0 m . 1 2 2 b c Theo định lý Vi-ét, ta có t + t = = 2m – 1, t t = = 2m – 2 1 2 a 1 2 a 8 Nhóm file Word toán THCS t1 t2 0 2m 1 0 * t 1 > 0, t 2 > 0 m 1 t1t2 0 2m 2 0 3 Vậy với m > 1, m là các giá trị cần tìm 2 b)(1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2) có hai nghiệm phân biệt t 1 > 0, t 2 > 0. 3 * Theo trên thì (2) có hai nghiệm phân biệt t , t khi m . 1 2 2 00 (2m 1).0 2m 2 0 * t 1 = 0, t 2 > 0 m 1(thỏa mãn) t1 t2 2m 1 0 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xảy ra hai trường hợp: (2m 3)2 0 3 Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t 1 = t 2 > 0 b m 2m 1 0 2 a Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t 1 < 0< t 2 c 2m 2 0 m 1 a 3 Vậy m < 1; m = là giá trị cần tìm. 2 3 d)Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi m > 1, m . 2 Do t 1 > 0 ; t 2 > 0 nên bốn nghiệm phân biệt của (1) là : x 1 = t1 ;x2 t1 ;x3 t2 ;x4 t2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 Suy ra : x1 x2 x3 x4 ( t1 ) ( t1 ) ( t2 ) ( t2 ) 2(t1 t2 ) = 2 2 2 (t1 t2 ) 2t1t2 2 (2m 1) 2(2m 2) = 2(4m2 – 8m +5) 4 4 4 4 2 2 Do đó x1 x2 x3 x4 10 2 4m 8m 5 10 4m 8m 0 4m m 2 0 m 0 (loại), m 2 (thỏa mãn). Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Cách 2 (Đưa về tích) Phương trình (1) x4 2mx2 x2 2m 2 0 x4 x2 2 2mx2 2m 0 x2 1 x2 2 2m x2 1 0 x2 1 x2 2m 2 0 x 1, x2 2m 2. a) Vì phương trình đã có hai nghiệm phân biệt là x 1 nên để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình x2 2m 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 2m 2 0 3 2 m 1, m . 2m 2 1 1 2 3 Vậy m 1, m là giá trị cần tìm. 2 9 Nhóm file Word toán THCS b) Vì phương trình đã có hai nghiệm trình x 1 nên để phương trình đã cho có ba nghiệm khác nhau thì phương trình x2 2m 2 phải có đúng một nghiệm x 0 2m 2 0 m 1. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. c) Vì phương trình đã có đủ hai nghiệm khác nhau là x 1 nên để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm khác nhau thi phương trình x2 2m 2 hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm là x 1 m 1 2m 2 0 3 2m 2 1 m 2 3 Vậy m 1; m = là giá trị cần tìm. 2 3 d) Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi m 1, m . 2 Khi đó bốn nghiệm của (1) là x 1, x 2m 2 , do đó 4 4 4 4 4 4 4 4 x1 x2 x3 x4 10 1 1 2m 2 2m 2 10 1 1 2m 2 2 2m 2 2 10 2m 2 2 4 2m 2 2 m 0 (loại), m 2 (thỏa mãn). Vậy m 2 là giá trị cần tìm. HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ Bài 1. Giải phương trình x3 4x2 2x 4 0. Bài 2. Giải phương trình x4 x2 20 0. Bài 3. Giải phương trình x 1 x 2 x 3 x 4 24. Bài 4. Giải phương trình x4 3x3 2x2 6x 4 0. Bài 5. Giải phương trình x x 1 x2 x 1 6. 90 90 9 Bài 6. Giải phương trình . x x 9 2 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Bài 1. Cho phương trình x3 3x2 3mx 3m 4 0. Tìm m để phương trình đã cho: a) Có ba nghiệm phân biệt b) Có đúng hai nghiệm khác nhau c) có đúng một nghiệm. d) Có ba nghiệm x1, x2 , x3 thỏa mãn x1x2 x2x3 x3x1 6. Bài 2. Cho phương trình x4 2m 1 x2 2m 2 0. Tìm m để phương trình đã cho: a) Có bốn nghiệm phân biệt b) Có đúng ba nghiệm khác nhau c) Có đúng hai nghiệm khác nhau 4 4 4 4 d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 x2 x3 x4 10 . 10
File đính kèm:
de_cuong_on_tap_toan_lop_9_chu_de_5_phuong_trinh_quy_ve_phuo.docx