Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 5: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 Nhóm file Word toán THCS
 CHỦ ĐỀ 5 – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ.........................................................................................................2
 DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM .....................................................................2
 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ..........................................................................................................2
 DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG................................................................................................................................3
 DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax4 bx3 cx2 bx a 0 ...............................................................................3
 DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ..............................................................4
 DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ..........................................................................................................4
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ............................................................................................................................6
 DẠNG 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐUA ĐƯỢC VỀ DẠNG TÍCH:(x - )( ax2 + bx + c) = 0 ..............................6
 DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG: .........................................................................................................8
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ......................................................................................................10
 I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ.......................................................................................................10
 II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ......................................................................................................................10
 1 Nhóm file Word toán THCS
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ
 DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM
 • Nếu nhẩm được một nghiệm x của phương trình ax3 bx2 cx d 0 thì ta tách được phương trình 
 đó về dạng tích x ax2 b' x c ' 0.
 • Nếu nhẩm được một nghiệm x của phương trình ax3 bx2 cx d 0 thì ta tách được phương 
 trình đó về dạng tích x ax2 b' x c ' 0 .
 Ví dụ. Giải phương trình x3 4x2 2x 4 0 .
 Lời giải
 Nhận xét: phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x 2 (có thể dùng máy tính) nên ta sẽ tách được nhân 
 tử x 2.
 Cách 1 Có x3 4x2 2x 4 0 x3 2x2 2x2 4x 2x 4 0
 x2 x 2 2x x 2 2 x 2 0 x 2 x2 2x 2 0
 x 2 0 x 2 x 2
 2 2 
 x 2x 1 3 0 x 1 3 x 1 3
 Cách 2 Có x3 4x2 2x 4 0 (x3 8) 4(x2 4) 2(x 2) 0
 x 2 x2 2x 4 4 x 2 x 2 2 x 2 0
 x 2 x2 2x 2 0 , từ đó giải được x 2, x 1 3 .
 Cách 3 Đặt phép chia da thức x3 4x2 2x 4 0 cho đa thức x 2 ta được thương là x2 2x 2 nên 
 x3 4x2 2x 4 x 2 x2 2x 2 nên 
 phương trình x 2 x2 2x 2 0 , từ đó giải được x 2, x 1 3 .
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2;1 3 .
 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
 Xét phương trình ax4 bx2 c 0 a 0 .
 Cách 1 Đặt t x2 , điều kiện t 0 , ta được phương trình bậc hai at 2 bt c 0 . Giải t , đối chiếu điều kiện và 
 suy ra x .
 Cách 2 Giải trực tiếp bằng cách đưa về tích hoặc đưa về bình phương theo x .
 Ví dụ. giải phương trình x4 x2 20 0 .
 Lời giải
 Cách 1 (Đặt t x2 )
 Đặt t x2 , điều kiện t 0 , phương trình đã cho trở thành
 t 2 t 20 0 t 2 5t 4t 20 0 t 5 t 4 0
 t 5 (loại), t 4 (thỏa mãn) x2 4 x 2 .
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2.
 Cách 2 (giải trực tiếp)
 Có x4 x2 20 0 x4 5x2 4x2 20 0 x2 x2 5 4 x2 5 0
 2 Nhóm file Word toán THCS
 x2 5 x2 4 0 x2 5 (loại), x2 4 x 2 .
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2.
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
 x a x b x c x d k a c b d 
Cách giải: Ghép kết hợp
 2 2
 x a x c x b x d k x x ac x x bd k
 ac bd
Đặt ẩn phụ t x2 x hoặc t x2 x .
 2
Ví dụ. Giải phương trình x 1 x 2 x 3 x 4 24 .
 Lời giải
Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
Phương trình x 1 x 4 x 2 x 3 24
 x2 5x 4 x2 5x 6 24 .
Đặt t x2 5x 5, ta được phương trình t 1 t 1 24 t 5 , suy ra
 x 0, x 5
 x2 5x 5 5 x x 5 0 
 2
 2 2 5 15
 x 5x 5 5 x 5x 10 x x 
 2 4
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0; 5 .
Cách 2 (Đưa về tích)
Phương trình x2 3x 2 x2 7x 12 24 x4 10x3 35x2 50x 0
 x x3 10x2 35x 50 0 x x3 5x2 5x2 25x 10x 50 0
 x x 5 x2 5x 10 0 x 0, x 5 .
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 0; 5 .
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax4 bx3 cx2 bx a 0
Cách giải
Trường hợp 1: Xét x 0 , thay vào phương trình xem thỏa mãn hay loại.
 2 2 1 1 
Trường hợp 2: Xét x 0 , chia hai vế phương trình cho x được a x 2 b x c 0, rồi đặt ẩn phụ 
 x x 
 1 1
t x thì t 2 x2 2 .
 x x2
Ví dụ. Giải phương trình x4 3x3 2x2 6x 4 0 .
 Lời giải
Cách 1:(Đặt ẩn phụ)
Trường hợp 1: Xét x 0 , thay vào phương trình ta được 4 0 (loại).
Trường hợp 2: Xét x 0 , chia hai vế phương trình cho x2 được
 3 Nhóm file Word toán THCS
 2 6 4 2 4 2 
x 3x 2 2 0 x 2 3 x 2 0
 x x x x 
 2 4 4
Đặt t x t 2 x2 4 x2 t 2 4
 x x2 x2
Phương trình trở thành t 2 4 3t 2 0 t 2 3t 2 0 t 2 t 2t 2 0
 t t 1 2 t 1 0 t 1 t 2 0 t 1,t 2 , suy ra
 2
 x 1
 x x2 x 2 0 x2 x 2x 2 0 x 1 x 2 0
 2
 2 x2 2x 2 0 x2 2x 1 3 0 x 1 3
 x 2 
 x
 x 1, x 2, x 1 3 .
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1; 2; 1 3
Cách 2 (Đưa về tích)
Có: x4 3x3 2x2 6x 4 0 x4 x3 4x3 4x2 2x2 2x 4x 4 0
 x 1 x3 4x2 2x 4 4 x 1 x3 2x2 2x2 4x 2x 4 0
 x 1 x 2 x2 2x 2 0 x 1, x 2, x 1 3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1; 2; 1 3
DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
• Biến đổi về một biểu thức.
• Đặt t bằng biểu thức đó và đưa về phương trình bậc hai đối với t .
Ví dụ: Giải phương trình x x 1 x2 x 1 6 .
 Lời giải
Có x x 1 x2 x 1 6 x2 x x2 x 1 6 .
Đặt t x2 x , ta được t 2 t 6 0 t 2,t 3.
 t 2 x2 x 2 0 x 1, x 2 .
 t 3 x2 x 3 0 (vô nghiệm).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1;2
DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
 Đặt điều kiện các mẫu khác 0.
 Quy đồng cùng mẫu chung rồi bỏ mẫu.
 Đặt ẩn phụ nếu được.
 90 90 9
 Ví dụ 1. Giải phương trình .
 x x 9 2
 Lời giải
 4 Nhóm file Word toán THCS
Điều kiện: x 0, x 9 .
 90 90 9 10 10 1 20x 90 1
Có 
 x x 9 2 x x 9 2 x x 9 2
 x2 31x 180 0, 31 2 4.1. 180 1681 0 41
 31 41
 x x 36, x 5. (thỏa mãn điều kiện)
 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 36; 5.
 5 Nhóm file Word toán THCS
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
DẠNG 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐUA ĐƯỢC VỀ DẠNG TÍCH:(x - )( ax2 + bx + c) = 0
Bước 1: Tách riêng phần chứa m được dạng f(x) + m(x - ) = 0, rồi tách x - từ f(x) ta đưa được phương trình 
đã cho về dạng: 
 x 
 (x - )( ax2 + bx + c) = 0  
 2
 ax bx c 0
Bước 2: Ghi nhớ một số điều kiện sau:
 • Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  Phương trình ax2 + bx + c = 0 có
hai nghiệm phân biệt x .
 • Phương trình đã cho có đúng 2 phân biệt  Phương trình ax2 + bx + c = 0 có đúng một nghiệm thỏa mãn 
x .
 • Phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm  Phương trình ax2 + bx + c = 0 hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm 
 kép x .
Ví dụ: Cho phương trình: x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 = 0 (1)
Tìm m để phương trình đã cho:
a) Có ba nghiệm phân biệt
b) Có đúng hai nghiệm khác nhau
c) Có đúng một nghiệm
d) Có ba nghiệm phân biệt x1;x2;x3 thỏa mãn x1x2 x2x3 x1x3 6 .
 Lời giải
Ta có: (1)  x3 – 3x2 + 4 + 3m(x + 1) = 0 (x + 1)(x2 – 4x + 4) + 3m(x + 1) = 0 
 x 1
 2
  (x + 1)(x – 4x + 4 + 3m) = 0 
 2
 x – 4x 4 3m 0 (2)
a) (1) có ba nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm phân biệt x -1
 ' 4 4 3m 0 m 0
  
 2 
 ( 1) 4.( 1) 4 3m 0 m 3
 Vậy m < 0, m -3 là giá trị cần tìm
b) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau  (2) có đúng một nghiệm x -1
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x -1
 ' 4 4 3m 0 m 0
  m 0
 2 
 ( 1) 4.( 1) 4 3m 0 m 3
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó một có nghiệm x = -1
 ' 4 4 3m 0 m 0
  (loại).
 2 
 ( 1) 4.( 1) 4 3m 0 m 3
 Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
c) (1) có đúng hai nghiệm  (2) không có nghiệm nào thỏa mãn x -1
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x = -1
 ' 4 4 3m 0 m 0
  (loại).
 2 
 ( 1) 4.( 1) 4 3m 0 m 3
 Trường hợp 2: (2) vô nghiệm kép  ' 4 4 3m 0  m > 0
 Vậy m > 0 là giá trị cần tìm
d) Theo câu a) với m < 0, m -3 thì (1) có ba nghiệm phân biệt x1;x2;x3
 6 Nhóm file Word toán THCS
Do x1;x2;x3 vai trò như nhau và trong ba nghiệm của (1) có một nghiệm bằng - 1 nên ta giả sử x3 = -1 thì x1;x2 
là hai nghiệm của (2).
 b c
Theo định lý Vi-ét, ta có x x 4;x x 3m 4
 1 2 a 1 2 a
Thay x3 1 vào x1x2 x2x3 x1x3 6 ta được:
 x1x2 (x1 x2 ) 6 3m 4 4 6 m 2 (thỏa mãn)
 Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.
 7 Nhóm file Word toán THCS
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG:
Bài toán: Tìm m để phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) (1)
a) Có bốn nghiệm phân biệt.
b) Có đúng ba nghiệm khác nhau.
c) Có đúng hai nghiệm khác nhau.
d) Có đúng một nghiệm.
e) Vô nghiệm.
Bước 1: Đặt t = x2, t 0 , phương trình trở thành at2 + bt + c = 0 (2)
Bước 2: Nhận xét
 • Với t < 0 thì không có x
 • Với t = 0 thì có 1 giá trị x = 0
 • Với t > 0 thì có hai giá trị của x là x = t 
Do đó ta có các kết quả sau:
a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có hai nghiệm phân biệt t 1 > 0, t 2 > 0.
b) (1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2)có hai nghiệm phân biệt t 1 > 0, t 2 > 0.
c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t 1 = t 2 > 0.
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t 1 < 0< t 2 .
d) (1) có đúng một nghiệm xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t 1 = t 2 = 0.
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t 1 < 0 ; t 2 = 0.
e) (1) vô nghiệm xảy ra ba trường hợp:
Trường hợp 1: (2) vô nghiệm
Trường hợp 2: (2) có nghiệm kép thỏa mãn t 1 = t 2 < 0
Trường hợp 3: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t 1 < 0 ; t 2 < 0.
Ví dụ : Cho phương trình x4 – (2m – 1)x2 + 2m – 2 = 0 (1)
Tìm m để phương trình đã cho :
a) Có bốn nghiệm phân biệt.
b) Có đúng ba nghiệm khác nhau.
c) Có đúng hai nghiệm khác nhau.
 4 4 4 4
d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 x2 x3 x4 10 
 Lời giải
Cách 1: (Đặt ẩn phụ t =x2)
Đặt t = x2 , t 0 , phương trình (1) trở thành t2 – (2m – 1)t + 2m – 2 = 0 (2)
Nhận xét :
 • Với t < 0 thì không có x.
 • Với t > 0 thì có một nghiệm x = 0
 • Với t > 0 thì có hai giá trị của x là x = t
 a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có 2 nghiệm phân biệt t 1 > 0, t 2 > 0.
Có = [-(2m)]2 – 4.1.(2m – 2) = (2m – 1)2 – 8m + 8 = (2m – 3)2
 3
 • (2) có hai nghiệm phân biệt t , t khi > 0  (2m – 3)2 > 0  m .
 1 2 2
 b c
 Theo định lý Vi-ét, ta có t + t = = 2m – 1, t t = = 2m – 2
 1 2 a 1 2 a
 8 Nhóm file Word toán THCS
 t1 t2 0 2m 1 0
 * t 1 > 0, t 2 > 0  m 1 
 t1t2 0 2m 2 0
 3
 Vậy với m > 1, m là các giá trị cần tìm
 2
 b)(1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2) có hai nghiệm phân biệt t 1 > 0, t 2 > 0.
 3
* Theo trên thì (2) có hai nghiệm phân biệt t , t khi m .
 1 2 2
 00 (2m 1).0 2m 2 0
* t 1 = 0, t 2 > 0  m 1(thỏa mãn)
 t1 t2 2m 1 0
 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xảy ra hai trường hợp:
 (2m 3)2 0
 3
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t 1 = t 2 > 0 b m 
 2m 1 0 2
 a
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t 1 < 0< t 2
 c
 2m 2 0 m 1
 a
 3
 Vậy m < 1; m = là giá trị cần tìm.
 2
 3
d)Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi m > 1, m .
 2
Do t 1 > 0 ; t 2 > 0 nên bốn nghiệm phân biệt của (1) là :
 x 1 = t1 ;x2 t1 ;x3 t2 ;x4 t2
 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
Suy ra : x1 x2 x3 x4 ( t1 ) ( t1 ) ( t2 ) ( t2 ) 2(t1 t2 )
 = 2 2 2 
 (t1 t2 ) 2t1t2 2 (2m 1) 2(2m 2) 
 = 2(4m2 – 8m +5)
 4 4 4 4 2 2
Do đó x1 x2 x3 x4 10 2 4m 8m 5 10 4m 8m 0
 4m m 2 0 m 0 (loại), m 2 (thỏa mãn).
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Cách 2 (Đưa về tích)
Phương trình (1) x4 2mx2 x2 2m 2 0 x4 x2 2 2mx2 2m 0
 x2 1 x2 2 2m x2 1 0 x2 1 x2 2m 2 0
 x 1, x2 2m 2.
a) Vì phương trình đã có hai nghiệm phân biệt là x 1 nên để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 
thì phương trình x2 2m 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1
 2m 2 0 3
 2 m 1, m .
 2m 2 1 1 2
 3
Vậy m 1, m là giá trị cần tìm.
 2
 9 Nhóm file Word toán THCS
b) Vì phương trình đã có hai nghiệm trình x 1 nên để phương trình đã cho có ba nghiệm khác nhau thì 
phương trình x2 2m 2 phải có đúng một nghiệm x 0 2m 2 0 m 1.
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
c) Vì phương trình đã có đủ hai nghiệm khác nhau là x 1 nên để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm 
khác nhau thi phương trình x2 2m 2 hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm là x 1
 m 1
 2m 2 0 
 3
 2m 2 1 m 
 2
 3
Vậy m 1; m = là giá trị cần tìm.
 2
 3
d) Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi m 1, m .
 2
Khi đó bốn nghiệm của (1) là x 1, x 2m 2 , do đó
 4 4
 4 4 4 4 4 4
x1 x2 x3 x4 10 1 1 2m 2 2m 2 10
 1 1 2m 2 2 2m 2 2 10 2m 2 2 4 2m 2 2
 m 0 (loại), m 2 (thỏa mãn).
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ
Bài 1. Giải phương trình x3 4x2 2x 4 0.
Bài 2. Giải phương trình x4 x2 20 0.
Bài 3. Giải phương trình x 1 x 2 x 3 x 4 24.
Bài 4. Giải phương trình x4 3x3 2x2 6x 4 0.
Bài 5. Giải phương trình x x 1 x2 x 1 6.
 90 90 9
Bài 6. Giải phương trình .
 x x 9 2
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Bài 1. Cho phương trình x3 3x2 3mx 3m 4 0. Tìm m để phương trình đã cho:
 a) Có ba nghiệm phân biệt
 b) Có đúng hai nghiệm khác nhau
 c) có đúng một nghiệm.
 d) Có ba nghiệm x1, x2 , x3 thỏa mãn x1x2 x2x3 x3x1 6.
Bài 2. Cho phương trình x4 2m 1 x2 2m 2 0. Tìm m để phương trình đã cho:
 a) Có bốn nghiệm phân biệt
 b) Có đúng ba nghiệm khác nhau
 c) Có đúng hai nghiệm khác nhau
 4 4 4 4
 d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 x2 x3 x4 10 .
 10