Đề cương ôn tập Toán Lớp 9 - Chủ đề 2: Phương trình và hệ phương trình

 CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Kiến thức cần nhớ
- Cho phương trình ax2 bx c 0 (1) (a 0) 
 b2 4ac. + Nếu 0 , phương trình (1) vô nghiệm.
 b
 + Nếu 0 , phương trình (1) có nghiệm kép x 
 2a
 b 
 + Nếu 0 , phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 
 1,2 2a
 - Cho phương trình ax2 2b'x c 0 (2) (a 0) 
 ' b'2 ac . + Nếu ' 0, phương trình (2) vô nghiệm.
 b'
 + Nếu ' 0, phương trình (2) có nghiệm kép x 
 a
 b' '
 + Nếu ' 0, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x 
 1,2 a
 - Hệ thức Vi – ét: Nếu phương trình ax2 bx c 0(a 0) có hai nghiệm là:
 b
 x x 
 1 2 a
 x1 và x2 thì 
 c
 x x 
 1 2 a
 u v S
 - Nếu có hai số u, v và thì hai số đó là nghiệm của phương trình 
 u.v P
 x2 Sx P 0 với S 2 4P 0 
 - Cho phương trình ax2 bx c 0 (1) (a 0) 
 c
 + Nếu a b c 0 , phương trình (1) có hai nghiệm x 1; x 
 1 2 a
 c
 + Nếu a b c 0 , phương trình (1) có hai nghiệm: x 1, x 
 1 2 a 2. Bài tập minh họa
Bài 1. Cho phương trình 2x2 x m 0 (1)
 a) Giải phương trình khi m = 11 
 b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Lời giải:
 a) Khi m = 11, phương trình (1) có dạng 2x2 x 11 0 
 1 89 1 89
 1 88 89 , phương trình có hai nghiệm x ; x 
 1 4 2 4
 1
 b) 1 8m . Để phương trình (1) có nghiệm kép thì 0 m 
 8
Bài 2. Cho phương trình: (m 2)x2 2mx (m 1) 0 (*)
 a) Giải phương trình khi m = 2.
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
 1
 a) Khi m = 2, phương trình (*) có dạng 4x 1 0 x 
 4
 1
Vậy khi m = 2, phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 
 4
 m 2 0 (1)
 b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 2 
 ' m (m 2)(m 1) 0 (2)
 (1) m 2
 2 
 (2) 3m 2 0 m 
 3
 2
Vậy điều kiện cần tìm là m và m 2 
 3
Bài 3. Cho phương trình: x2 mx 2m 4 0 (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
 a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn;
 b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Lời giải:
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 2m 4 0 m 2 Theo hệ thức Vi – ét: x1 x2 m 
 a) Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn x1 x2 0 m 0 m 0 
Vậy điều kiện cần tìm là 2 m 0 
 b) Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn x1 x2 0 m 0 m 0 
Vậy điều kiện cần tìm là m 0 
Bài 4. Cho phương trình x2 2mx m2 4 0 
 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải:
 ' m2 m2 4 4 0m . Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
 x1 x2 2m
Theo hệ thức Vi – ét: 2 
 x1.x2 m 4
 a) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 
 2m 0 m 0
 2 2 m 2 
 m 4 0 m 4
 2m 0
 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 2 m 2 
 m 4 0
Bài 5. Cho phương trình x2 mx 2m 4 0 (1)
 2 2
 a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2 13 
 3 3
 b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2 9 
Lời giải:
 a) m2 8m 16 (m 4)2 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 
 x1 x2 m
 0 m 4 . Theo hệ thức Vi – ét 
 x1.x2 2m 4
 2 2 2 2 2
 x1 x2 13 x1 x2 2x1.x2 13 m 4m 8 13 m 4m 5 0 
Suy ra m1 1;m2 5. Vậy m 1;m 5 là các số cần tìm.
 3 3 3 3
 b) x1 x2 9 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) 9 m 3(2m 4)m 9 
 m3 6m2 12m 8 1 (m 2)3 1 m 2 1 m 3 Vậy m = 3 là số cần tìm.
Bài 6. Cho phương trình x2 2x m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm 
phân biệt x1, x2 sao cho :
 a) x1 2x2 
 b) x1 x2 4 
Lời giải :
 ' 1 m 1 2 m. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 
 x1 x2 2 (1)
 2 m 0 m 2 . Theo hệ thức Vi – ét 
 x1.x2 m 1 (2)
 2 4
 a) Thay x 2x vào (1) ta có 3x 2 x ; x 
 1 2 2 2 3 1 3
 2 4 17
Thay vào (2) ta có . m 1 m là số cần tìm.
 3 3 9
 2 2
 b) x1 x2 4 (x1 x2 ) 16 (x1 x2 ) 4x1x2 16 
 4 4(m 1) 16 m 2 là số cần tìm.
Bài 7. Cho phương trình x4 2(m 1)x2 2m 1 0 (1)
 a) Giải phương trình khi m = 1
 b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Đặt t x2 (t 0) . Phương trình (1) có dạng :
 t 2 2(m 1)t 2m 1 0 (2)
 a) Khi m = 1, phương trình (2) t 2 4t 3 0 . Phương trình có hai nghiệm 
 t1 1,t2 3 
 t 1 x2 1 x 1 
 t 3 x2 3 x 3 
 Phương trình có tập nghiệm S 1;1; 3; 3 
 b) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm 
 dương phân biệt. Điều này chỉ xảy ra khi 2
 2 m 0
 ' (m 1) 2m 1 0 m 0
 m 1 
 t1 t2 2(m 1) 0 1 
 1 m 
 t1t2 2m 1 0 m 2
 2
Bài 8. Cho phương trình x3 m(x 2) 8 0 (1)
 a) Giải phương trình khi m = 2.
 b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 
 2 2 2
 c) Tìm m để x1 x2 x3 x1x2 x3 25 
Lời giải :
Phương trình (1) (x 2)(x2 2x 4) m(x 2) 0
 (x 2)(x2 2x 4 m) 0 (2)
 a) Khi m = 2, phương trình (2) có dạng : (x 2)(x2 2x 2) 0 
 x 2
 2 
 x 2x 2 0 (*)
Phương trình (*) vô nghiệm vì ' 1 2 0 . Vậy khi m = 2, phương trình có một 
nghiệm duy nhất là x 2 
 x 2 (2)
 b) Phương trình (1) 2 
 x 2x 4 m 0 (3)
Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì (3) phải có hai nghiệm phân biệt 2 
 ' 1 4 m 0 m 3
 2 
 ( 2) 2( 2) 4 m 0 m 12
 c) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (3) thì x3 2 
 x1 x2 2
Theo hệ thức Vi – ét : 
 x1x2 4 m
 2 2 2
Do đó x1 x2 4 2x1x2 25 (x1 x2 ) 4x1x2 21 
 33
 4 4(4 m) 21 4m 33 m thỏa mãn điều kiện.
 4
 33
Vậy m là giá trị cần tìm.
 4 5x m 1 x
Bài 9. Cho phương trình 0 (1)
 x2 4 x 2 x 2
 a) Giải phương trình khi m = 14
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải : 
Điều kiện xác định x 2 (*)
 5x m x 2 x2 2x x2 4x 2 m
 (1) 0 0 (2)
 (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)
Với điều kiện (*), phương trình (2) x2 4x 2 m 0 (3)
 a) Khi m = 14, phương trình (3) x2 4x 12 0 . Phương trình có hai nghiệm 
 x1 6; x2 2 
Đối chiếu với điều kiện chỉ có x 6 là nghiệm của (1)
 b) Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (3) phải có hai nghiệm phân 
 biệt 2 
 ' 4 2 m 0 m 2
 4 5 2 m 0 m 14 
 4 8 2 m 0 m 2
Vậy m 2 và m 14 thỏa mãn đề bài.
Bài 10. Giải các phương trình sau :
 2 1 1 
 a) 2 x 2 3 x 2 0 (1)
 x x 
 b) x4 5x3 8x2 5x 1 0 (2)
 c) x(x 1)(x 2)(x 3) 24 (3)
 d) x4 2x3 4x2 3x 10 0 (4)
Lời giải :
 a) Phương trình 1 có điều kiện xác định là x 0 
 1 1
Đặt t x x2 t 2 2 
 x x2
Ta có phương trình 2(t 2 2) 3t 2 0 2t 2 3t 2 0 
 1
Phương trình này có hai nghiệm t 2;t 
 1 2 2 1
 t 2 x 2 x2 2x 1 0 (x 1)2 0 x 1 
 x
 1 1 1
 t x 2x2 x 2 0, 1 16 0 , phương trình vô nghiệm.
 2 x 2
Vậy phương trình có nghiệm x 1 
 b) Nhận xét x 0 không là nghiệm của (2). Chia hai vế cho x2 0, ta được :
 2 5 1 2 1 1 
 x 5x 8 2 0 x 2 5 x 8 0 
 x x x x 
 1 1
Đặt t x x2 t 2 2. Phương trình có dạng :
 x x2
 2 2
 t 2 5t 8 0 t 5t 6 0, phương trình có nghiệm t1 2;t2 3 
 1
 t 2 x 2 x2 2x 1 0, phương trình có nghiệm x 1 2; x 1 2 
 x 1 2
 1
 t 3 x 3 x2 3x 1 0 , phương trình có nghiệm 
 x
 3 13 3 13
 x ; x 
 3 2 4 2
 c) Phương trình (3) (x2 3x)(x2 3x 2) 24 .
Đặt t x2 3x , ta có t(t 2) 24 t 2 2t 24 0 . Phương trình có hai nghiệm là 
 t1 4;t2 6 
 2
 t 4 x 3x 4 0, phương trình có nghiệm x1 1; x2 4 
 t 6 x2 3x 6 0, 9 24 0, phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có hai nghiệm x 1; 4 
 (x4 2x3 x2 ) 3(x2 x) 10 0
 d) Phương trình (4) 
 (x2 x)2 3(x2 x) 10 0
Đặt t x2 x , ta có : t 2 3t 10 0 
Phương trình này có hai nghiệm t1 5;t2 2 
 t 5 x2 x 5 0, 1 20 0, phương trình vô nghiệm.
 2
 t 2 x x 2 0, x1 1, x2 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x 1;2 
Bài 11. Giải các phương trình sau :
 a) x2 x 9 2x 1 (1)
 b) 5x 7 x 3 3x 1 (2)
 c) x2 3x 10 3 x(x 3) 0 (3)
 d) 2 x 2 x 4 x2 2 (4)
Lời giải : 
 2x 1 0 (5)
 a) Phương trình (1) 2 2 
 x x 9 (2x 1) (6)
 1
(5) x 
 2
 8
(6) 3x2 5x 8 0, phương trình có nghiệm x 1, x (loại) không thỏa mãn 
 1 2 3
(5). Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 1 
 1
b) Điều kiện xác định x (*)
 3
Phương trình (2) 5x 7 x 3 3x 1 
 5x 7 x 3 3x 1 2 (x 3)(3x 1) 
 2 x 3 0 (7)
 2 3x 10x 3 x 3 2 2 
 4(3x 10x 3) x 6x 9 (8)
 1
(8) 11x2 34x 3 0 . Phương trình này có hai nghiệm x 3; x 
 1 2 11
 1
 x 3 không thỏa mãn điều kiện (*). Phương trình có nghiệm x 
 11
c) Điều kiện xác định x(x 3) 0 hay x2 3x 0 (**)
Đặt t x2 3x,t 0 , ta có t 2 10 3t 0.Phương trình t 2 10 3t 0 có hai 
nghiệm t1 5,t2 2,t 0 nên t 2 .
 2 2 2
Với t 2 x 3x 2 x 3x 4 x 3x 4 0; x1 1, x2 4 đều thỏa 
mãn điều kiện (**). Vậy phương trình có nghiệm x 1;4 e) Điều kiện xác định 2 x 2 
Đặt a 2 x,b x 2,(a,b 0) . Ta có :
 a b ab 2 2(a b) 2ab 4 (9)
 2 2 2 2 
 a b 4 a b 4 (10)
Cộng từng vế (9) và (10) ta được (a b)2 2(a b) 8 (a b 1)2 9 
 a b 2
 a b 4
Với a b 2 , từ (9) ab 0 
 a 2;b 2 x 2
Vậy 
 a 0;b 2 x 2
Với a b 4 vô nghiệm do a,b 0 
Phương trình đã cho có nghiệm x 2;2 
Bài 12. Giải các hệ phương trình sau :
 2 1 (1)
 3
 x y (x 2)(y 1) xy 7 (3)
 a) b) 
 3 2 (x 1)(y 1) xy (4)
 1 
 x y (2)
Lời giải :
 1 1
 a) Điều kiện xác định x, y 0. Đặt a ,b ;a,b 0 ta có hệ phương trình 
 x y
 2a b 3 b 3 2a b 3 2a b 1
 3a 2b 1 3a 2(3 2a) 1 7a 7 a 1
 1
 1
 x x 1
Từ đó suy ra . Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
 1 y 1
 1 
 y
 (x; y) (1;1) 
 xy x 2y 2 xy 7 x 2y 5 (5)
 b) Hệ đã cho tương đương với 
 xy x y 1 xy x y 1 (6) Cộng từng vế (5) và (6) ta được 3y 6 y 2. Thay vào (6) x 2 1 x 1 
Hệ có nghiệm duy nhất (x 1; y 2) 
 2x y 1 (1)
Bài 13. Cho hệ phương trình 
 mx y 5 (2)
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thảo mãn điều kiện :
 a) x và y trái dấu
 b) x và y cùng dương.
Lời giải :
 a) (1) y 2x 1 ; thay vào (2) ta được mx 2x 1 5 (m 2)x 6 (3)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì (3) phải có nghiệm duy nhất 
 6 10 m 
 m 2 0 m 2. Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) ; 
 m 2 m 2 
 6(10 m)
 x và y trái dấu x.y 0 0 Mà (m 2)2 0 với m 2 nên 
 (m 2)2
10 m 0 m 10 là giá trị cần tìm.
 6
 0 (4)
 m 2
 b) x và y cùng dương 
 10 m
 0 (5)
 m 2
 (4) m 2 0 m 2 
Vì m 2 0 nên (5) 10 m 0 m 10 
Vậy điều kiện cần tìm là 2 m 10 
Bài 14. Giải các hệ phương trình sau
 x y 3 (1) 3x y2 y 1 (3)
 a) b) 
 2 2 2
 x y 5 (2) 3y x x 1 (4)
Lời giải :
 a) (1) y 3 x , thay vào (2) ta được 
 x2 (3 x)2 5 2x2 6x 4 0 x2 3x 2 0 
Phương trình có hai nghiệm x1 1; x2 2