Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương III - Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

 BÀI 5. GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN.
 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Ví dụ 1. Trong Hình 1, góc B· IC nằm bên 
đường tròn (O) được gọi là góc có đỉnh ở hên 
trong đường tròn.
Ví dụ 2. Trong các Hình 2, 3, 4 các góc ở đỉnh I có đặc điểm chung là: đỉnh nằm bên ngoài 
đường tròn, các cạnh đều có điếm chung với đường tròn. Mỗi góc đó được gọi là góc có 
đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
Định lí 1. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị 
chắn.
Định lí 2. Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị 
chắn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp giải: Sử dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc 
có đỉnh bên ngoài đường tròn.
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1A. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MC tại c và cát tuyên MAB (A 
nằm giữa M và B) và A,B,C (O). Gọi D là điểm chính giữa của cung AB không chứa C, 
CD cắt AB tại I. Chứng minh:
a) M· CD B· ID ; b) MI = MC.
1B. Cho đường tròn (O) và một điểm p nằm ngoài (O). Kẻ cát tuyến PAB và tiếp tuyến PT 
với A,B,T (O). Đường phân giác của góc ATB cắt AB tại D. Chứng minh PT = PD.
2A. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của các góc B và C cắt 
nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. 
Chứng minh:
a) Các tam giác AMN, EAI và DAI là những tam giác cân;
b) Tứ giác AMIN là hình thoi.
2B. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (/). Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABC tại D, E, F. Dây EF cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: a) DI = DB;
 b) AM = AN;
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vuông góc. Chứng minh các đẳng 
thức cho trước
Phương pháp giải: Áp dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc 
có đỉnh bên ngoài đường tròn để có được các góc bằng nhau, cạnh bằng nhau. Từ đó, ta 
suy điều cần chứng minh.
3A. Từ điểm P ở ngoài (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn và cát tuyến PBC với P, B,C 
(O).
a) Biết PC = 25cm; PB = 49cm. Đường kính (O) là 50cm. Tính PO.
b) Đường phân giác trong của góc A cắt PB ở I và cắt (O) ở D. Chứng minh DB là tiếp tuyến 
của đường tròn ngoại tiếp AIB.
3B. Cho (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy 
điểm E sao cho AE = R 2 . Vẽ dây CF đi qua E. Tiếp tuyên của đường tròn tại F cắt CD tại 
M, vẽ dây Aỉ cắt CD tại N. Chứng minh:
a) Tia CF là tia phân giác của góc BCD;
b) MF và AC song song;
c) MN, OD, OM là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 4A. Cho tam giác ABC phân giác AD. Vẽ đường tròn (O) đi qua A, D và tiếp xúc với BC tại 
D. Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh:
a) EF song song BC; b) AD2 = AE.AC;
c) AE.AC = AB.AF.
4B. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các tia phân giác của các góc A và B cắt 
nhau ở 7 và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E. Chứng minh:
a) Tam giác BDI là tam giác cân;
b) DE là đường trung trực của IC;
c) IF và BC song song, trong đó F là giao điểm của DE và AC.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
5. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến PAB và PCD (A nằm giữa P và B, 
C nằm giữa P và D), các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q.
a) Cho biết Pµ = 60° và ·AQC = 80°. Tính góc B· CD.
b) Chứng minh PA.PB = PC.PD.
6. Từ một điểm A bên ngoài (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Tia phân giác của góc 
 B· AC cắt BC và BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN tại H, cắt CD 
tại E. Chứng minh:
a) Tam giác BMN cân; b) FD2 = FE.FB.
7. Cho tam giác đều MNP nội tiếp đường tròn tâm (O). Điểm D di chuyển trên M»P . Gọi E 
là giao điểm của MP và ND, gọi F là giao điểm của MD và NP. Chứng minh M· FN M· ND. 
8. Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B và C. Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa 
cua các cung AB, BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và 
BC. Chứng minh:
a) Tam giác BNI cân; b) AE.BN = EB.AN;
 AN AB
c) EI song song BC; d) . 
 BN BD
9. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB với A,B,C 
 (O). Phân giác góc B· AC cắt BC tại D, cắt (O) tại N. Chứng minh:
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a) MA = MD;
b) Cho cát tuyến MCB quay quanh M và luôn cắt đưòng tròn. Chứng minh MB.MC không 
đổi.
c) NB2 = NA.ND.
10. Tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O), các điểm I, K, H là điểm chính giữa của các 
cung MN, NP, PM. Gọi J là giao điểm của IK và MN, G là giao điểm của HK và MP. Chứng 
minh JG song song với NP.
 BÀI 5. GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÌN.
 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
 1
1A. a) M· CD B· ID sdC»D 
 2
b) Sử dụng kết quả câu a).
1B. Tương tự 1A. HS tự làm.
 1
2A. a) ·AMN ·ANM sd E»D
 2
Suy ra AMN cân tại A. Kéo dài AI cắt đường tròn (o) 
tại K. Chứng minh tương tự, ta có AIE và DIA lần 
lượt cân tại E và D.
b) Xét AMN cân tại A có AI là phân giác. Suy ra AI  
MN tại F và MF = FN. Tương tự với EAI cân tại E, ta 
có: AF = IF. Vậy tứ giác AMIN là hình hình hành. Mà 
AI  MN ĐPCM.
2B. Tương tự 2A. HS tự làm.
3A. a) Chứng minh được PA 2 = PC.PB và PA2 = PO2 = 
OA2 tính được PO.
 1
b) Chứng minh được D· BC D· AB C· AB ĐPCM.
 2
3B. a) Học sinh tự chứng minh.
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) Chứng minh ·AFM C· AF( ·ACF) MF / / AC .
c) Chứng minh: M· FN M· NF MNF cân tại 
 M MN MF 
Mặt khác: OD = OF = R.
Ta có MF là tiếp tuyến nên OFM vuông ĐPCM.
4A. a) HS tự chứng minh.
b) ADE : ACD (g-g)
 AD2 = AE.AC
c) Tương tự: ADF : ABD AD2 = AB.AF ĐPCM.
 1
4B. a) B· ID sđ D»E D· BE BID cân ở D.
 2
b) Chứng minh tương tự: IEC cân tại E, DIC cân tại 
D.
 EI = EC và DI = DC
 DE là trung trực của CI.
c) F DE nên FI = FC
 F· IC F· CI I·CB IF / /BC 
 1 1
5. a) Ta có: B· PD (sđ B»D - sđ »AC ), ·AQC (sđ B»D 
 2 2
+ sđ »AC )
 B· PD ·AQC = sđ B»D = 1400
 B· CD 700
b) HS tự chứng minh
6. a) HS tự chứng minh BMN cân ở B.
b) EDF : DBF(g.g)
 DF EF
 BF DF
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên DF 2 EF.BF
7. HS tự chứng minh
8. a) Chứng minh tương tự 4B ý a).
b) M chính giữa »AB
 N»E là phân giác B· NA
 BN EB
 (tính chất đường phân giác) BN.AE = 
 AN EA
NA.BE
c) Chứng tinh tương tự 4B
d) Chứng minh ABN : DBN ĐPCM/
9. HS tự chứng minh
 MG MK
10. KG là đường phân giác của M· KP (1)
 GP KP
 MJ MK
KJ là đường phân giác của M· KN (2)
 JN KN
Chứng minh được: KN = KP (3)
 MG MJ
Từ (1); (2); (3) ĐPCM
 GP JN
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên