Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương III - Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

 BÀI 4. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYÊN VÀ DÂY CUNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cho đường tròn tâm (O) có Ax là tia tiếp tuyến tại tiếp điểm A
và dây cung AB. Khi đó, góc B· Ax là góc tạo bởi tia tiêp tuyến và dây cung.
2. Định lí
Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
3. Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyên và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 
một cung thì bằng nhau.
4. Bổ đề
Nếu góc B· Ax với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB có số đo bằng 
nửa số đo của cung AB nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường 
tròn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh các góc bằng nhau, các đẳng thức hoặc các tam giác đổng dạng
Phương pháp giải: Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyên và dây cung hoặc hệ quả góc 
nội tiếp.
1A. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, c 
là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N).
a) Chứng minh AB2 = AM. AN.
b) Gọi H = AO BC. Chứng minh AH.AO = AM.AN.
c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác ABC.
1B. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I.
 IB AB2
a) Chứng minh . 
 IC AC 2
b) Tính IA, IC bắt rằng AB = 20cm, AC = 28cm, BC = 24cm.
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 2A. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P.
a) Chứng minh các tam giác PAC và PBA đồng dạng.
b) Chứng minh PA2 = PB.PC.
c) Tia phân giác trong của góc A cắt BC và (O) lần lượt tại D và M. Chứng minh MB2 = 
MA.MD.
2B. Cho hình bình hành ABCD, µA 900 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. 
Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, một tia là 
tiếp tuyến của đường tròn
Phương pháp giải: Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả 
của hai góc nội tiếp.
3A. Cho các đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong với nhau tại A (R > R’). Vẽ đường 
kính AB của (O), AB cắt (O’) tại điểm thứ hai C. Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O’), 
BP cắt (O) tại Q. Đường thẳng AP cắt (O) tại điểm thứ hai R. Chứng minh:
a) AP là phân giác của B· AQ; 
c) CP và BR song song với nhau.
3B. Cho đường tròn (O; R) với A là điểm cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) 
và lấy M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Vẽ tiếp tuyế thứ hai MB với đường tròn (O). Gọi I là 
trung điểm MA, K là giao điểm của BI với (O).
a) Chứng minh các tam giác IKA và IAB đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng 
với tam giác IMB.
b) Giả sử MK cắt (O) tại c. Chứng minh BC song song MA.
4A. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Đường tròn (7) đi qua B và C, 
tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh OA và BD vuông góc với 
nhau.
4B. Cho hai đường tròn (O) và (7) cắt nhau ở C và D, trong đó tiếp tuyến chung MN song 
song với cát tuyến EDF, M và E thuộc (O), N và F thuộc (7), D nằm giữa E và F. Gọi K, H 
theo thứ tự là giao điểm của NC, MC với EF. Gọi G là giao điểm của EM, FN. Chứng minh:
a) Các tam giác GMN và DMN bằng nhau.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) GD là đường trung trực của KH.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và At là tia tiếp tuyến với (O). Đường thẳng song song 
với At cắt AB và v4C lần lượt tại M và N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.
6. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ tiếp tuyêh Ax với (O) nó 
cắt (O') tại E. Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với (O') nó cắt (O) tại D. Chứng minh AB2 = BD.BE.
7. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BD2 = AB.CD. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABD tiếp xúc với BC.
8. Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm. Tính bán kính của đường tròn đi qua A và B 
biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đường tròn đó bằng 4cm.
9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Gọi D là 
một điểm trên đường kính AB; qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC tại F, cắt AC tại E. 
Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt EF tại 7. Chứng minh:
a) I là trung điểm của CE;
b) Đường thẳng OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECE.
10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Phân giác góc BAC cắt (O) ở M. Tiếp 
tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt các tia AB và AC lần lượt ở D và E. Chứng minh BC và 
DE song song.
11. Cho tam giác ABC. Vẽ đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B. Kẻ dây BD 
song song với AC. Gọi I là giao điểm của CD với đường tròn. Chứng minh = IBC = ICA.
12. Cho hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại A. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (O) ở 
B và cắt (O') ở C. Kẻ các đường kính BOD và CO'E của hai đường tròn trên.
a) Chứng minh BD song song CE.
b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.
c) Nêu (O) bằng (O') thì tứ giác BDCE là hình gì? Tại sao?
13. Cho đường tròn (O') tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy của xOy tại A và B. Từ A kẻ tia 
song song với OB cắt (O') tại C. Đoạn oc cắt (O') tại E. Hai đường thẳng AE và OB cắt nhau 
tại K. Chứng minh K là trung điểm của OB.
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên BÀI 4. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
 1
1A. a) ·ABM ·ANB sđ B¼M . 
 2
Chứng minh được: ABM : ANB (g.g)
 ĐPCM.
b) Chứng minh AO  BC áp dụng hệ thức lượng trong 
tam giác vuông ABO và sử dụng kết quả câu b) AB 2 
= AH.AO
c) Chứng minh được ·ABI C· BI(BºI CºI) BI là phân 
giác ·ABC . Mà AO là tia phân giác B· AC I là tâm 
đường tròn nội tiếp ABC .
1B. Chứng minh được: BAI : ACI (g.g)
 AB IB AB2 IB2
 AC IA AC 2 IA2
Mặt khác: IA2 = IB.IC
 ĐPCM.
b) Do BAI : ACI (g.g)
 AI BI AB
 CI AI CA
 IA IC 24 5
 IA 35cm
 IC IA 7
IC = 49cm
2A. a) HS tự chứng minh.
b) Tương tự 1A.
c) Chứng minh được: B· AM M· BC 
Từ đó chứng minh được:
 2
 MAB : MBD MB MA.MD 
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 2B. Gọi BD  AC I 
 1
Ta có B· AI ·ACD E· BD sđ E»D 
 2
Áp dụng bổ đề ĐPCM.
3A. a) Sử dụng AQ//O'P
 Q· AP O· ' AP ĐPCM.
b) CP//BR (cùng vuông góc AR)
 IA IK
3B. a) IAK : IBA 
 IB IA
 IM IK
Mà IA IM 
 IB IM
 IKM : IMB 
b) Chứng minh được:
 I·MK K· CB BC / /MA (ĐPCM)
4A. Kẻ đường kính AF
 µ µ 0
Chứng minh A1 B1 90 AO  BD 
4B. Ta có:
 D· MN Eµ G· MN, D· NM N· FD G· NM 
 GMN DMN 
b) Chứng minh được MN là đường trung trực của GD
 GD  EF (1) 
Gọi J là giao điểm của DC và MN.
 JM JN CJ 
Ta có 
 DH DK CD 
Mặt khác: JM JN (cùng bằng JC.JD 
 DH = DK (2). Từ (1) và (2) ĐPCM.
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 5. Chứng minh được AMN : ACB (g.g)
 ĐPCM.
6. HS tự chứng minh.
7. Chứng minh được: DBC : BAD D· BC B· AD
 1
 sđ D· BC sđ B· mD 
 2
 BC là tiếp tuyến của (o)
8. Kẻ đường kính BF thì F, A, D thẳng hàng. Gọi DE là 
tiếp tuyến kẻ từ D. Khi đó ta có: DE 2 = DA.DF AF = 
6cm. Từ đó tính được OB 10cm 
9. HS tự chứng minh.
10. B· AM C· AM B¼M M¼ C OM  BC BC / /DE 
11. HS tự chứng minh
12. HS tự chứng minh
13. HS tự chứng minh
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên