Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương III - Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

 BÀI 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí 1
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
2. Định lí 2
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
3. Bổ sung
a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua 
trung điểm của dây căng cung ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì 
đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.
c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc 
với dây căng cung ấy và ngược lại.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Phương pháp giải: Để giải các bài toán liên quan đến cung và dây, cần nắm chắc định nghĩa 
góc ở tâm và kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây.
1A. Chứng minh hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau.
1B. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ dây CD 
vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh AC = BE.
2A. Giả sử AB là một dây cung của đường tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy các điểm C và D 
sao cho »AC B»D. Chứng minh AB và CD song song.
2B. Giả sử ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn 
(O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a) BC song song với DE;
b) Tứ giác BCED là hình thang cân.
3A. Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O') đường kính AO. Các điểm C, D 
thuộc đường tròn (O) sao cho B C»D và BC < BD. Các dây AC và AD cắt đường tròn (O') 
theo thứ tự tại E và F. Hãy so sánh:
a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF;
b) Số đo các cung »AE và »AF của đường tròn (O').
3B. Cho đường tròn tâm o đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao 
cho sđ B¼M < 90°. Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại £. Từ R vẽ một đường 
thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh: 
a) AB  DN; b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và Bvẽ hai dây AC và BD song song với 
nhau. So sánh hai cung nhỏ »AC và B»D. 
5. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. 
Trên các cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho C¼M B»N. Chứng minh:
a) AM = CN; b) MN = CA = CB.
6. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Hãy so sánh các cung nhỏ AB, 
AC và BC biết µA = 50°.
7. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D. Kẻ 
CH vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K, 
AK cắt (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh:
a) Hai cung nhỏ C»F và D»B bằng nhau;
b) Hai cung nhỏ B»F và D»E bằng nhau;
c) DE = BF.
 BÀI 2. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1A. Trường hợp 1: Tâm O ở giữa của hai dây.
Kẻ OM  AB suy ra OM  CD tại N.
Ta chứng minh được ·AOM B· OM (1)
Tương tự C· ON D· ON (2)
Từ (1), (2) ·AOC B· OC »AC B»D 
Trường hợp 2: Tâm O nằm ngoài khoảng hai dây. Kẻ 
OM  AB suy ra OM  CD tại N.
Tương tự ·AOC B· OC »AC B»D 
1B. Ta chứng minh »AD B»E , mà CD  AB nên . Từ đó 
suy ra .
* Cách khác:Chứng minh ·AOC B· OE ĐPCM.
2A. Ta lấy K là điểm chính giữa cung nhỏ »AB
Ta chứng minh được C»K K»D . Từ đó ta có OK  CD, 
OK  AB CD//AB.
2B. a) HS tự chứng minh.
b) Ta chứng minh được B»E C»D từ đó suy ra BE = CD 
và tứ giác BDEC là hình thang cân.
3A. a) Ta chứng minh E là trung điểm của AC nên 
 1
 OE BC. 
 2
 1
Tương tự ta có OF DB .
 2
Mà BC < BD ta suy ra OE < OF
b) Chứng minh được AE 2 = AO2 - OE2 và AF2 = AO2 - 
OF2
Từ đó ta có
AE2 > AF2 AE > AF 
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên sđ »AE sđ »AF 
3B. a) HS tự chứng minh
b) Ta chứng minh được tứ giác BCEN là hình bình 
hành BC = EN.
Do BCDE là hình bình hành
 BC = ED; DE = EN
 BA EN BA  BC
 BC là tiếp tuyến
4. Ta chứng minh được ABC BDA từ đó suy ra 
 »AC B»D 
5. a) HS tự chứng minh.
b) Chứng minh được M¼N C»A C»B ĐPCM.
6. Gợi ý: Đưa về so sánh góc ở tâm để kết luận.
7. a) HS tự chứng minh.
b) Từ giả thiết ta có AB là đường trung trực của 
 CE B»C B»E B»F D»E 
c) Sử dụng mối liên hệ cung và dây.
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên