Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương II - Bài 5: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

 BÀI 5. TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYỂN CẮT NHAU
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Nêu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
 - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
 - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
 - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các 
 tiếp điểm.
 2. Đường tròn nội tiếp tam giác
 - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiêp tam giác, còn tam 
giác gọi là ngoại tiêp đường tròn. 1
 - Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các I đường phân giác các góc trong 
tam giác.
 3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
 - Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp 1 xúc vói phần kéo dài 
 của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
 - Vói mỗi một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
 - Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác góc A là giao điểm của hai đường phân giác 
 các góc ngoài tại B và C hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường 
 phân giác ngoài tại B (hoặc C).
 II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường
thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp giải: Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
1A. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau ở A.
 a) Chứng minh AO là trung trực của đoạn thẳng BC.
 b) Vẽ đường kính CD của (O). Chứng minh BD và OA song song. 
1B. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Đường thẳng vuông góc với OA 
tại O cắt MB tại C. Chứng minh CM = CO.
2A. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn 
cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyên với nửa 
đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
 1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a) Chứng minh COD và AMB đồng dạng.
 b) Chứng minh MC.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
 c) Cho biết OC = BA = 2R. Tính AC và BD theo R.
2B. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp điểm). 
Kẻ BE  AC và CF  AB ( E AC,F AB ), BE và CF cắt nhau tại H.
 a) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi.
 b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng.
 c) Xác định vị trí điểm A để H nằm trên (O).
Dạng 2. Chứng minh tiếp tuyến, tính độ dài, tính số đo góc 
Phương pháp giải: Sử dụng các kiên thức sau:
 - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
 - Khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp.
 - Hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.
3A. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoai (O), vẽ hai tiếp tuyến ME và MF (E,F là tiếp 
điểm) sao cho góc E· MO = 30°. Biết chu vi MEF là 30 cm.
 a) Tính độ dài dây EF.
 b) Tính diện tích MEF.
3B. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp 
điểm) sao cho góc A· MB = 60°. Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB.
4A. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là 
tiếp điếm). Chứng minh B· AC = 60° khi và chỉ khi OA = 2R .
4B. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9 cm, AC = 12 cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp 
tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài IG.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
 5. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại I. Đường thẳng qua I và 
 vuông góc vói IA cắt OB tại K. Đường thẳng qua O, vuông góc vói OA cắt IB ở C.
 a) Chứng minh KC và OI vuông góc nhau.
 b) Biết OA = OB = 9 cm, OI = 15 cm, tính IA và IK.
 6. Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) trong 
 đó B, C là các tiếp điểm. Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến vói (O), tiếp 
 2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên tuyến này cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh chu vi tam 
 giác ADE bằng 2AB.
 7. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyên AB, AC với (O) trong 
 đó B,C là các tiếp điểm.
 a) Chứng minh đường thẳng OA là trung trực của BC.
 b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Biết OB = 2cm và OH = 1 cm, tính:
 i) Chu vi và diện tích tam giác ABC;
 ii) Diện tích tứ giác ABOC.
 8. Cho tam giác ABC cân tại A, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp, điểm K là tâm đường 
 tròn bàng tiếp góc A của tam giác. Gọi O là trung điểm của IK.
 a) Chứng minh bốn điểm B, I,C, K cùng thuộc một đường tròn.
 b) Gọi (O) là đường tròn đi qua bốn điểm B, I, C, K. Chứng minh AC là tiếp tuyến của 
 đường tròn (O; OK).
 c) Tính bán kính của (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.
BÀI 5. TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
1A. a) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau
 AB = AC A thuộc trung trực của BC.
OB = OC O thuộc trung trực của BC. 
b) Sử dụng a) và chú ý CD là đường kính (O) 
nên C· BD 900 
1B. Sử dụng tính chất giao hai tiếp tuyến và 
OC PAM O· MC C· OM 
 OCM cân tại O
2A. a) HS tự chứng minh 
b) 
 3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên COM : ODM
 MC.MD OM2
c) AC=R 3 
BD.AC MC.MD R2
 R 3
 BD 
 3
2B. a) HS tự chứng minh
b) Chi ra rằng A,H,O cùng nằm trên đường 
thẳng vuông góc với BC;
c) Để H (O) thì 
OH=OC C· OA 600 
3A. a) Chứng minh
E· MF 600 MEF ®Òu 
 EF=10cm
b) Tìm được SMEF 25 3cm 
3B. Tìm được AB=6cm
4A. Ta có 
B· AC 600 B· AO 300
 AO 2OB 2R
Vì AO=2R =2OB
 B· AO 300 B· AC 600
4B. Gọi M là trung điểm của BC
 2
Ta tính được AG AM 10cm 
 3
Gọi N là trung điểm của AB MN PAC, MN  AB
D,I,G thẳng hàng 
 4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên AG AD 2 AD 1 AD 1
 AM AN 3 2AN 3 AB 3
 AB AC BC AB AB AC BC
Ta cã AD=r 
 néi tiÕp 2 3 2 
 AB 3AC 3BC 3 AB2 AC 2
 3AC 4AB (§PCM)
Áp dụng kết quả trên ta có
 AB AC BC
AD 3cm
 2 
 ID DA 3cm IG DG ID 1cm
5. a) Chứng minh C là trực tâm của tam giác OIK. Từ đó suy ra KC  OI tại H.
b) IA=12cm
Chứng minh KOI cân tại K
Đặt KO = KI = x (x>0)
Có 
IK 2 IB2 BK 2
 2 2 2
Hay x 12 (x 9) 
 x 12,5 IK 12,5cm
6. Chú ý MD = BD và ME = CE
7. a) Tương tự 1A
b) i) Áp dụng định lý Pytago
tính được BH 3cm 
Áp dụng hệ thức lược về cạnh 
Góc vuông và đường cao trong tam giác 
Vuông, tính được: 
 2
AB AC 2 3 cm PABC 6 3 cm, S ABC 3 3 cm 
 2
ii) Ta có S ABOC S ABC SBOC S ABOC 4 3 cm 
Cách khác : Áp dụng hệ thức lượng về cạnh góc vuông và đường cao trong tam giác vuông, ta 
có 
 2
AB AC 2 3 cm PABC 6 3 cm, S ABC 3 3 cm
 2
ii) Ta có S ABOC S ABC SBOC S ABOC 4 3 cm
8. a) Sử dụng tính chất phân giác trong, phân giác 
ngoài của một góc 
 0
 I·BK I·CK 90 
b) Sử dụng a) và chú ý A· CI I·CB I·KC O· CK 
 5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên c) AK cắt BC tại H. Ta có : HC=12cm, AH=16cm
 AH HC
 ACH đồng dạng COH CO 15cm 
 AC CO
 6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên