Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương II - Bài 4: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

 BÀI 4. DẤU HIỆU NHẬN BIỂT
 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Dấu hiệu 1. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc 
với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng âỳ là một tiếp tuyến của đường tròn.
 Dấu hiệu 2. Theo định nghĩa tiếp tuyến.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn
Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại 
tiếp điểm C, ta có thể làm theo một trong các cách sau:
 Cách 1. Chứng minh C nằm trên (O) và OC vuông góc vói a tại C. 
 Cách 2. Kẻ OH vuông góc a tại H và chứng minh OH = OC = R. 
 Cách 3. Vẽ tiếp tuyến a' của (O) và chứng minh a  a'.
1A. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 crn. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng 
minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B).
1B. Cho đường thẳng d và A là điểm nằm trên d; B là điểm nằm ngoài d. Hãy dựng đường 
tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với d tại A.
2A. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
 a) Đường tròn đường kính AI đi qua K;
 b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
2B. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD va CE căt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Gọi (O) là đường tròn đi qua bốn điểm A, D, H, E và M là trung điểm của BC. 
Chứng minh ME là tiếp tuyên của (O).
Dạng 2. Tính độ dài
Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyên và 
sử dụng các công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các đoạn 
thẳng.
3A. Cho đường tròn (O) có dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, 
cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở điểm C. 
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) Cho bán kính của (O) bằng 15 cm và dây AB = 24 cm. 
Tính độ dài đoạn thẳng OC.
3B. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho C· AB 30 . Trên tia đối 
của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của (O);
 b) MC R 3 .
4A. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc vói OA tại trung điểm 
M của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, cắt đường thẳng OA tại E.
Tính độ dài BE theo R.
4B. Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao, AB = 8 cm,BC = 16 cm. Gọi D là điểm 
đôi xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ớ E.
 a) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn.
 b) Tính độ dài đoạn thẳng HE.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
5. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp 
 tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh:
 a)Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O);
 b)Ba đường thẳng AC, BD và ON đồng quy.
6. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O). Hãy dựng tiếp tuyến của (O) sao 
 cho tiếp tuyến đó song song vói d.
7. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại 
 M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, 
 đường thẳng BM cắt OD tại F.
 a)Chứng minh C· OD 90 .
 b)Tứ giác MEOF là hình gì?
 c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 
8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi BD, CE là các tiếp tuyến của 
 đường tròn (A; AH) với D, E là các tiếp diêm. Chứng minh:
 a)Ba điểm D, A, E thẳng hàng;
 b)DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 9. Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm o đường kính AB. Qua M vẽ tiếp tuyến xy 
 và gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên xy. Xác định vị trí của điểm M 
 trên (O) sao diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
 10. Cho đường tròn (O; 6 cm) và điểm A nằm trên (O). Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường 
 tròn và lấy điểm B trên tia Ax sao cho AB = 8 cm.
 a) Tính độ dài đoạn thẳng OB.
 b) Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt (O) tại C. Chứng minh BC là tiếp tuyến 
 của (O).
 11.Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10 cm và Bx là tiếp tuyến của (O). Gọi C là một 
 điểm trên (O) sao cho C· AB 30 và E là giao điểm của các tia AC, Bx.
 a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CE vả BC.
 b) Tính độ dài đoạn thẳng BE.
 12. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lâỳ điểm M thuộc (O) sao cho 
 MA < MB. Vẽ dây MN vuông góc với AB tại H. Đường thẳng AN cắt BM tại C. Đường 
 thẳng qua C vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D.
 a) Chứng minh A, M, C, K cùng thuộc đường tròn.
 b) Chứng minh BK là tia phân giác của góc MBN.
 c) Chứng minh KMC cân và KM là tiếp tuyến của (O).
 d) Tìm vị trí của M trên (O) để tứ giác MNKC trở thành hình thoi.
BÀI 4. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1A. Ta có 
BC 2 AB2 AC 2
 B· AC 900 BA  AC
1B. Trung trực AB cắt đường thẳng 
vuông góc với d ở A tại O. Đường tròn
 (O;OA) là đường tròn cần dựng.
2A. a) Chứng minh được B· KA 900 
 3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) Gọi O là trung điểm AI.
Ta có: 
+ OK = OA O· KA O· AK 
+ O· AK H· BK (cïng phô A· CB)
+ HB = HK H· BK H· KB 
+ O· KA H· KB H· KO 900 
2B. a) Gọi O là trung điểm của AH thì
 OE = OA = OH = OD
b) Tương tự 2A
3A. a) 
 OAC OBC(c.g.c)
 O· BC O· AB 900
 ĐPCM
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
 OBC tính được OC=25cm
3B. a) Vì OCB là tam giác đều nên BC=BO=BM=R
 O· CM 900 MC là tiếp tuyến (O;R)
b) Ta có 
OM2 OC 2 MC 2
 MC 2 3R2
4A. a) OA vuông góc với BC tại M 
 M là trung điểm của BC
 OCAB là hình thoi 
b) Tính được BE=R 3 
 4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 4B. a) Gọi O là trung điểm CD.
Từ giả thiết suy ra tam giác ABD và tam giác ODE đều
 BC
 DE = DH = DO = 
 4
 H· EO 900 
 HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
b) HE = 4 3
5. a) Tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O)
 OA  BC
 OA  AD (v× AD PBC)
 AD là tiếp tuyến của (O) 
b) Chứng minh được ON là tia phân giác 
của A· OD mà OAC cân tại O nên ON cũng
 là đường trung tuyến ON cắt AC tại trung 
điểm I của AC ON,AC,BD cùng đi qua trung 
điểm I của AC.
6. Từ O hạ OH vuông góc với d. OH cắt (O)
 tại A và B. Qua A và B kẻ các đường vuông 
góc với OA và OB ta được hai (hoặc một nếu d là tiếp tuyến của (O)) tiếp tuyến song song với d.
 0 0
7. a) Dễ thấy A· MB 90 hay E· MF 90 tiếp tuyến CM,CA
 OC  AM O· EM 900 Tương tự O· FM 900 
Chứng minh được CAO CMO A· OC M· OC OC 
là tia phân giác của A· MO
Tương tự OD là tia phân giác của B· OM suy ra 
 5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên OC  OD C· OD 900 
b) Do AOM cân tại O nên OE là đường phân
 giác đồng thời là đường cao 
 O· EM 900 chứng minh tương tự O· FM 900 . 
Vậy MEOF là hình chữ nhật 
c) Gọi I là trung điểm CD thì I là tâm đường tròn
 đường kính CD và IO=IC=ID. Có ABDC là hình 
thang vuông tại A và B nên IO PAC PBD và IO 
vuông góc với AB. Do đó AB là tiếp tuyến của 
đường tròn đường kính CD.
8. a) Vì BH, BD là tiếp tuyến của (A;AH) 
 H· AD 2H· AB
Vì CH,CE là tiếp tuyến của (A;AH) 
 H· AE 2H· AC
 H· AD H· AE 2(H· AB H· AC) 1800 
 D,A,E thẳng hàng
b) Tương tự 7c
9. Ta có ABCD là hình thang vuông tại C và D
Mà O Là trung điểm AB và OM vuông góc với
 CD( tiếp tuyến của (O)
 AD+BC=2OM=2R. Chú ý rằng CD AB
 ( hình chiếu đường xiên)
 6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1
 S (AD BC).CD
 ABCD 2 
 R.CD R.AB 2R2
Do đó S ABCD lớn nhất khi CD=AB hay M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB
10. Hình vẽ tượng tự 3A.
a) Tính được OB=10cm
b) Ta có OBC OBA(c.g.c) BC 
là tiếp tuyến của đường tròn (O)
11. a) Tính được BC=5cm
 5 3
AC 5 3cm, CE = cm 
 3
 10 3
b) Tính được BE cm 
 3
12. a) C· KA C· MA 900 C,K,A,M thuộc đường tròn đường kính AC
b) MBN cân tại B có BA là đường cao, trung tuyến và phân giác .
c) BCD cã BK  CD vµ CN  BN nên A là trực tâm của BCD
 D,A,M thảng hàng 
Ta có DMC vuông tại M có MK là trung tuyến nên KMC cân tại 
K K· CM K· MC
l¹i cã K· BC O· MB nªn 
K· MC O· MB K· CB K· BC 900
Vậy K· MO 900 mà OM là bán kính
 nên KM là tiếp tuyến của (O)
d) MNKC là hình thoi 
 7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên MN CK vµ CM=CK
 KCM ®Òu 
 K· BC 300 AM R
 8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên