Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương II - Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

 CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN
 BÀI 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.
 TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 1. Đường tròn
Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R > 0) là đường tròn tâm 
O có bán kính R.
 Ký hiệu: (O) hoặc (O; R).
 2.Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O; R)
 Vị trí tương đối Hệ thức 
 M nằm trên đường tròn (O) thứcthứcOM = K
 M nằm trọng đường tròn (O) OM<R
 M nằm ngoài đường tròn (O) OM>R
 3. Định lý (về sự xác định một đường tròn)
 - Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
 - Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam 
 giác. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của 
 tam giác đó,
 4. Tính chất đối xứng của đường tròn
Đường tròn là hình có tâm đối xứng và trục đôi xứng.
 - Tâm đối xứng là tâm đường tròn;
 - Trục đối xứng là bất kì đường kính nào của đường tròn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên một đường tròn
Phương pháp giải: Ta có các cách sau:
Cách 1. Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều một điểm nào đó.
Cách 2. Dùng định lí: "Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp 
thì tam giác đó là tam giác vuông".
1A. Chứng minh các định lý sau:
 a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền của tam 
 giác đó.
 1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) Nêu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác 
 đó là tam giác vuông.
1B. Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng 
nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
2A. Cho tam giác ABC có đường cao AD và trực tâm H. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của HA, 
HB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:
 a) Bôn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn;
 b) Điếm D cũng thuộc đường tròn đi qua bôn điểm E, F, I, K.
2B. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt 
là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
3A. Cho hình thoi ABCD. Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F. Chứng 
minh E, F lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD.
3B. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Gọi O là trung điểm của AB, P là giao điểm của CO 
và BD. Chứng minh P chạy trên một đường tròn khi C, D thay đổi.
Dạng 2. Xác định vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn
Phương pháp giải. Muốn xác định vị trí của điểm M đối với đường tròn (O; R) ta so sánh khoảng 
cách OM vói bán kính R theo bảng sau:
 Vị trí tương đối Hệ thức
 M nằm trên đường tròn (O) OM = R
 M nằm trong đường tròn (Ọ) OM<R
 M nằm ngoài đường tròn (O) OM>R
4A. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh 
BC.
 a) Chứng minh B, c, M, N cùng thuộc đường tròn tâm O.
 b) Gọi G là giao điểm của BM và CN. Chứng minh diêm G nằm trong, điểm A nằm 
 ngoài đối vói đường tròn đường kính BC.
4B. Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tròn tâm D bán kính R, cung này cắt (O) 
ở B và C.
 a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?
 b) Tính số đo các góc C· BD, C· BO, O· BA. 
 2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Dạng 3. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác và số đo các góc liên quan
Phương pháp giải: Ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, 
Cách 2. Dùng định lý Pytago trong tam giác vuông.
Cách 3. Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.
5A. Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tính
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
5B. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 2 cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC.
6A. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 9 cm, BC = 12 cm. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng 
nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
6B. Cho góc B· AC = 60° và điểm B nằm trên tia Ax sao cho AB = 3 cm.
 a) Dựng đường tròn (O) đi qua A và B sao cho tâm O nằm trên tia Ay.
 b) Tính bán kính đường tròn (O).
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
7. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2 cm, BC = 8 cm. Đường vuông góc với AC tại c 
cắt đường thẳng AH ở D.
 a) Chứng minh các điểm B, c cùng thuộc đường tròn đường kính AD.
 b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.
8. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, cắt các cạnh AB, AC theo thứ 
tự D, E.
 a) Chứng minh CD  AB và BE  AC.
 b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK  BC.
9. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C di động trên đường tròn, H là hình chiếu của C 
trên AB. Trên OC lấy M sao cho OM = OH.
 a) Hỏi điểm M chạy trên đường nào?
 b) Trên tia BC lây điểm D sao cho CD = CB. Hỏi điểm D chạy trên đường nào?
10. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm CM 
và DN.
 a) Tính số đo góc CEN.
 b) Chứng minh A, D, E, M cùng thuộc một đường tròn.
 c) Xác định tâm của đường tròn đi qua ba điểm B, D, E.
 CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN
 BÀI 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.
 TÍCH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1A. a) Giả sử ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC 
 3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên OA OB OC O là tâm đường tròn đi qua A,B,C
 1
b) Ta có OA OB OC OA BC ABC vuông tại A
 2
1B. Đường tròn O ngoại tiếp ABC với BC là đường kính. Gọi O là trung điểm của BC. 
 BC 
Chứng minh B,C,D,E nằm trên O; 
 2 
2A. a) Chứng minh IFEK là hình bình hành 
có tâm O. Chứng minh IK  KE IFEK
 là hình chữ nhật I,F,E,K cùng thuộc (O;OI)
b) Ta có I·DE 900 tam giác IDE 
vuông tại D.
Chứng minh rằng KD  DF KDF 
vuông
2B. Ta có MNPQ là hình chữ nhật tâm O
 M,N,P,Q cùng thuộc (O;OM)
3A. Tính chất: Trong hình thoi, đường chéo này là trung trực của hai cạnh AB và AC. Nên E là 
tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC . Tương tự, F là tâm đường tròn ngoại tiếp của ABD 
3B. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của
 hình thoi. Chứng minh P là trọng tâm của ABC
 2
Kẻ PQ PAI BQ AB Q 
 3
Cố định P thuộc đường tròn đường
 kính QB
4A. a) Ta có 
· 0 BC 
BNC 90 N O; 
 2 
· 0 BC 
BMC 90 M O; 
 2 
 B,C,M,N
 BC 
Cùng thuộc đường tròn tâm O; 
 2 
b) ABC đều có G là trực tâm đồng thời là trọng tâm .
 a
 AOB vuông tại O có R ON 
 2
 4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên a2 a 3
Ta có OA a2 R 
 4 2
 A nằm ngoài ( O) 
 1 a 3
Ta có OG OA R 
 3 6
 G nằm ngoài ( O)
 4B. a) HS Tự chứng minh
b) Tính được C· BO C· BD A· BO 300 
Chứng minh ABC cân tại A có A· BC 600 ABC đều
5A. Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông ABC, ta có BC=13cm R=6,5cm
5B. Gọi O là giao 3 đường trung trực của ABC . Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp 
 ABC . Gọi H là giao điểm của AO và BC. Ta có : AH 3 cm; 
 2 2 3
OA AH cm 
 3 3
6A. Gọi O là giao điểm của AC và BD, Ta có:
OA=OB=OC=OD A,B,C,D cùng thuộc (O;R=7,5cm)
6B. a) Dựng đường thẳng d là trung trực của AB, 
d cắt tia Ay tại O suy ra (O;OA) là đường tròn 
cần dựng . 
HS tự chứng minh
 3 2
b) Tính được OA cm 
 3
7. a) Ta có A· CD 900 C thuộc 
Đường tròn đường kính AD.
Chứng minh A· BD 900 B thuộc đường tròn đường kính AD B,C cùng thuộc đường 
tròn đường kính AD
b) Tính được AD=10cm
8. a) Có O là trung điểm của BC.
 1 
Mà D O; BC OB=OD=OC
 2 
 BDC vuông tại D CD  AB 
Tương tự BE  AC 
b) Xét ABC có K là trực tâm AK  BC 
 5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 9. a) Gọi EF là đường kính 
 AB 
 O; sao cho EF  AB 
 2 
Xét trường hợp C chạy trên nửa đường tròn E· BF 
Chứng minh 
 OMB OHC (c.g.c)
 O· MB O· HC 900
 Vậy M chay trên đường tròn đường kính OB
Chứng minh tương tự khi C chạy trên nửa đường tròn E· AF , ta được M chạy trên đường tròn 
đường kính OA.
b) Chứng minh ADB cân tại A
 AD=AB nên D chạy trên (A;AB)
10. a) Chứng minh CMB DNC N· CE C· DN 
Từ đó chứng minh được C· EN 900 
b) Ta có A,D,E,M cùng thuộc được tròn đường
 kính DM
c) Gọi I là trung điểm của CD, chứng minh AI
 song song với MC
 ADE cân tại A
 B,E,D cùng thuộc (A;AB)
 6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên