Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương I - Bài 3: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

 BÀI 3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC
 TRONG TAM GIÁC VUÔNG
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
• Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. Ta có: 
 b b
 sinB b a.sinB vµ a = 
 a sinb
 c c
 cosB c a.cosB vµ a = 
 a cosB
 b b
 tanB b c.tanB vµ c = 
 c tanB
 c c
 cot B c b.cot B vµ b = 
 b cot B
 •Trong một tam giác vuông:
Cạnh góc vuông = (cạnh huyền) x (sin góc đối)
 = (cạnh huyền) x (cosin góc kề).
Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông còn lại) x (tan góc đôi)
 = (cạnh góc vuông còn lại) x (cot góc kề).
 •Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài 
 toán.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Giải tam giác vuông
Phương pháp giải: Để giải tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác 
vuông và sử dụng máy tính cầm tay hoặc bảng lượng giác để tính các yếu tố còn lại.
Chú ý: Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm:
 - Giải tam giác vuông khi biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn;
 - Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.
1A. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết:
a) b = 10 cm, Cµ = 30° ; b) a = 20cm , B =35°;
c) a = 15cm, b = 10cm; d) b = 12cm, c = 7cm.
1B. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BC = a, AC = b, AB = c.
 1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Giải tam giác ABC, biết rằng:
a) c =3,8 cm, B = 51°; b) a = 11cm, Cµ = 60°.
Dạng 2. Tính cạnh và góc của tam giác
 Phương pháp giải: Làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức trên bằng cách kẻ 
thêm đường cao.
2A. Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, A· BC 38 và A· CB 30. Gọi N là chân đường 
vuông góc hạ từ A xuông cạnh BC. Hãy tính:
 a) Độ dài đoạn thẳng AN; 
 b) Độ dài đoạn thang AC.
2B. Cho tam giác ABC, có BC = 6 cm, B 60 và Cµ 40 Hãy tính:
 a) Chiều cao CH và cạnh AC.
 b)Diện tích tam giác ABC.
3A. Cho tam giác ABC có Bµ 60, Cµ 50 và AC =3,5cm. Tính diện tích tam giác ABC (làm 
tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
3B. Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC=4cm, 
BD = 5cm, A· OB 60 . Tính diện tích tứ giác ABCD.
 Dạng 3. Toán ứng dụng thực tế
Phương pháp giải: Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để giải quyết tình huống 
trong thực tế.
4A. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 
xấp xỉ bằng 42°. Tính chiều cao của cột đèn.
4B. Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 28° và có độ cao là 2,1 cm. Tính độ dài của mặt 
cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Dạng 4. Toán tống hợp
Phương pháp giải: Vận dụng linh hoạt một số hệ thức giữa cạnh và góc trong một tam giác vuông 
để giải toán.
5A. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC > AB và đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình 
chiếu của H trên AB, AC.
 a) Chứng minh AD.AB = AE.AC và tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED.
 b) Cho biết BH = 2 cm, HC = 4,5 cm: 
i) Tính độ dài đoạn thẳng DE;
 2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên ii) Tính số đo góc ABC (làm tròn đến độ);
 iii)Tính diện tích tam giác ADE .
5B. Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi 
E, F, G theo thứ tự là trung điểm của AH, BH, CD.
 a) Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.
 b) Chứng minh B· EG 90 .
 ·
 c) Cho biết BH = 4 cm, BAC 30 . Tính SABCD và SEFCG.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết:
a) b = 5,4 cm, Cµ = 30°; 
b) c = 10 cm, Cµ = 45°.
 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết:
a) a = 15 cm, b = 10 cm; b) b = 12 cm, c = 7 cm.
 8. Cho tam giác ABC có B = 60°, Cµ = 50° và AC = 35 cm. Tính diện tích tam giác ABC.
 9. Cho tứ giác ABCD có Aµ Dµ 90,Cµ 30 , AB=4cm và AD = 3cm. Tính diện tích tứ 
 giác ABCD.
 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao là AH, HB = 9cm, HC = 16 cm.
 a) Tính AB, AC, AH.
 b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Tứ giác ADHE là 
 hình gì?
 c) Tính chu vi và diện tích của tứ giác ADHE.
 d) Tính chu vi và diện tích tứ giác BDEC.
 11. Cho tam giác ABC vuông tại A Biết AB = 3 cm, BC = 5 cm.
 a) Giải tam giác vuông ABC (số đo góc làm tròn đến độ).
 b) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt đường thẳng AC tại D. 
 Tính độ dài các đoạn thẳng AD, BD.
 c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên BC và BD. Chứng minh hai tam giác BEF và 
 BDC đồng dạng.
 12. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = 21 cm, Cµ = 40°. Tính độ dài đường phân giác 
 BD của A· BC , với D nằm trên cạnh AC.
 3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 13. Một cột đèn điện AB cao 6 m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5 m. Hãy tính B· CA 
 (làm tròn đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất.
 14. Chứng minh:
 a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo 
 bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy;
 b) Diện tích của tứ giác bất kỳ bằng nửa tích của hai đường chéo nhân với sin của góc 
 nhọn tạo bởi hai đường chéo.
 BÀI 3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC
 TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1A. a) Sử dụng tỉ số cosC và sinC, tính được 
 20 3 10 3
 a cm, c cm và B 600 
 3 3
b) Sử dụng tỉ số sinB và cosB, tính được:
 b 20.sin350 11,47cm, c=20.cos350 16,38cm 
c) Sử dụng định lý Pytago và tỉ số sinB, tính được:
 10 0 0
 c 5 5 cm, sinB= B 41,8 , Cµ 48,2 
 15
d) Tương tự c) ta có 
 12 0 0
 a 193 cm, tanB= B 59,7 , Cµ 30.3 
 7
1B. tương tự 1A
2A. a) Cách 1. Sử dụng các tỉ số lượng 
giác trong tam giác vuông NAB và 
NAC chúng ta có BN.tanB = NC.tanC ,
 Chú ý BN + NC = BC chúng ta tính 
được 
BN 4,67cm; AN 3,65cm; 
Cách 2. Gợi ý: Kẻ CH vuông góc với
 AB tại H. 
 AN
b) Xét ANC vuông có: AC AC 7,3cm 
 sinC
2B. a) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông HCB chúng ta có 
 AC
CH 3 3 cm , 5,28cm 
 sinC
b) Tương tự, cũng áp dụng Pytago hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, tính 
được:
 4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1 2
AH,BH AB 3,93cm. Ta có S 3 3.3,93 10,21cm 
 2
3A. Kẻ AH  BC tại H . Áp dụng hệ thức giữa cạnh
 và góc trong AHC vuông tại H, chúng ta tính 
được AH 2,68cm vµ HC 2,25cm 
Tương tự trong tam giác vuông HAB, tính được 
 2
BH 1,34cm BC 3,59cm, S ABC 4,81cm 
3B. Gợi ý: Kẻ AH và CK vuông góc với BD
4A. a) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao của
 cột đèn là AB, bóng của cột đèn trên mặt đất là AC. 
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ABC 
Vuông tại A, ta tính được AB 6,75m 
 2,1
4B. Tương tự 4A. Độ dài cầu trượt 4,5m 
 sin280
5A. a) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao 
trong các tam giác vuông 
 AHC và AHB ta có: 
 2
AE.AC AH AD.AB ABC  AED (c.g.c)
b) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao 
trong tam giác vuông ABC tính được 
AH = 3cm DE = 3cm
Trong AHB vuông ta có: 
 AH 0 27 2
 tanA· BC A· BC 56 , S cm 
 HB ADE 13
5B. a) Chú ý EF là đường trung bình trong tam giác HAB.
b) Chứng minh F là trực tâm tam giác BEC và sử dụng a) 
c) Sử dụng tỉ số sinA trong tam giác vuông HAB và tỉ số 
tanA trong tam giác vuông BAC để t
ính AB, CB và AC, EC 
6. Tương tự 1A và 1B
7. Tương tự 1A và 1B
 2
8. Tương tự 3A . ta có S ABC 509,08cm 
9. Kẻ BH  DC tại H. 
Chú ý diện tích ABCD
 bằng tổng diện tích 
của ABHD và BHC.
10. Tương tự 5A
11. a) HS tự làm b) HS tự làm
c) Tương tự 5A. Ta có BEF  BDC (c.g.c)
 5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 12. A· BD 250 . Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ABD ta có:
 21
BD 21,19cm 
 cos250
13. Tương tự 4A.
14. a) Giả sử tam giác ABC có Aµ 900 , 
kẻ đường cáo BH. Ta có BH=AB.sin Aµ
 1 1
 S AC.BH AB.AC.sinAµ 
 ABC 2 2
b) Giả sử tứ giác ABCD có hai đường 
chéo AC và BD cắt nhau tại O 
có A· OB 900 , Kẻ AH  BD tại H và 
CK  BD tại K
ta có : AH=OA.sin 
 1 1
 S BD.AH BD.OA.sin 
 ABD 2 2
 1 1
 S BD.CK BD.OC.sin 
 CBD 2 2
 Tương tự: 
 1 1 1
 S S S BD.OA.sin BD.OC.sin BD.AC.sin 
 ABCD ABD CBD 2 2 2
 6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên