Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chủ đề 10: Ôn tập Chương III

 ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài 1 đến Bài 9 của chương này.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1A. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB. M là một 
điẻm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H 
trên AB.
a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh ·ACM ·ACK. 
c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam 
giác vuông cân tại C.
d) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d ao cho hai điểm P, C 
 AP.MB
nằm trong cùng một nưanr mặt phẳng bờ AB và R. Chứng minh đường thẳng PB 
 MA
đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
1B. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến 
tại B và C cắt nhau tại M, AM cắt (O) tại điểm thứ hai D. Gọi E là trung diểm củ đoạn AD, 
EC cắt (O) tại điẻm thứ hai F. Chứng minh:
a) Tứ giác OEBM là tứ giác nội tiếp; b) MB2 = MA.MB;
c) B· FC M· OC; d) BF song song AM.
2A. Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E 
và F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa 
hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).
a) Chứng minh MA. MB = ME.MF.
b) Gọi H là hình chiêu vuông góc của điểm c lên đuờng thẳng MO. Chứng minh tứ giác 
AHOB nội tiếp.
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa 
đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng 
CO và KF. Chứng minh các đường thẳng MS và KC vuông góc nhau.
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên d) Gọi p và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung 
điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.
2B. Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi E' là điểm đối xứng H 
qua AC, F' là điểm đối xứng H qua AB. Chứng minh:
a) Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn (O);
b) Năm điểm A, F', B, C, E' cùng thuộc một đường tròn;
c) AO và EF vuông góc nhau;
d) Khi A chạy trên (O) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
3. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp 
tuyến AF của nửa đường tròn (O) (vói F là tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx của nửa 
đường tròn tại D. 4 R
 4R
Cho biết AF = .
 3
a) Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
này.
b) Tính côsin góc D· AB .
 BD DM
c) Kẻ OM  BC (M AD). Chứng minh 1. 
 DM AM
d) Tính diện tích phần hình tứ giác OBDM ở bên ngoài nửa đường tròn (O) theo R.
4. Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn tâm o đường kính AM = 
2R.
a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong 
một đường tròn.
c) Gọi E là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.
d) Giả sử AB = R 3 . Tính diện tích phần chung của đường tròn (O) và đường tròn ngoại 
tiếp tứ giác AHBN.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 5. Cho tam giác ABC có B· AC = 45°, các góc B và C đều nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB 
và AC lần lượt tai D và E. Gọi H là giao điểm của CD và BE.
a) Chứng minh AE = BE.
b) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
này.
c) Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
d) Cho BC = 2a. Tính diện tích viên phân cung D»E của đường tròn (O) theo a.
6. Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định không đi qua O. Trên tia đối của tia BC lấy 
một điểm A bất kì. Vẽ các tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N là các tiếp điểm). MN cắt các 
đưòng AO và BC lần lượt ở H và K. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: AH.AO = AB.AC = AM2.
b) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
c) Vẽ dây MP song song với BC. Chứng minh N, I, P thẳng hàng.
d) Khi A di động trên tia đôi của tia BC, chứng minh trọng tâm tam giác MBC chạy trên 
một đường tròn cố định.
7. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đển (O) 
(A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyên MNP (MN < MP) đến (O). Gọi K là trung điểm 
của NP.
a) Chứng minh các điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOA đi qua K.
b) Chứng minh tia KM là phân giác của góc ·AKB. .
c) Gọi Q là giao điểm thứ hai của BK với (O). Chứng minh AQ song song NP.
d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh:
 MA2 = MH.MO = MN.MP.
e) Chứng minh bốn điểm N, H, O, P cùng thuộc một đường tròn.
g) Gọi E là giao điểm của AB và KO. Chứng minh:
 AB2 = 4.HE.HF. (F là giao điểm của AB và NP).
h) Chứng minh KEMH là tứ giác nội tiếp. Từ đó chứng tỏ OK.OE không đổi.
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên i) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng MO với (O). Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp 
tam giác MAB.
k) Chứng minh KE và KE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc ·AKB. Từ 
đó suy ra AE.BE = AE.BE.
l) Chứng minh khi cát tuyến MNP quay quanh M thì trọng tâm G của tam giác NAP luôn 
chạy trên một đường tròn cố định.
m) Giả sử MO = 2 R. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và cung 
nhỏ AB.
 ÔN TẬP CHƯƠNG III
1A. a) Chứng minh được H· CB H· KB 900 
b) ·ACK H· BK (CBKH nội tiếp)
 1
Lại có: ·ACM H· BK sđ ¼AM 
 2
 ·ACM ·ACK 
c) Chứng minh được:
 MCA = ECB (c.g.c) MC = CE
 1
Ta có: C· MB C· AB sđ C»B = 450
 2
 MCE vuông cân tại C.
d) Gọi PB  HK I PB
Chứng minh được HKB đồng dạng với AMB (g.g)
 HK MA AP AP.BK
 HK 
 KB MB R R
Mặt khác: BIK : BPA (g.g)
(ĐPCM)
1B. a) O· BM O· EM 900
 Tứ giác OEBM nội tiếp.
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên b) Chứng minh được: ABM : BDM (g.g)
 MB2 MA.MD 
c) OBC cân tại O có OM vừa là trung trực vừa là phân 
giác 
 1 1
 M· OC B· OC sđ B»C 
 2 2
 1
Mà B· FC sđ B»C M· OC B· FC 
 2
d) O· EM O· CM 900 Tứ giác EOCM nội tiếp.
 M· EC M· OC B· FC mà 2 góc ở vị trí đồng vị FB/ /AM
2A. a) HS tự chứng minh
b) MH.MO = MA.MB (=MC2)
 MAH : MOB(c.g.c) 
 M· HA M· BO 
 M· BO ·AHO M· HA ·AHO 1800 AHOB nội tiếp.
c) MK2 = ME.MF = MC2 MK = MC
 MKS MCS(ch cgv) SK SC
 MS là đường trung trực của KC
 MS  KC tại trung của CK
d) Gọi MS  KC I 
 MI.MS ME.MF( MC 2 ) EISF nội tiếp đường tròn tâm 
P PI = PS. (1)
MI.MS = MA.MB(=MC2) EISF nội tiếp đường tròn tâm P 
 PI = PS. (1)
MI.MS = MA.MB (=MC2) AISB nội tiếp đường tròn tâm 
Q QI = QS. (2)
Mà IT = TS = TK (do IKS vuông tại I). (3)
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Từ (1), (2) và (3) P, T, Q thuộc đường trung trực của IS 
 P, T, Q thẳng hàng.
2B. a) CHE' cân tại C C· E ' H C· HE ' 
 BHF' cân tại B B· F ' H B· HF '
Mà C· HE ' B· HF ' (đối đỉnh)
 C· E ' H B· F ' H
 Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn tâm (O)
b) Có B· FC ' B· E 'C C· HE ' C· AB 
Vậy A, F', E' cùng chắn BC dưới góc bằng nhau.
 5 điểm B, F', A, E', C cùng thuộc một đường tròn tâm 
(O).
c) AF' = AE' (=AH) AO là trung trực của EF AO  
E'F'. HE'F' có EF là đường trung bình EF//E'F'.
 AO  FE.
d) ·AFH ·AEH 900 AFHE nội tieps đường tròn đường 
kính AH. Trong (O): Kẻ đường kính AD, lấy I trung điểm 
BC.
 1
 OI AH, BC cố định OI không đổi.
 2
 Độ dài AH không đổi
 Bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF không đổi.
3. a) Chứng minh được DBOF nội tiếp đường tròn tâm I là 
trung điểm của DO.
 5R AF 4
b) OA OF 2 AF 2 cos D· AB 
 3 AO 5
 DM OB
c) AMO : ADB(g.g) 
 AM OA
mà M· OD O· DB O· DM DM OM 
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên DB DB AD BD DM AD DM
 . Xét vế trái 1 
 DM OM AM DM AM AM
 8R 3 5R
d) DB AB.tan D· AB . 2R OM AO.tan D· AB 
 3 4 4
 13R2
 S 
 OMDB 8
 1 R2
 S S S (13 2 ) 
 OMDB ngoai OMDB 4 (O,R) 8
4. a) BH  AC và CM  AC BH//CM
Tương tự CH//BM
 BHCM là hình bình hành
b) Chứng minh BNHC là hình bình hành
 NH//BC
 AH  NH AHM = 900
Mà ·ABN 90 Tứ giác AHBN nội tiếp
c) Tương tự ý b, ta có: BHEC là hình bình hành. Vậy NH 
và HE//BC N, H, E thẳng hàng.
d) ·ABN 900 AN là đường kính đường tròn ngoại tiếp 
tứ giác AHBN.
 AN AM 2R S , AB R 3 ¼AmB 1200
 ¼AnB 
 1 R2 3
 S S 
 AOB 2 ABM 4
 R2
 S S S (4 3 3) 
 ¼AmB atatAOB AOB 12
 R2
 S 2S (4 3 3) 
 can tim ¼AmB 6
5. a) HS tự chứng minh
b) HS tự chứng minh
7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1
c) AEH vuông nên ta có: KE KA AH. 
 2
 AKE cân tại K
 K· AE K· EA 
 EOC cân ở O O· CE O· EC 
H là trực tâm AH  BC
Có ·AEK O· EC H· AC ·ACO 900 
(K tâm ngoại tiếp) OE  KE
d) HS tự làm
6. a, b, c HS tự làm
 IG ' 1 1
d) Gợi ý: G' OI mà G ' thuộc (G '; R )
 IO 3 3
7. a) HS tự chứng minh
b) HS tự chứng minh
c) HS tự chứng minh
d) HS tự chứng minh
e) HS tự chứng minh
 OH HE
g) OHE : FHM 
 HF HM
 OH.HM = HE.HF
 MAO vuông tại A, AH  MO
 AB2
 OH.HM AH 2 AB2 4HE.HF 
 4
h) M· HE M· KE 900 Tứ giác KEMK nội tiếp.
 OK.OE=OH.OM = OB2 = R2.
i) Do IºB IºA M· BI ·ABI BI là phân giác ·ABM 
Mà IM là phân giác ·AMB I là tâm đường tròn nội tiếp 
8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên ABM.
k) Xét đường tròn đi qua 5 điểm M, B, O, K, A có MA = 
MA
 M»B M» A M· KB M· KA 
 KM là phân giác trong góc B· KA , mà KE  KM
 KA AE AE AF
 KE là phân giác ngoài 
 KB BE BE BF
 AE.BF = AF.BE
1) HS tham khảo 4B, bài 7. Tứ giác nội tiếp
 2
Kết luận: G thuộc đường tròn J' bán kính JO với trung 
 3
 AJ ' 2
điểm OM và J' thỏa mãn 
 AJ 3
m) Học sinh tự giải.
9.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên