Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 9 - Chương IV - Bài 6: Bài toán về đường thẳng và Parabol

 BÀI 6. BÀI TOÁN VỂ ĐƯỜNG THANG VÀ PARABOL
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho đường thẳng d : y = mx + n và parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0). Khi đó số giao điểm cùa ả và 
(P) bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
 ax2 = mx + n.
Ta có bảng sau đây:
 Biệt thức của phương 
 Vị trí tương đối của của d 
Số giao điểm của d và (P) trình hoành độ giao điểm 
 và (P)
 của d và (P)
 0 ∆ < 0 d không cắt (P)
 1 ∆ = 0 d tiếp xúc với (P)
 d cắt (P) tại hai điểm phân 
 2 ∆ > 0
 biệt
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 x2 1
1A. Cho parabol (P): y = và đường thẳng d : y = x n. 
 2 2
a) Với n = 1, hãy:
 i) Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phang tọa độ;
 ii) Tìm tọa độ các giao điểm A và B của (P) và d;
 iii) Tính diện tích tam giác AOB.
b) Tìm các giá trị của n để:
 i) d và (P) tiếp xúc nhau.
 ii) d cắt (P) tại hai điểm phân biệt;
 iii) d cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía đôi của trục Oy. 
1B. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng d:y = -2x + m.
a) Với m = 3, hãy:
 i) Vẽ (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ;
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên ii) Tìm tọa độ các giao điểm M và N của (P) và d;
 iii) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Tìm các giá trị của m để:
 i) d và (P) tiếp xúc nhau.
 ii) d cắt (P) không cắt nhau;
 iii) d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm. 
2A. Viết phương trình đường thẳng d, biết:
 x2
a) d đi qua hai điểm A, B thuộc (P): y = và có hoành độ lần lượt là -2; 4;
 4
b) d song song với đường thẳng d': 2y + 4x = 5 và tiếp xúc với (P):y = x2;
 x3
c) d tiếp xúc với (P): y = tại điểm C(3; 3).
 3
2B. Viết phương trình đường thẳng d, biết:
 1
a) d đi qua gốc tọa độ và điểm M thuộc (P): y = 2x2 có hoành độ là ;
 2
 x2
b) d vuông góc với đường thẳng d': x - 3y + l = 0 và tiếp xúc với (P) : y = ; 
 2
c) d tiếp xúc với (P): y = 3x2 tại điểm N( 1; 3).
3A. Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d đi qua điểm M(0; -1) có hệ số góc là k.
a) Viết phương trình đường thẳng d và chứng minh với mọi giá trị của k thì d luôn cắt (P) 
tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Gọi hoành độ của A,B lần lượt là x1,x2. Chứng minh |xx -x2| ≥ 2.
c) Chứng minh tam giác OAB vuông.
3B. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(1;2) và đường thẳng d:y = -3x + l.
a) Viết phương trình đường thẳng d' đi qua M và song song với d.
b) Cho parabol (P) : y = mx2 (m ≠ 0). Tìm các giá trị của tham số ra để d và (P) cắt nhau tại 
hai điếm phân biệt A, B nằm cùng phía đối với trục tung.
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1
4A. Cho parabol (P) : y = (2m – 1)x2 với ra m .
 2
a) Xác định tham số ra biết đồ thị hàm số đi qua A(3; 3). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
b) Một đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4, cắt 
(P) trên tại 2 điểm A và B. Tính diện tích tam giác AOB.
4B. Cho parabol (P) :y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng d : y - 2mx-m + 2.
a) Xác định tham số a biết (P) đi qua A(1;-1);
b) Biện luận số giao điểm của (P) và d theo tham số ra.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
5. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P) : y = ax2 a ≠ 0 (a là tham số) và hai đường 
thẳng d1 : y = x +1 và d2 : x + 2y + 4 = 0.
a) Tìm tọa độ giao điểm A của dl và d2.
b) Tìm giá trị của a để (P) đi qua A. Vẽ (P) với a vừa tìm được.
c) Viết phương trình đường thẳng d biết d tiếp xúc với (P) tại A.
 1
6. Trong cùng mặt phẳng tọa độ, cho parabol: (P) : y = x2 và đường thẳng d : y = mx – 
 4
2m -1.
a) Vẽ (P).
b) Tìm giá trị của tham số ra sao cho d tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ d luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
7. Cho parabol (P): y = và đường thăng d: mx + y = 2.
a) Chứng minh (P) và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Xác định m để AB nhỏ nhất. Tính diện tích A AOB với m vừa tìm được.
 x2
8. Cho (P): y = và đường thăng d đi qua 7(0; 2) có hệ số góc k.
 2
a) Chứng minh (P) và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiêu vuông góc của A và B trên trục Ox. Chứng minh tam 
giác IHK vuông tại I.
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 9. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: y – mx - m +1. Tìm các giá trị của tham số m để 
d cắt (P) tại hai điếm phân biệt A và B có hoành độ x1 và x2 thỏa mãn:
a) |x1| + |x2| = 4; b)xl = 9x2.
10. Cho parabol (P) có đồ thị đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm
a) Viết phương trình của (P).
 1
b) Tìm các giá trị nào của tham số m đẻ đường thẳng d:y = x + m cắt (P) tại hai điểm có 
 2
hoành độ x1,x2 thoả mãn 3xl + 5x2 = 5.
11. Cho parabol (P) :y - x2 và đường thẳng d:y - 2 mx - 2 m + 3.
a) Tim tọa độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2.
b) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, thì đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại 
hai điểm phân biệt.
c) Gọi y1,y2 là tung độ các giao điểm của d và (P). Tìm các giá trị của tham số m để y1 + y2 < 
9.
 BÀI 6. BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG PARABOL
 1
1A. a) Với n 1, ta được d : y x 1 
 2
i) HS tự làm.
 x2 1
ii) Xét PT hoành độ giao điểm của d và (P): x 1 0 
 2 2
Giải ra ta được x1 = -1 và x2 = 2.
 1 
Từ đó tìm được A 1; ; B(2;2) 
 2 
 3
iii) Tính được S bằng một trong các cách sau:
 AOB 2
Cách 1. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuônggóc của A, B trên trục Ox. Khi đó
 SAOB = SAHKB - SAHO- SBKO
Cách 2. Gọi I là giao điểm của d và Oy, M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên 
trục Oy. Khi đó
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1 1
 S S S AM.OI BN.OI 
 AOB AOI BOI 2 2
 1
Cách 3. Gọi T là hình chiếu vuông góc của O trên d. Khi đó: S OT.AB
 AOB 2
b) PT hoành độ giao điểm của d và (P): x2 - x - 2n = 0.
 1
i) d tiếp xúc với (P) 0 . Từ đó tìm được n 
 8
ii) d cắt (P) tại hai điểm phân biệt 0
 1
Từ đó tìm được n 
 8
iii) d cắt (P) tại hai điểm nằm ở hai phía trục Oy ac 0 . Từ đó tìm được n > 0.
1B. a) Với m = 3, ta được d : y = -2x + 3
i) HS tự làm.
ii) Xét PT hoành độ giao điểm của d và (P): x2 + 2x - 3 = 0.
Giải ra ta được xM = -3 và xN =1.
Từ đó tìm được M(-3; 9), N(1; 1)
 2 2
iii) Độ dài MN xN xM yN yM 4 5 
b) PT hoành độ giao điểm của d và (p): x2 + 2x - m = 0.
i) d tiếp xúc với (P) = 0. Từ đó tìm được m = -1.
ii) d cắt không cắt nhau < 0. Từ đó tìm được m < -1.
iii) d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm
 0
 S 0 . Từ đó tìm được 1 m 0 .
 P 0
2A. a) Gọi PT đường thẳng d có dạng y = ax + b.
Theo đề bài ta có: A, B P A( 2;1), B(4;4) 
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên 1
 2a b 1 a 1
Do A, B d 2 d : y x 2 
 4a b 4 2
 b 2
 5
b) PT đường thẳng d có dạng: y 2x b với b 
 2
PT hoành độ giao điểm của d và (P) là: x2 + 2x - b = 0.
d tiếp xúc với P ' 1 b 0 b 1 y 2x 1 
c) Gọi PT đường thẳng d có dạng y = ax + b
PT hoành độ giao điểm của d và (p) là:
 x2 4
 ax - b 0 , với a2 b 
 3 3
Để d tiếp xúc với (P) tại điểm C(3;3)
 0 a 2
 d : y 2x 3 
 3a b 3 b 3
2B.Gọi PT đường thẳng d có dạng y = ax + b
 1 1 
a) Vì M (P) M ; 
 2 2 
 b 0
 a 1
Do O, M d 1 1 . Tìm được 
 a b b 0
 2 2
Từ đó d : y = x
b) Vì d  d ' nên d có dạng: y = -3x + b.
PT hoành độ giao điểm của d và (P) là x2 + 6x - 2b = 0
Vì d tiếp túc với (P) nên ' 0 
 9
Từ đó tìm được d : y 3x 
 2
c) PT hoành độ giao điểm của d và (P) là 3x2 - ax - b = 0.
 0
Vì d tiếp xúc với (P) tại điểm N (1; 3) nên 
 a b 3
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Từ đó tìm được d : y = kx - 1.
3A. a) Ta có d : y = kx - 1
PT hoành độ giao điểm của d và P : x2 kx 1 0 
Ta có: k 2 4 0 với mọi k ĐPCM.
 2 2
b) Ta có: x1 x2 k 4 4 x1 x2 2 
c) Sử dụng định lý Pitago đảo
 9
3B. a) Tìm được d ': y 3x 5 b) Tìm được m 0 
 4
 2
4A. a) Thay tọa độ điểm A vào PT của (P) tìm được m . Khi đó ta được parabol 
 3
 1
 P : y x2 
 3
b) Tìm được A 2 3;4 và B 2 3;4 AB 4 3 
 1
Từ đó S AB.4 8 3 (đvdt)
 AOB 2
4B. a) Tìm được y = -x2
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x2 + 2mx - m + 2 = 0 có = m2 + m - 
2.
Với 0 m 1 hoặc m < -2 thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
- Với 0 m 1 hoặc m = -2 thì d tiếp xúc (P).
- Với 0 2 m 1 thì d không cắt (P).
 1 1
5. a) A 2; 1 b) a và P : y x2 c) y x 1 
 4 4
6. a) HS tự vẽ hình
b) Tìm được m = -1.
c) d luôn đi qua A(2; -1) thuộc (P)
 1
7. a) PT hoành độ giao điểm của d và (P): x2 mx 2 0 
 2
7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Vì a, c trái dấu (hoặc m2 4 0 ) m nên ta có ĐPCM.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của PT hoành độ giao điểm
 A(x 1 ;2 mx1), B(x2 ;2 mx2 ) và x1 x2 2m, x1x2 4 
 2 2
 AB (4m 16)(m 1) 
 ABmin 4 tại m = 0
Từ đó SAOB = 4
8. a) PT hoành độ giao điểm của d và (P) có a, c trái dấu.
b) Sử dụng định lý Pitago đảo.
 10
9. a) m = -2 hoặc m = 4 b) m = 10 hoặc m = 
 9
 1 5
10. a) y x2 b) m 
 4 16
11. a) 2;2 và 2;2 
 b) ' (m 1)2 2 0m 
 1 3
 c) m 
 2 2
8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên