Đề chính thức Kỳ thi chọn HSG cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 năm 2017 Sở GD&ĐT Lâm Đồng (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2016- 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
( Đề thi có 01 trang)
 Môn thi: TOÁN
 Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 17/3/2017
Câu 1: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: 
Câu 2: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M( M nằm giữa A và B), trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BM. Vẽ MN cắt BC tại I. Chứng minh M và N đối xứng nhau qua I.
Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi x Z thì chia hết cho 24.
Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng: 
Câu 5: (1,5 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 
 a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh 
Câu 6: (2,0 điểm) Với n N, n > 1. Chứng minh không phải là số chính phương.
Câu 7: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 
Câu 8: (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của M biết:
Câu 9: (1,5 điểm) Giải phương trình 
Câu 10: (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AC, trên đoạn ...0,25 điểm
Câu 7
(1,0 đ)
ĐK: x.y 
Giải (2) ta được : 
Thay xy =2 vào (1) ta được : x+y = 3 (5)
Từ (5) và (3) ta được : (thỏa mãn điều kiện)
Thay xy = vào (1) ta được : x+ y = (6)
Từ (6) và (4) ta được : (thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là : 
Nếu thiếu điều kiện thì trừ 0,25 đ
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 8
(1,5 đ)
Đk: a 0; a 9
Biến đổi 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si :
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy a = 4 thì M đạt giá trị nhỏ nhất là 4
Nếu thiếu điều kiện thì trừ 0,25 đ
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 9
(1,5 đ)
Ta có:
Điều kiện : 
Ta có 
Đặt : 
Ta có :
Với a = 2b ta có : 
 ( Nhận) ; ( Loại) 
Với a = b ta có : 
 ( Nhận) ; ( Nhận) 
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm :
  ;  ; 
Nếu thiếu điều kiện thì trừ 0,25 đ
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 10
(2,0 đ)
Vẽ AN//CS 
Xét có LK//AN , theo định lý Talet có : (1)
 Vẽ BI//CS 
Xét có KS//IB , theo định lý Talet có : (2)
Từ (1) và (2) 
Chứng minh 
Vì tại M 
 DI= DM – MI; NE = ME – MN ;
Suy ra DI = NE (4)
Từ (3) và (4) 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 11
(1,0 đ)
Ta có 
Tương tự :
Từ (1) và (2) :
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 12
(2,0 đ)
Ta có 
SABC không đổi nên SAPQ lớn nhất SBPQC nhỏ nhất
Các điểm D, E, M là các tiếp điểm
Mặt khác:
Chứng minh: 
Từ (1) ta có:
Dấu “=” xảy ra khi BP = CQ M thuộc đường cao AO ( Điểm chính giữa cung BC)
Vậy SAPQ lớn nhất SBPQC nhỏ nhấtM thuộc AO
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
* Ghi chú: Nếu thí sinh làm cách khác đúng thì giám khảo căn cứ thang điểm để chia các bước chấm tương ứng.