Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 6: Nghiệm của đa thức một biến

 CHUYÊN ĐỀ 
 BÀI 6. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm vững định nghĩa nghiệm của đa thức một biến. 
 + Nhận biết được số nghiệm của đa thức một biến không vượt quá số bậc của đa thức. 
  Kĩ năng 
 + Kiểm tra được một số có là nghiệm của đa thức một biến hay không. 
 + Tìm được nghiệm của một số đa thức một biến dạng đơn giản. 
 + Biết cách chứng minh đa thức vô nghiệm. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
 Nghiệm của đa thức một biến Nếu P a 0 thì x a là nghiệm của đa thức 
Giá trị x a được gọi là nghiệm của đa thức P x 
 P x . 
nếu P a 0 Đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm; 
Chú ý Đa thức bậc hai có không quá hai nghiệm; 
 Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một Đa thức bậc ba có không quá ba nghiệm; 
nghiệm, hai nghiệm, hoặc không có nghiệm. 
 Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc 
của nó 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Kiểm tra nghiệm của đa thức 
 Phương pháp giải 
Cho đa thức F x . Kiểm tra xem x a có là Ví dụ: Kiểm ra xem x 1; x 2 có phải là 
 2
nghiệm của F x hay không? nghiệm của đa thức Fx x 3 x 2 không? 
Bước 1. Thay x a vào đa thức F x rồi tính ra Hướng dẫn giải 
 +) Thay x 1 vào F x , ta có: 
kết quả. 
 2
Bước 2. Nếu kết quả F a 0 thì x a (hoặc a ) F 1 1 3. 1 2 1 3 2 0. 
là nghiệm của đa thức F x . Vậy x 1 là nghiệm của đa thức. 
 +) Thay x 2 vào F x , ta có: 
Nếu kết quả F a 0 thì x a (hoặc a ) không là 
 2
nghiệm của đa thức F x . F 2 2 3. 2 2 4 6 2 12 0. 
 Vậy x 2 không là nghiệm của đa thức. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Xét xem x 1; x 0; x 2 có phải là nghiệm của đa thức Fx 3 x3 12 x hay không? 
Hướng dẫn giải 
- Thay x 1 vào F x ta có: F 1 3.13 12.1 3 12 9 0. 
Vậy x 1 không là nghiệm của đa thức. 
- Thay x 0 vào F x , ta có: F 0 3. 03 12. 0 0. 
Vậy x 0 là nghiệm của đa thức. 
- Thay x 2 vào F x , ta có: F 2 3. 23 12. 2 3.8 12.2 24 24 0. 
Vậy x 2 là nghiệm của đa thức 
 Trang 2 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Kiểm tra xem: 
 1
a) x có phải là nghiệm của đa thức Px 4 x 2 hay không? 
 2
b) Mỗi số x 1; x 2 có phải là một nghiệm của đa thức Qx x2 3 x 2 không? 
Câu 2: Trong tập hợp số 1; 1;5; 5 , số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của đa thức: 
 Fxx 42 x 3 2 x 2 6 x 5? 
Dạng 2:Tìm nghiệm của đa thức 
Bài toán 1. Tìm nghiệm của đa thức 
 Phương pháp giải 
Tìm nghiệm của đa thức F x : Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức: Fx 3 x 9 
Bước 1. Cho đa thức F x 0. F x 0 
 3x 9 0 
Bước 2. Tìm nghiệm x và kết luận. 3x 9 
 x 3 
 Vậy x 3 là nghiệm của đa thức. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm nghiệm của các đa thức: 
a) fx 3 x 8. 
b) fx x3 2 x 5 . 
c) fx x2 2 x . 
Hướng dẫn giải 
 8
a) f x 0 hay 3x 8 0 3 x 8 x . 
 3
 8
Vậy nghiệm của đa thức là x . 
 3
b) f x 0 hay x 3 2 x 5 0 
 x 3 0 hoặc 2x 5 0 
 x 3 hoặc 2x 5 Chú ý: Với đa thức 
 Trang 3 
 5 Fx gxhx.. 
 x 3 hoặc x . 
 2
 Nếu F x 0 thì 
 5
Vậy các nghiệm của đa thức là x 3 và x . 
 2 g x 0 hoặc h x 0. 
c) Ta có x2 2 xxx 2 
 f x 0 hay x x 2 0 
 x 0 hoặc x 2 0 
 x 0 hoặc x 2 
Vậy các nghiệm của đa thức là x 0 và x 2. 
Bài toán 2. Chứng minh đa thức không có nghiệm 
 Phương pháp giải 
 Đa thức P x không có nghiệm khi P x 0 Ví dụ: Chứng minh đa thức sau không có nghiệm: 
 2
với mọi x. fx 8 x 100. 
Áp dụng tính chất để chứng minh đa thức không có Hướng dẫn giải 
nghiệm: Ta có: x2 0 (với mọi x ) 
 A2 0, A 0. 8x2 0 
 Khi nhân hai vế với một số âm thì đổi chiều dấu 8x2 100 100 0 
so sánh. Khi nhân hai vế với một số dương thì giữ f x 0 với mọi x . 
nguyên dấu so sánh. 
 Vậy đa thức f x không có nghiệm. 
 Khi cộng trừ hai vế cho một số thì giữ nguyên dấu 
so sánh. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Chứng minh các đa thức sau không có nghiệm: 
a) fx 6 x2 9. b) fx x4 1 c) fx 2 x 1 3. 
Hướng dẫn giải 
a) Ta có x2 0 (với mọi x ) 
 6x2 0 
 6x2 9 9 0 
 f x 0 với mọi x . 
Vậy đa thức f x không có nghiệm. 
b) Ta có x4 0 với mọi x nên x4 0 với mọi x 
 x4 1 1 0 
 Trang 4 
 f x 0 với mọi x . 
Vậy đa thức f x không có nghiệm. 
c) Ta có 2x 1 0 với mọi x . 
 2x 1 0 
 2x 1 3 3 0 
 f x 0 với mọi x . 
Vậy đa thức f x không có nghiệm. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức. 
a) Px 15 x 5. b) Px 23 x . 
Câu 2: Tìm nghiệm của các đa thức: 
a) x 52 x 6; b) 2x x 2; c) x2 5 x 4. 
Câu 3: Chứng minh rằng các đa thức sau không có nghiệm. 
a) Fx x2 1. b) Fx x4 x 2 6. 
Câu 4: Chứng minh rằng đa thức sau luôn không có nghiệm. 
a) x2 5. b) x4 x 2 1. 
 Câu 5: Tìm nghiệm của đa thức sau: Rx x2 3 x 5. 
Dạng 3. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Biết Fx axbF, 0 0, F 1 2. 
 Tìm F x 
 Hướng dẫn giải 
Để tìm đa thức F x , ta căn cứ vào giả thiết: 
 Thay x 0 vào F x , ta có: F 0 a .0 b b . 
Nếu Fx 0 k ( k là số bất kỳ) thì Fx k tại 
 Do F 0 0 nên b 0 1 
 x x0 
 Thay x 1 vào F x ta có: 
 F 1 a . 1 b a b . 
 Do F 1 2 nên a b 2 2 
 Thay 1 vào 2 ta có: a0 2 a 2 
 Trang 5 
 Vậy Fx 2 x . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Biết F x ax b, F 2 1, F 1 2 . Tìm F x . 
Hướng dẫn giải 
Thay x 2 vào F x ta có: F 2 2 a b . Do đó 
 F 2 1 2 a b 1 b 1 2 a . 1 
Thay x 1 vào F x ta có: F 1 a .1 b a b. Do đó 
 F 1 2 a b 2 2 
 1
Thay 1 vào 2 ta có: a 1 2 a 2 3 a 1 a . 
 3
 1 2 5
Khi đó: b 1 2 a 1 2. 1 . 
 3 3 3
 1 5
Vậy Fx x . 
 3 3
Ví dụ 2. Biết F x ax2 bx, F 1 1, F 1 1. Tìm F x . 
Hướng dẫn giải 
Thay x 1 vào F x ta có: F 1 a . 12 b . 1 a b . 
Khi đó F 1 1 a b 1 a 1 b . 1 
Thay x 1 vào F x ta có: F 1 a . 12 b .1 a b . 
Khi đó F 1 1 a b 1. 2 
Thay 1 vào 2 ta có: 1 b b 1 2 b 2 b 1. 
Suy ra a b 1 1 1 0. 
Vậy Fx x. 
Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1. Cho P x ax b, biết P 0 5; P 2 0 . Tìm P x . 
Câu 2. Cho đa thức: Fx x2 mx 2. 
a) Xác định m để F x nhận x 2 làm một nghiệm. 
b) Tìm tập hợp các nghiệm của F x ứng với giá trị vừa tìm được của m. 
Câu 3. Cho biết 2x 4 . Fx x 1 . Fx 1 với mọi x. Chứng minh rằng F x có ít nhất hai 
nghiệm. 
 Trang 6 
ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Kiểm tra nghiệm của đa thức 
Câu 1. 
 1 1 1 
a) Thay x vào Px 4 x 2, ta có P 4. 2 2 2 0. 
 2 2 2 
 1
Vậy x là nghiệm của đa thức P x . 
 2
b) – Thay x 1vào Qx x2 3 x 2 ta có Q 1 12 3.1 2 1 3 2 0. 
Vậy x 1 là nghiệm của đa thức Q x . 
- Thay x 2 vào Q x , ta có Q 2 22 3.2 2 4 6 2 0. 
Vậy x 2 là nghiệm của đa thức Q x . 
Câu 2. 
1. Thay x 1 vào F x , ta có F 1 14 2.1 3 2.1 2 6.1 5 0. 
Vậy x 1 là nghiệm của đa thức. 
2. Thay x 1 vào F x , ta có 
 F 1 14 2. 1 3 2. 1 2 6. 1 5 1 2 2 6 5 8 F 1 0. 
Vậy x 1 không là nghiệm của đa thức. 
3. Thay x 5 vào F x , ta có F 5 54 2.5 3 2.5 2 6.5 5 625 2.125 2.25 30 5 800 0. 
Vậy x 5 không là nghiệm của đa thức. 
4. Thay x 5 vào F x , ta có 
 F 5 54 2. 5 3 2. 5 2 6. 5 5 625 2. 125 2.25 30 5 360 0. 
Vậy x 5 không là nghiệm của đa thức. 
Dạng 2. Tìm nghiệm của đa thức 
Câu 1. 
 5 1
a) Ta có Px 0 15 x 5 0 15 xx 5 . 
 15 3
 1
Vậy x là nghiệm của đa thức P x 
 3
b) Ta có Px 0 23 x 0 x 23. 
Vậy x 23 là nghiệm của đa thức P x 
Câu 2. 
 Trang 7 
a) x 5 2 x 6 0. 
 x 5 0 hoặc 2x 6 0 
 x 5 hoặc 2x 6 
 x 5 hoặc x 3 
Vậy x 5 và x 3 là các nghiệm của đa thức. 
b) 2x x 2 0 
 2x 0 hoặc x 2 0 
 x 0 hoặc x 2 
Vậy x 0và x 2 là các nghiệm của đa thức. 
c) x2 5 x 4 0 
 x2 x4 x 4 0 
 xx2 4 4 x 0 
 xx 1 4 x 1 0 
 x 1 x 4 0 
 x 1 0 hoặc x 4 0. 
 x 1hoặc x 4. 
Vậy x 1và x 4. là các nghiệm của đa thức 
Câu 3. 
a) Fx x2 1. 
Ta có x2 0 với mọi x x2 1 1 0 
 Fx x2 1không có nghiệm 
b) Fx x4 x 2 6. 
Ta có x4 0 và x2 0 với mọi x 
 x4 x 2 0 
 x4 x 2 6 6 0 với mọi x 
Vậy F x không có nghiệm 
Câu 4. 
a) Fx x2 5. 
Ta có x2 0 với mọi xx 2 5 5 0 x 2 5 0. 
 Fx x2 5không có nghiệm 
b) Fx x4 x 2 1. 
 Trang 8 
Ta có x4 0 và x2 0 với mọi x 
 xx4 2 0 xx 4 2 0 
 x4 x 2 1 1 0 với mọi x 
Vậy F x không có nghiệm 
Câu 5. 
 Rx x2 3 x 5 
 3 3 9 11
 x2 x x 
 2 2 4 4
 3 3 3 11
 xx x 
 2 2 2 4
 3 3 11
 x x 
 2 2 4
 2
 3 11
 x 0 
 2 4
Suy ra R x 0 với mọi x. 
Vậy đa thức R x không có nghiệm. 
Dạng 3. Tìm đa thức một biến có nghiệm cho trước 
Câu 1. Ta có 
 P 0 5 a .0 b 5 b 5 1 
 P 2 0 a .2 b 0 2 a b 0 2 
 5
Thay 1 vào 2 ta có: 2a 5 0 a . 
 2
 5
Vậy Px x 5. 
 2
Câu 2. 
a) Để F x nhận 2 làm nghiệm thì F 2 0 
 22 m .2 2 0 
 6 2m 0 
 m 3. 
Vậy với m 3 thì F x nhận 2 làm một nghiệm 
b) Với m 3 ta có Fx x2 3 x 2. 
 F x 0 
 Trang 9 
 x2 3 x 2 0 
 x2 x2 x 2 0 
 xx2 2 x 2 0 
 xx 1 2 x 1 0 
 x 1 x 2 0. 
 x 1 0 hoặc x 2 0 
 x 1 hoặc x 2 
Vậy các nghiệm của F x là x 1; x 2.. 
Câu 3. 
Vì 2x 4 . Fx x 1 . Fx 1 với mọi x nên 
+) Khi x 2 thì 0.F 2 1. F 3 F 3 0. 
Vậy x 3 là một nghiệm của F x . 
+) Khi x 1 thì 2F 1 0. F 2 F 1 0. 
Vậy x 1 là một nghiệm của F x . 
Do đó F x có ít nhất hai nghiệm là 3 và 1. 
 Trang 10