Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 4: Đa thức một biến

 CHUYÊN ĐỀ 
 BÀI 4. ĐA THỨC MỘT BIẾN 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm vững khái niệm đa thức một biến. 
 + Nắm vững khái niệm về bậc, hệ số của đa thức một biến. 
  Kĩ năng 
 + Sắp xếp được đa thức một biến. 
 + Tìm được bậc, các hệ số, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức một biến. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
 Đa thức một biến 
Đa thức một biến là tổng của các đơn thức một A 3x 2x2 1 là đa thức một biến có bậc là 2. 
biến. Mỗi số được coi là một đa thức một biến. Bậc 
của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến 
trong đa thức đó. 
 Hệ số 
Trong một đa thức một biến đã thu gọn, hệ số của P 3x3 x 2. 
lũy thừa bậc 0 gọi là hệ số tự do, hệ số của lũy thừa 2 là hệ số tự do, 3 là hệ số cao nhất. 
bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất. 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức 
 theo lũy thừa giảm dần của biến: 
 Pxxx 2 32 x 4 5 xx 2 3 3 xx 4 1 
Bước 1. Nhóm các đơn thức đồng dạng. 
 x2 xx 22 3 2 xx 4 4 5 xx 3 1 
Bước 2. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. 
 2 3 4
Bước 3. Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy xxx 2 x 1 
 4 3 2
thừa tăng hoặc giảm của biến. xxx 2 x 1. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng dần 
của biến: 
 1 3
a) Ax xx5 35 x 4 x 5 2 xxxx 2 4 3 1. 
 2 2
b) Bxxxxx 33 2 2 2 2 2019 x . 
Hướng dẫn giải 
 1 3
a) Ax xx5 35 x 4 x 5 2 xxxx 2 4 3 1 
 2 2
 15 3 5 3 3 4 4 2
 x x xx 5 xxxx 2 1 
 2 2 
 x54 x 4 2 xx 2 1. 
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến: Ax 1 2 xx 2 4 xx 4 5 . 
 Trang 2 
b) Bxxxxx 33 2 2 2 2 2019 x 
 x3 3 xx 2 2 2 2 xx 2019 
 x35 x 2 3 x 2019. 
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến: Bx 2019 3 xxx 52 3 . 
Ví dụ 2. Cho đa thức Cxxx 5 32 x 3 4 3 x 4 2 xx 2 4 1. 
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của C x theo lũy thừa giảm dần của biến. 
b) Chỉ ra cá hệ số khác 0 của C x . 
Hướng dẫn giải 
a) Cxxx 5 32 x 3 4 3 x 4 2 xx 2 4 1 
 xxx5 32 3 4 1 3 xxx 4 4 2 2 
 xx5 33 4 xx 4 2 2 . 
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: Cxx 54 xx 4 3 2 x 2 3. 
b) Các hệ số khác 0 của C x :1; 4;1;2; 3. 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến: 
 a) Pxx 53 x 3 3 xxxx 2 2 5 4 6 x 9 4 x 3 . 
 b) Qxxx 7 62 xx 3 7 2 xx 4 6 2 x 5 2 x 10 xx 4 6 . 
Câu 2: Cho đa thức: Px 2 xx5 2 7 x 1 3 x 5 2 xx 2 8 15. 
 a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của P x theo lũy thừa tăng dần của biến. 
 b) Chỉ ra các hệ số khác 0 của P x 
Câu 3: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến: 
 a) Px 4 xx2 5 3 15 xx 3 4 2 xxx 5 6 2 1. 
 1
 b) Qxxx 65 3 xxxx 2 5 4 2 5 4 2 1 x 3 . 
 2
Câu 4: Cho đa thức: Pxxxxxx 54 5 3 3 3 7 3 5 9 xx 2 8 1 
 a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến. 
 b) Chỉ ra các hệ số khác 0 của P x 
Dạng 2: Xác định bậc, hệ số của đa thức 
 Phương pháp giải 
- Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã 
 Trang 3 
thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức Ví dụ. Ax x42 xxx 3 2 6 
đó. 
 Bậc của đa thức A x là 4. 
- Hệ số của lũy thừa bậc 0 của biến gọi là hệ số tự 
 Hệ số tự do là 6 
do; hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của biến gọi là 
 Hệ số cao nhất là 1 
hệ số cao nhất. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Xác định bậc và hệ số tự do, hệ số cao nhất của mỗi đa thức sau: 
a) Ax 3 x4 5 x 3 2 xx 2 1. 
b) Bx x32 x 4 x 2 x 8. 
Hướng dẫn giải 
a) Ax 3 x4 5 x 3 2 xx 2 1. 
- Bậc của đa thức A x là 4. 
- Hệ số tự do là 1. 
- Hệ số cao nhất là 3. 
b) Bxx 3 2x 4 xx 2 8 2x 4 xx 3 8. 
- Bậc của đa thức B x là 4. 
- Hệ số tự do là 8. 
- Hệ số cao nhất là 2. 
Ví dụ 2. 
a) Viết một đa thức một biến có ba hạng tử mà hệ số cao nhất là 5 và hệ số tự do là 1. 
b) Viết một đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 2 và hệ số tự do là 3. 
Hướng dẫn giải 
a) Ax 5 x4 3 x 1. 
b) By 2 y 3. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. Chỉ ra hệ số cao 
nhất của hệ số tự do của mỗi đa thức đó. 
 1 3
a) Pxxxx 53 2 4 xxxx 5 5 4 2 1 x . 
 2 2
 4 7
b) Qxx 54 xx 4 3 2 xxx 3 4 5 2 x 4 . 
 3 3
Câu 2: Xác định bậc và hệ số tự do, hệ số cao nhất của mỗi đa thức sau: 
a) Ax 4 xx4 3 2 x 2 5 x 11. b) Bx x32 xx 4 3 x 2 2019. 
 Trang 4 
Câu 3: Viết một đa thức một biến có ba hạng tử mà hệ số cao nhất là 6 và hệ số tự do là 8 . 
Câu 4: 
a) Viết một đa thức một biến có ba hạng tử mà hệ số cao nhất là 8 và hệ số tự do là 11. 
b) Viết một đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 6 và hệ số tự do là 2017. 
Dạng 3. Tính giá trị của đa thức 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Tính giá trị của đa thức: Qx x2 2 xx 1 
 tại x 1 
Bước 1. Thu gọn đa thức (nếu cần). 
 Ta có: Qx x2 2 xx 1 
 x2 x 1. 
 2
Bước 2. Thay giá trị của biến vào đa thức rồi Q 1 1 1 1 1 
thực hiện các phép tính. Vậy Q 1 1. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho đa thức: Pxx 45 x 3 2 x 5 6 xx 4 4 x 3 1. 
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của P x theo lũy thừa giảm dần của biến. 
b) Tính P 0 ; P 1 ; P 3 . 
Hướng dẫn giải 
a) Pxx 45 x 3 2 x 5 6 xx 4 4 x 3 1 
 xx4 4 5 xx 3 4 3 2 xx 6 5 1 
 x3 4 x 4 
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: Px x3 4 x 4. 
b) P 0 03 4.0 4 4. 
 P 1 13 4.1 4 1 4 4 1. 
 P 3 33 4. 3 4 27 12 4 43. 
Ví dụ 2. Cho đa thức Px 2 x4 x 2 3. 
 1 
a) Tính PP 0 ; ; P 1 . 
 2 
b) Chứng minh rằng: P a P a . 
Hướng dẫn giải 
 Trang 5 
a) P 0 2.04 0 2 3 3. 
 4 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 2 24 23
 P 2. 3 2. 3 3 . 
 2 2 2 16 4 8 4 8 8
 P 1 2. 14 1 2 3 2 1 3 4. 
b) Ta có: 
 P a 2. a4 a 2 3 2 a4 a 2 3 1 . 
 P a2. a4 a 2 3 2 a4 a 2 3 2 . 
Từ 1 và 2 ta có: P a P a . 
Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1. Cho đa thức Qx x3 2 x . 
a) Tính Q 0 ; Q 1 ; QQ 1 ; 2 . 
b) Chứng minh rằng Q a Q a với mọi a. 
Câu 2. Cho đa thức: Pxxxxxxx 53 2 4 2 5 2 6 4 2 3 2017 x 2 . 
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của P x theo lũy thừa giảm dần của biến. 
b) Chỉ ra bậc của P x . 
c) Viết các hệ số khác 0 của P x . Nêu rõ hệ số cao nhất và hệ số tự do. 
d) Tính P 0 ; P 1 ; P 1 . 
Câu 3. Cho đa thức: Pxxxxxxxx 83 3 2 7 6 4 6 4 5 5 3 18 3 xx 3 3 2 . 
a) Thu gọn P x . 
b) Tính giá trị của x để Px 0; Px 2 
Câu 4. Tính giá trị của đa thức: Px 1 xxxx2 4 6 8 ... x 100 tại x 1. 
ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức 
Câu 1. 
a) Pxxx 53 3 3x 2x 2 xx 5 4 6x 9 4x 3 
 xx5 5 3 xx 3 4 3 3 xxxx 6 2 2 4 9 
 x33 x 2 xx 2 4 9. 
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến Pxxx 4 32 x 2 3 x 9. 
 Trang 6 
b) Qxxx 7 62 xx 3 7 2 xx 4 6 2 x 5 2 x 10 xx 4 6 
 xx7 7 xxx 6 6 6 2 x 3 2 xx 4 4 2 xx 5 2 10 
 x62 xx 3 4 2 x 5 2 x 10 
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến Qx x62 xx 5 4 2 x 3 2 x 10. 
Câu 2. 
a) Px 2 xx5 2 7 x 1 3 x 5 2 xx 2 8 15 
 2xx5 3 5 xx 2 2 2 7 xx 8 1 15 
 x5 x 2 x 14. 
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến Px 14 xxx2 5 
b) Các hệ số khác 0 của P x là 14;1;1; 1. 
Câu 3. 
a) Px 4 xx2 5 3 15 xx 3 4 2 xxx 5 6 2 1. 
 4xx2 6 2 5 xx 3 3 2 xx 5 15 1 x 4 
 2xxx2 6 3 3 14 x 4 . 
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến 
 Pxx 46 x 3 2 x 2 3 x 14. 
 1
b) Qxxx 65 3 xxxx 2 5 4 2 5 4 2 1 x 3 . 
 2
 6 3 3 1 2 2 4 5
 x 5 xx xx 4 5 xx 2 1 
 2 
 7
 xx64 3 xxx 2 5 4 2 5 1. 
 2
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến 
 7
 Qxx 62 x 5 5 x 4 4 x 3 x 2 1. 
 2
Câu 4. 
a) Px 5 xxxxx4 5 3 3 3 7 3 5 9 xx 2 8 1. 
 5xxxx4 5 3 3 7 3 3 xx 8 5 1 9 x 2 
 5xxx4 5 4 3 11 x 4 9 x 2 
 4 11xx 92 4 x 3 5 xx 4 5 . 
b) Các hệ số khác 0 của P x là 4; 11;9; 4;5; 1. 
Dạng 2. Xác định bậc, hệ số của đa thức 
 Trang 7 
Câu 1. 
 1 3
a) Pxxxx 53 2 4 xxxx 5 5 4 2 1 x . 
 2 2
 5 5 2 2 4 4 1 3 
 xx 3 xxxx 5 xx 1 
 2 2 
 2x2 6 x 4 x 1. 
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến Px 6 x4 2 xx 2 1. 
- Hệ số cao nhất của đa thức là 6. 
- Hệ số tự do là 1. 
 4 7
b) Qxx 54 x 4 3 x 2 xxx 3 4 5 2 x 4 
 3 3
 5 5 4 4 4 4 7 
 xx 4 xxx 3 2 3 xx 2 
 3 3 
 3x4 5 x 1. 
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến Px 3 x4 5 x 1. 
- Hệ số cao nhất của P x là 3. 
- Hệ số tự do của P x là 1 
Câu 2. 
a) Ax 4 xx4 3 2 x 2 5 x 11. 
- Bậc của đa thức là bậc 4. 
- Hệ số tự do là 11. 
- Hệ số cao nhất là 4. 
b) Bx x32 xx 4 3 x 2 2019. 
- Bậc của đa thức là bậc 4. 
- Hệ số tự do là 2019. 
- Hệ số cao nhất là 2. 
Câu 3. Px 6 x2 7 x 8 
(Học sinh có thể biết đa thức khác sao cho vẫn đáp ứng được yêu cầu có ba hạng tử và hệ số cao nhất phải 
bằng 6, hệ số tự do là 8 ). 
Câu 4. 
a) Ax 8 x5 2 x 2 11. 
b) Bx 6 x2 2017. 
Dạng 3. Tính giá trị của đa thức 
 Trang 8 
Câu 1. 
a) Q 0 03 2.0 0. 
 Q 1 13 2. 1 1 2 1. 
 Q 1 13 2.1 1. 
 Q 2 23 2.2 8 4 4. 
b) Ta có: 
 Q a a32. a a 3 2 a . 
 Q a a3 2. a a3 2 a a 3 2 a Q a . 
Vậy Q a Q a với mọi a . 
Câu 2. 
a) Pxxxxxxx 53 2 4 2 5 2 6 4 2 3 2017 x 2 
 5xx3 2 3 2 xx 4 6 4 xxx 2 5 2 2 2017 
 3x3 4 x 4 3 x 2 2017. 
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến Px 4 x4 3 x 3 3 x 2 2017. 
b) Bậc của P x là bậc 4. 
c) Các hệ số khác 0 của P x là 4;3;3;2017. 
- Hệ số cao nhất là 4 
- Hệ số tự do là 2017. 
d) P 0 4.04 3.0 3 3.0 2 2017 2017. 
 P 1 4.14 3.1 3 3.1 2 2017 4.1 3.1 3.1 2017 2019. 
 P 1 4. 14 3. 1 3 3. 1 2 2017 4.1 3. 1 3.1 2017 2013. 
Câu 3. 
a) Pxxxxxxxx 83 3 2 7 6 4 6 4 5 5 3 18 3 xx 3 3 2 . 
 8xxx3 5 3 3 3 3 xx 2 3 2 7 xxxx 5 6 4 6 4 18 
 2x 18. 
b) 
 P x 0 P x 2 
 2x 18 0 2x 18 2 
 2x 18 2x 20 
 Trang 9 
 18 20
 x x 
 2 2
 x 9 x 10 
Vậy P x 0 khi x 9 
 P x 2 khi x 10 
Câu 4. 
Ta có P 1 1 12 1 4 1 6 1 8 ... 1 100 
 1 1 1 1 1 ... 1 (có 51 số hạng 1) 
 51. 
 Trang 10