Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 3: Nhân, chia số hữu tỉ

 BÀI 3: NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm vững quy tắc nhân, chia hai số hữu tỉ. 
 + Nắm vững các tính chất của phép nhân số hữu tỉ. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng quy tắc nhân, chia số hữu tỉ để thực hiện phép tính, tính giá trị biểu thức. 
 + Vận dụng các tính chất của phép nhân số hữu tỉ để tính nhanh. 
 + Viết được một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Nhân, chia hai số hữu tỉ 
Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết a c a c ac
 Với x ; y , với b, d 0 ta có: xy.. . 
chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, b d b d bd
 a c a d ad
chia phân số. Với y 0 , ta có: x::. y . 
 bd bc bc
Phép nhân số hữu tỉ cũng có các tính chất như phép Với abc,,  , ta có: 
nhân phân số: giao hoán, kết hợp, nhân với 1 và + Tính chất giao hoán: a.. b b a 
tính chất phân phối của phép nhân đối với phép + Tính chất kết hợp: abc.... abc 
cộng. 
 + Tính chất nhân với 1: a.1 1. a a 
 + Tính chất phân phối: ab... c ab ac 
Mọi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo 1
 Với a , a 0 . Số nghịch đảo của a là . 
  a
 1 1
 Ví dụ: Nghịch đảo của là 2 
 2 1
 2
Tỉ số 
Thương của phép chia x cho y (với 0 ) gọi là tỉ 3
 y Tỉ số của 3 và 5 là 
 5
 x
số của hai số x và y, kí hiệu là hoặc x: y . 
 y
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
 Giao hoán: 
 a.. b b a 
 Kết hợp: 
 abc.... abc 
 Nhân hai số ac ac. Tính 
 x.. y 
 hữu tỉ chất 
 b d b. d Nhân với 1: 
 a.1 1. a a 
 Nhân hai số a c a d ad
 xy: : . y 0 Phân phối: 
 hữu tỉ bd bc bc ab... c ab ac
 Tỉ số Thương của phép chia x cho y 
 x
 (y khác 0). Kí hiệu: x: y hay . 
 y
 Trang 2 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Nhân, chia hai số hữu tỉ 
 Phương pháp giải 
Để nhân, chia hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau: 1
 Ví dụ: Tính 3 .2,5 . 
 5
Bước 1. Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số. Hướng dẫn giải 
Bước 2. Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số. 1 16 25 16.25 400
 3 .2,5 . 8 
Bước 3. Rút gọn kết quả (nếu có thể). 5 5 10 5.10 50
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính: 
 3 2 8 3 15 21 15 5
a) . ; b) . ; c) : ; d) :. 
 2 25 5 4 4 10 7 14
Hướng dẫn giải 
 3 23. 2 3
a). 
 2 25 2.25 25
 8 3 8 . 3 2.4.3 2.3 6
b). 
 5 4 5.4 5.4 5 5 
 15 21 15 10 15 . 10 5.3.5.2 5.5 25
c):. 
 4 10 4 21 4.21 4.3.7 2.7 14
 15 5 15 14 15 .14 3 .5.2.7
d) : . 3 .2 6
 7 14 7 5 7.5 7.5
Ví dụ 2. Thực hiện phép tính: 
 4 2 1 3 2 4 
a) 3,5. ; b) 1. 2 ; c) 2,5: ; d) 8 : 2 
 21 3 3 4 5 5 
Hướng dẫn giải 
 4 7 4 7. 4 4 2
a) 3,5. . 
 21 2 21 2.21 6 3
 2 1 2 7 5 7 35
b)1 . 2 1 . . 
 3 3 3 3 3 3 9
 3 5 3 5 4 20 10
c) 2,5 : : . 
 4 2 4 2 3 6 3
 2 4 42 14 42 5
d) 8 : 2 : . 3
 5 5 5 5 5 14
 Bài tập tự luyện dạng 1 
 1 2
Câu 1: Giá trị của . bằng: 
 3 5
 2 2 12 2
 A. B. C. D. 
 15 15 35 35
 2
Câu 2: Giá trị của 1. bằng: 
 3
 Trang 3 
 2 2 12 2
 A. 1 B. C. D. 
 3 3 3 3
 5 9
Câu 3: Giá trị của . bằng: 
 3 15
 1
 A. 1 B. C. 3. D. 1. 
 3
 5 1
Câu 4: Giá trị của : 2 bằng: 
 3 3
 5
 A. 1. B. 1 C. 3 D. 
 7
Câu 5: Tính: 
 7 5 4 2 3 35 4 2 
 A. . B. : C. . D. : 2 
 15 21 9 3 15 7 9 3 
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức 
 Phương pháp giải 
Để tính giá trị biểu thức, ta căn cứ vào thứ tự thực hiện Ví dụ: 
phép tính: trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau; nhân 3323 323 13 12 2
 ::::. 
chia trước, cộng trừ sau. 5 2 5 2 5 5 2 5 2 5 3 15
Ngoài ra ta có thể sử dụng các quy tắc phép tính cộng, 
trừ, nhân, chia số hữu tỉ kết hợp các tính chất của các 
phép tính cộng và nhân để tính hợp lí (nếu có thể). 
Chú ý dấu của kết quả và rút gọn. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Tính giá trị các biểu thức sau: 
 4 5 7 2 4 3 4
a) 0,25 . . 3 . b) .. 
 17 21 12 5 15 10 15
 3 3 1 3 2 3 3 1 3
c) 21 3 : d) : : . 
 4 8 6 4 5 7 5 4 7
Hướng dẫn giải 
 4 5 7 25 4 68 7 25.4. 68 . 7 100 . 17.4 . 7 1 1
a)0,25..3 . .. . 
 17 21 12 100 17 21 12 100.17.21.12 100.17.3.7.3.4 3.3 9
 2 4 3 4 4 2 3 4 7 4. 7 2.2. 7 2. 7 14
b).... 
 5 15 10 15 15 5 10 15 10 15.10 3.5.2.5 3.5.5 75
 3 3 1 15 5 15 24 5.3.4.6
c) 21 3 : 21 : 21 . 21 21 3.6 21 18 3
 4 8 6 4 24 4 5 4.5
 323313 32313 3
d) : : : 0 : 0
 457547 45547 7
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Bài tập cơ bản 
 Trang 4 
Câu 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 
 2 3 4 3 2
a) A . b) B 0,2 . 
 3 4 9 4 5
 11 33 3 1 7
c) C :. d) D 11 : 
 4 16 5 2 4
Câu 2: Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể): 
 5 7 11 1 15 38
a) . . . 30 b) .. 
 11 15 5 3 19 45
 5 3 13 3 2 9 3 3
c) .. d) 2.. : 
 9 11 18 11 15 17 32 17
 2 4 3 4
Câu 3: Giá trị của .. bằng: 
 5 3 10 3
 1 14 2 8
 A. B. C. D. 
 14 15 15 18
 2 4 3 4
Câu 4: Giá trị của : : bằng 
 3 3 4 3
 17 1 1 1
 A. B. C. D. 
 16 16 12 8
Bài tập nâng cao 
 7 2 1 7 1 5 
Câu 5: Tính A : : . 
 8 9 18 8 36 12 
 3 3 3 3
Câu 6: Tính nhanh Q 4 5 7 11 
 13 13 13 13
 4 5 7 11
Dạng 3: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ 
 Phương pháp giải 
Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu 9
 Ví dụ: Viết số hữu tỉ 1 dưới 
tỉ ta thực hiện các bước sau: 16
 dạng tích của hai số hữu tỉ có một 
 5
 thừa số là . 
 4
 Hướng dẫn giải 
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số. 9 25
 1 
Bước 2. Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số 16 16
 5.5
nguyên. 2.2.2.2
Bước 3. “Tách” ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên thỏa 5. 5 
mãn yêu cầu đề bài. 4.4
 5 5
 .
Bước 4. Lập tích hoặc thương của các phân số đó. 4 4
 Trang 5 
 Ví dụ mẫu 
 25
Ví dụ 1. Viết số hữu tỉ dưới các dạng sau: 
 16
 5
 a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là . 
 12
 4
 b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là . 
 5
Hướng dẫn giải 
 25 5.5 5.5.3 5.15 5 15
 a). 
 16 4.4 4.4.3 12.4 12 4
 25 25.4.5 4.25.5 4 125 4 64
 b) .: 
 16 16.4.5 5.16.4 5 64 5 125
 3
Ví dụ 2. Viết số hữu tỉ dưới các dạng sau: 
 35
 5
 a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là . 
 7
 2
 b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là . 
 5
Hướng dẫn giải 
 3 3 3.5 5 3
 a). 
 35 7.5 7.5.5 7 25
 3 3 3.2 2 3 2 14
 b) .: 
 35 5.7 5.7.2 5 14 5 3
 Bài tập tự luyện dạng 3 
 5
Viết số hữu tỉ dưới dạng sau: 
 21
 a) Tích của hai số hữu tỉ; 
 b) Thương của hai số hữu tỉ; 
 2
 c) Tích của hai số hữu tỉ trong đó có một số bằng ; 
 3
 3
 d) Thương của hai số hữu tỉ trong đó số bị chia bằng . 
 7
Dạng 4: Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước 
 Phương pháp giải 
Với bài toán tìm x, ta thường làm như sau: 5 5
 Ví dụ. Tìm x biết: : x 
 8 4
 Hướng dẫn giải 
Bước 1. Ta xác định vai trò và tính chất của x trong đẳng Bước 1. x đóng vai trò là số chia. 
thức hoặc điều kiện ở đề bài. 
Bước 2. Sử dụng các quy tắc và tính chất đã biết về phép Bước 2. 
 Trang 6 
tính số hữu tỉ để tìm x. 5 5 5 5 5 4 1
 ::.x x . 
Chú ý: Ta thường sử dụng quy tắc và tính chất sau để biến 8 4 8 4 8 5 2
 1
đổi tìm x. Vậy x 
 2
Quy tắc “chuyển vế” biến đổi số hạng tự do sang một vế, số 
hạng chứa x sang một vế khác. 
Sử dụng các tính chất các phép tính nhân, chia các số hữu tỉ. 
Sử dụng tính chất tích hai số bằng 0 thì một trong hai số đó 
bằng 0. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm x biết: 
 4 5 3 4 5 1
a) x b) : x 
 5 2 10 3 8 12
Hướng dẫn giải 
 4 5 3 4 5 1
a) x b) : x 
 5 2 10 3 8 12
 5 3 4 5 1 4
 x : x 
 2 10 5 8 12 3
 5 1 5 5
 x : x 
 2 2 8 4
 1 5 5 5
 x : x :
 2 2 8 4
 1 2 5 4
 x . x .
 2 5 8 5
 1 1
 x x 
 5 2
 1 1
Vậy x . Vậy x . 
 5 2
Ví dụ 2. Tìm x biết: 
 5 4 1 1 8 7 
a) 0,75 x . ; bx) . 2,5 : x 0 
 2 7 3 3 3 5 
Hướng dẫn giải 
 Trang 7 
 5 4 1 1 8 7 
a) 0,75 x . bx) . 2,5 : x 0
 2 7 3 3 3 5 
 5 1 4 1 8 7
 0,75x : x0 hoÆc 2,5 : x 0
 2 3 7 3 3 5
 5 7 1 8 1 8 8 1 8 3
 0,75x )x 0 xx : . 8 
 2 12 3 3 3 3 3 3 3 1
 7 5 7 7
 0,75x )2,5 :x 0 : x 2,5
 12 2 5 5
 37 7 7 5 7 2 14
 0,75x x : 2,5 : . 
 12 5 5 2 5 5 25
 37 14
 x : 0,75 Vậy x 8 hoặc x 
 12 25
 37 3
 x :
 12 4
 37 4
 x .
 12 3
 37
 x 
 9 
 37
Vậy x 
 9
 Bài tập tự luyện dạng 4 
Bài tập cơ bản 
Câu 1: Tìm x biết: 
 1 1 2 5 4
a) x 1 b) x 
 2 6 5 6 15
 2 7 5 2 2
c) : x d) x 2 x 1: 0,5. 
 3 4 6 3 3
Câu 2: Tìm x biết: 
 2 5 7 1 1 1 3
a) : x b) x 2 3 x 
 3 8 12 2 2 2 4
Bài tập nâng cao 
Câu 3: Tìm x biết: 
 2 3 1 3 4 
a) x x 0 b) 2x x 0 
 7 4 5 5 7 
 5 3 5 
c) x3,25 x 0 
 4 5 2 
Dạng 5: Tìm điều kiện của x để biểu thức nhận giá trị nguyên 
 Phương pháp giải 
Tìm điều kiện của x để biểu thức nhận giá trị 2x 1
 Ví dụ: Với x 1 , tìm x để A nhận 
nguyên, ta thường làm như sau: x 1
 giá trị là số nguyên. 
 Hướng dẫn giải 
 Trang 8 
Bước 1. Tách phần nguyên. Bước 1. Tách phần nguyên. 
Tách tử theo mẫu sao cho A có dạng tổng của một 2x 12 x 1 3 3
 A 2 
số nguyên và một phân số có tử nguyên. x 1 x 1 x 1
Bước 2. Tìm x. Bước 2. Để A là số nguyên thì x 1 là ước của 3. 
 m Suy ra x 1 1;1; 3;3 
Vận dụng tính chất sau: A với m, n , n 0 
 n 
 x 1 3 1 1 3 
Để A nhận giá trị nguyên thì m n hay n ¦ m . 
 x 4 2 0 2 
Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận. Bước 3. 
 Các giá trị của x đều nguyên và khác 1 . 
 Vậy x 0; 2; 4;2 thì A nhận giá trị nguyên. 
 Ví dụ mẫu 
 2
Ví dụ 1. Tìm x nguyên để biểu thức P nhận giá trị nguyên. 
 2x 1
Hướng dẫn giải 
P nhận giá trị nguyên khi 2x 1 là ước của 2. Suy ra 2x 1 2; 1;1;2 
Ta có bảng sau: 
 2x 1 2 1 1 2 
 1 3
 x 0 1 
 2 2
Vì x nguyên nên x 0;1 . 
Vậy x 0;1 thì P nhận giá trị nguyên. 
 3x 2
Ví dụ 2. Cho A . Tìm x để A là số nguyên. 
 x 3 
Hướng dẫn giải 
Điều kiện: x 3 . 
 3 x 3 11 11
 A 3 
 x 3 x 3
Để A là số nguyên thì x 3 là ước của 11. Ta có bảng sau: 
 x 3 11 1 1 11 
 x 8 2 4 14 
Các giá trị của x đều nguyên và thỏa mãn điều kiện. 
Vậy x 2;4; 8;14 thì A nhận giá trị nguyên. 
 Bài tập tự luyện dạng 5 
Câu 1: Với x và x 1 . Tìm điều kiện để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên: 
 x 1 x2 2 x 1
 a) A b) B 
 x 1 x 1
 Trang 9 
 3x 1 2x2 x 1
Câu 2: Cho A và B 
 x 1 x 2
 a) Tìm x để A; B là số nguyên. 
 b) Tìm x để A và B cùng là số nguyên. 
 ĐÁP ÁN 
 Dạng 1. Nhân, chia hai số hữu tỉ 
Câu 1: Chọn A. 
 1 2 1 . 2 2
Ta có: . . 
 3 5 3.5 15
Câu 2: Chọn B. 
 2 1 . 2 2
Ta có: 1. . 
 3 3 3
Câu 3: Chọn A. 
 5 9 5 .9 5.3.3
Ta có: . 1. 
 3 15 3.15 3.3.5
Câu 4: Chọn D. 
 5 1 5 7 5 3 5
Ta có: : 2 : . 
 3 3 3 3 3 7 7
Câu 5: 
 7 5 7.5 7.5 1
a). 
 15 21 15. 21 3.5. 7 .3 9
 4 2 4 3 4.3 2
b):. 
 9 3 9 2 9.2 3
 3 35 3 5.7
c) . . 1
 15 7 3.5 7
 4 2 4 8 4 3 4. 3 4.3 1
d) : 2 : . 
 9 3 9 3 9 8 9.8 3.3.4.2 6
 Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức 
Bài tập cơ bản 
Câu 1: 
 2 3 4 23. 4 2 3. 4 2 1 1
a). A 
 3 4 9 3 4.9 3 4.3.3 3 3 3
 3 2 11 211. 2 11 11
b) B 0,2 . . 
 4 5 20 5 2.10.5 10.5 50
 11 33 3 11 16 311.16. 3 11.4.4. 3 4
c):... C 
 4 16 5 4 33 5 4.33.5 4.3.11.5 5
 1 7 3 4 5 4 5.4 10
d) D 1 1 : 1 .. 
 2 4 2 7 2 7 2. 7 7
Câu 2: 
 Trang 10