Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi hình học không gian Lớp 11 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
 CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
 HèNH HỌC KHễNG GIAN LỚP 11
 TỔ 24
Cõu 1. Trong khụng gian cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O ; M là điểm 
 di động trờn cạnh SC , M khụng trựng với S và C . Gọi là mặt phẳng chứa AM và song 
 song với BD . Tỡm cỏc giao điểm H và K của với SB và SD . Tớnh giỏ trị biểu thức 
 SB SD SC
 T . 
 SH SK SM
Cõu 2. Trong lăng trụ ABC.A1B1C1 cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a . Cạnh AA1 vuụng gúc với mặt 
 phẳng (ABC) và AA1 = a . Gọi j là gúc giữa hai mặt phẳng (ABC1) và (BCA1) . Tớnh sinj . 
Cõu 3. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 1. Cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt 
 phẳng ABCD và cú độ dài SA 1.
 a) Xỏc định thiết diện khi cắt hỡnh chúp S.ABCD bởi mặt phẳng đi qua A và vuụng gúc với SC .
 b) Tớnh diện tớch thiết diện ở cõu a).
Cõu 4. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA SB SC 1 và ãASB ãASC Cã SB 30. Mặt phẳng ( ) thay 
 đổi luụn đi qua A và cắt cỏc cạnh SB, SC thứ tự ở M , N . Khi chu vi tam giỏc AMN nhỏ nhất, 
 hóy tớnh diện tớch tam giỏc AMN .
Cõu 5. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D . Trờn cạnh AB lấy điểm M khỏc hai điểm A và B . Gọi 
 P là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ACD .
 a) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp đó cho với mặt phẳng P .
 b) Giả sử AB 1, AM k , 0 k 1 . Tớnh diện tớch thiết diện núi trờn theo k . Xỏc định vị trớ 
 của điểm M để thiết diện đú cú diện tớch lớn nhất.
Cõu 6. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a và cú cỏc cạnh bờn đều bằng a . 
  1  
 Gọi M là điểm nằm trờn SB sao cho SM SB .
 3
 a. Gọi P là mặt phẳng chứa CM và song song với SA . Tớnh theo a diện tớch thiết diện tạo bởi 
 mặt phẳng P và hỡnh chúp S.ABCD .
 b. E là một điểm thay đổi trờn cạnh AC . Xỏc định vị trớ E để ME vuụng gúc với CD . 
Cõu 7. Cho hỡnh chúp S.ABCD . Tứ giỏc đỏy cú AB và CD cắt nhau tại E ; AD và BC cắt nhau tại F
 ; AC và BD cắt nhau tại G . P là mặt phẳng cắt SA , SB , SC lần lượt tại A , B , C .
 a) Tỡm giao điểm D của SD với P .
 b) Tỡm điều kiện của P để A B C D là hỡnh bỡnh hành.
 SA SC SB SD 
 c) Khi A B C D là hỡnh bỡnh hành, chứng minh rằng: . 
 SA SC SB SD
Cõu 8. Cho hỡnh hộp ABCD.A B C D cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a , cú gúc Bã AC 60 . Cạnh bờn
 AA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và AA a .
 a) Xỏc định thiết diện của hỡnh hộp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) qua A và vuụng gúc với D C .
 b) Tớnh diện tớch thiết diện.
 Trang 1 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
Cõu 9. Cho hỡnh chúp S.ABC. Từ một điểm M thuộc miền trong tam giỏc ABC, vẽ tia Mx song song với 
 SA, tia My song song với SB, tia Mz song song với SC. Cỏc tia này cắt cỏc mặt bờn của hỡnh 
 chúp S.ABC lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng:
 a) Đường thẳng SM luụn đi qua trọng tõm G của tam giỏc PQR.
 SG
 b) Tỷ số khụng phụ thuộc vào cỏch chọn điểm M. 
 GM
Cõu 10. Cho tứ diện ABCD cú AB CD a , BC AD b , AC BD c . Gọi E, F lần lượt là trung 
 điểm của AB và CD . Hai điểm M , N lần lượt trờn cỏc cạnh BC và AD sao cho MB NA.
 a. Chứng minh rằng EF cắt MN tại trung điểm của MN .
 b
 b. Tớnh diện tớch tứ giỏc EMFN biết BM . 
 3
Cõu 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SD = x, tất cả cỏc cạnh cũn lại đều bằng a.
 a. Chứng minh rằng AC vuụng gúc với mặt phẳng SBD và SB vuụng gúc với SD.
 b. Xỏc định x để SD tạo với mặt phẳng ABCD một gúc 30o . 
Cõu 12. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Trờn cạnh SC lấy điểm M sao cho 
 SM
 k . Một mặt phẳng thay đổi nhưng luụn chứa AM lần lượt cắt cạnh SB, SD tại cỏc 
 SC
 điểm P , Q khỏc S .
 1 4 SP SQ 3
 a. Cho k , chứng minh rằng .
 2 3 SB SD 2
 SP SQ
 b. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tớch . theo k .
 SB SD
Cõu 13. Cho tứ diện OABC cú OA, OB, OC đụi một vuụng gúc. Gọi , ,  lần lượt là gúc giữa mặt 
 phẳng ABC và cỏc mặt OBC , OAC , OAB .
 a. Chứng minh rằng tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn.
 b. Chứng minh rằng cos cos  cos 3 .
 2a 3
Cõu 14. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh đỏy bằng a , cạnh bờn bằng và O là tõm đỏy. 
 3
 Mặt phẳng P thay đổi chứa SO và cắt cỏc đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại cỏc điểm M , N (
 M , N khỏc A ).
 1 1 3
 a. Chứng minh rằng .
 AM AN a
 b. Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng AM , AN theo a để gúc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng 
 P cú số đo lớn nhất.
Cõu 15. Cho hỡnh chúp S.ABDC cú đỏy ABCD là hỡnh thang BC//AD , BC 2a, AD a , AB b . Mặt 
 bờn SAD là tram giỏc đều. Mặt phẳng đi qua điểm M trờn cạnh AB và song song với cỏc 
 cạnh SA, BC cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P,Q . Đặt AM x 0 x b . Tớnh giỏ trị lớn nhất 
 của diện tớch tạo bởi và hỡnh chúp S.ABDC .
 Trang 2 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
Cõu 16. Cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi A là điểm trờn SA sao cho 
  1  
 A A A S. Mặt phẳng qua A cắt cỏc cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B ,C , D . Tớnh giỏ trị 
 2
 SB SD SC
 của biểu thức T .
 SB SD SC 
Cõu 17. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cú độ dài mỗi cạnh bằng a . Gọi M , N, P lần lượt là trung 
 điểm của cỏc đoạn thẳng AD , BB , C D . Xỏc định thiết diện cắt bởi mặt phẳng MNP với 
 hỡnh lập phương ABCD.A B C D . Tớnh theo a diện tớch thiết diện đú.
Cõu 18. Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh thang cõn (AD / /BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a . Mặt 
 bờn SBC là tam giỏc đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . SD vuụng gúc với AC .
 a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SBC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Tớnh độ dài SD .
 b) Mặt phẳng (a) qua M thuộc đoạn OD và song song với SD, AC. Xỏc định thiết diện của hỡnh 
 chúp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (a) biết MD = x . Tỡm x để diện tớch thiết diện lớn nhất.
Cõu 19. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang AD / /BC , AD 2a , AB BC CD a , 
    
 BàAD 600 , SA vuụng gúc đỏy và SA a 3 . M và I là hai điểm thỏa món 3MB MS O , 
    
 4IS 3ID O. Mặt phẳng AMI cắt SC tại N .
 a) Chứng minh đường thẳng SD vuụng gúc mặt phẳng AMI 
 b) Chứng minh rằng ANàI 900 , AMả I 900
 c) Tớnh diện tớch của thiết diện tạo bởi mặt phẳng AMI với hỡnh chúp S.ABCD
Cõu 20. Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tõm BCD , G là trung điểm của AG . Mặt phẳng đi 
 AB AC AD
 qua G cắt cỏc cạnh AB, AC, AD lần lượt tại B ,C , D . Tớnh .
 AB AC AD 
Cõu 21. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trọng tõm cỏc tam giỏc ABC, ACD, ABD. M là điểm 
 thuộc miền trong của tam giỏc BCD. Kẻ qua M đường thẳng d song song với AB.
 a. Chứng minh rằng (EFG) // (BCD).
 b. Tớnh diện tớch của tam giỏc EFG theo diện tớch của tam giỏc BCD.
 c. Xỏc định giao điểm B của đường thẳng d và mặt phẳng (ACD).
 d. Kẻ qua M cỏc đường thẳng lần lượt song song với AC và AD, cắt cỏc mặt phẳng (ABD), (ABC) 
 MB MC MD 
 theo thứ tự tại C , D . Chứng minh rằng 1.
 AB AC AD
 AB AC AD
 e. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức T .
 MB MC MD 
Cõu 22. Cho hỡnh hộp ABCD.A B C D cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau. Điểm M di động trờn cạnh AB , 
 điểm N di động trờn cạnh A D sao cho A N 2AM . Gọi ( ) là mặt phẳng chứa MN và song 
 song với AC . Dựng thiết diện của hỡnh hộp bởi ( ) và chứng minh rằng ( ) luụn chứa một 
 đường thẳng cố định. 
Cõu 23. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng ( + )2+( + )2 > (AC + BD)2.
Cõu 24. Cho lăng trụ ABCD.A B C D cú đỏy là hỡnh thoi cạnh a , Bã AD 120 . Hỡnh chiếu của B lờn 
 mặt phẳng ABCD là trung điểm H của đoạn thẳng CD và tam giỏc ABB là tam giỏc vuụng 
 cõn.
 a. Tớnh độ dài đoạn thẳng A D .
 b. Tớnh cos với là gúc giữa hai đường thẳng BH và AC .
 Trang 3 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
Cõu 25. Cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB a 3 , BC a và 
 SA SB SC SD 2a . Gọi K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn AC và H là hỡnh chiếu 
 vuụng gúc của K trờn SA .
 a. Tớnh độ dài đoạn HK theo a .
 b. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HK và SO . Mặt phẳng di động, luụn đi qua I 
 và cắt cỏc đoạn thẳng SA , SB , SC , SD lần lượt tại A , B , C và D . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
 biểu thức P SA .SB .SC .SD .
Cõu 26. Cho tứ diện đều ABCD cú đường cao AH .Mặt phẳng (P) chứa AH cắt ba cạnh BC, CD, BD
 lần lượt tại M , N, P. Gọi , ,  là cỏc gúc hợp bởi AM , AN, AP với mặt phẳng (BCD) . 
 Chứng minh rằng tan2 tan2  tan2  12 .
Cõu 27. Cho hỡnh hộp ABCD.A B C D . Gọi G là trọng tõm BC D .
 a. Xỏc định thiết diện của hỡnh hộp ABCD.A B C D khi cắt bởi mặt phẳng ABG . Thiết diện là 
 hỡnh gỡ?
 b. Hai điểm M , N lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AD , A C sao cho MN song song với mặt 
 1 CN
 phẳng BC D , biết AM AD . Tớnh tỉ số .
 4 CA 
Cõu 28. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh 2a . H là trung điểm AB , 
 SH  ABC , SH x . Gọi M là hỡnh chiếu vuụng gúc của H lờn đường thẳng AC và N là 
 điểm thỏa món MH HN . 
 a 3
 a. Khi x chứng minh rằng SN  SAC .
 2
 b. Tỡm x theo để gúc giữa đường thẳng gúc giữa SB và mặt phẳng SAC và bằng 450 .
Cõu 29. Trong khụng gian cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a , SA SB SC a . 
 Đặt SD x , (0 x a 3) .
 a. Tớnh gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD , biết rằng x a.
 b. Tỡm x theo a để tớch AC.SD đạt giỏ trị lớn nhất.
Cõu 30. Cho tứ diện S.ABC cú SA SB SC 1. Mặt phẳng thay đổi luụn đi qua trọng tõm G của 
 tứ diện và cắt cỏc cạnh SA, SB, SC lần lượt tại cỏc điểm A , B ,C . Chứng minh rằng biểu thức 
 1 1 1
 T cú giỏ trị khụng đổi
 SA SB SC 
Cõu 31. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Một điểm M di động trờn cạnh đỏy 
 BC ( M khỏc B , C ). Mặt phẳng đi qua M đồng thời song song với hai đường thẳng SB 
 và AC . Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD cắt bởi và tỡm vị trớ của điểm M để 
 thiết diện đú cú diện tớch lớn nhất.
Cõu 32. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD cạnh a . Cạnh SA a và vuụng gúc với 
 ABCD .
 a) Chứng minh rằng cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là cỏc tam giỏc vuụng.
 b) Gọi M là điểm di động trờn đoạn BC và BM x , K là hỡnh chiếu của S trờn DM . Tớnh độ 
 dài đoạn SK theo a và x . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của đoạn SK .
 a 5
Cõu 33. Cho tứ diện ABCD cú ABC đều cạnh bằng a và tam giỏc BCD cõn tại D với CD .
 2
 a. Chứng minh rằng AD  BC .
 Trang 4 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
 b. Gọi G là trọng tõm BCD . Tớnh cosin gúc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết gúc giữa 
 hai mặt phẳng ABC và BCD bằng 30 . 
 1
Cõu 34. Cho hỡnh hộp ABCDA B C D . Gọi M là một điểm trờn cạnh AD sao cho AM AD , N là 
 4
 một điểm trờn đuờng thẳng BD , P là điểm trờn đường thẳng CC sao cho 3 điểm M , N, P 
 MN
 thẳng hàng. Tớnh tỉ số .
 MP
Cõu 35. Trong khụng gian cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy là hỡnh thoi cạnh a, gúc BAD 600 , 
 SA SB SC b và SD 2b . Gọi M là trung điểm của BC, điểm P trờn SD sao cho SD 4SP . 
 Mặt phẳng qua M, P và song song với AC. Tớnh theo a, b diện tớch thiết diện tạo bởi mặt 
 phẳng và hỡnh chúp S.ABCD?
Cõu 36. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AD 2a, AB a . Gọi O là giao điểm của AC 
 a
 với BD, SO vuụng gúc với mặt phẳng ABCD và SO . Gọi M là trung điểm của 
 2
 BC .
 a) Chứng minh rằng SM  SAD .
 b) Gọi là gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD . Tớnh sin 
Cõu 37. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành tõm O . Một mặt phẳng khụng qua S cắt cỏc 
     SB
 cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M , N, P, Q thỏa món SA 2SM , SC 3SP . Tớnh tỉ số 
 SN
 2 2
 SB SD 
 khi biểu thức T 4 đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 SN SQ 
Cõu 38. Cho hỡnh lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' . Một mặt phẳng ( ) thay đổi và luụn song song với đỏy, cắt 
 cỏc đoạn AB ', BC ',CD ', DA' lần lượt tại M , N, P,Q . Hóy xỏc định vị trớ của mặt phẳng (α) sao 
 cho diện tớch MNPQ nhỏ nhất
Cõu 39. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật tõm O , cạnh AB a , AD 2a . Gọi M , N 
 lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh SA , BC . Biết SA SB SC SD và gúc giữa MN và mặt 
 phẳng ABCD là 60 .
 a. Tớnh diện tớch tam giỏc SBM theo a .
 b. Tớnh sin của gúc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD .
   
Cõu 40. Cho hỡnh lõp phương ABCD.A B C D cạnh a . Lấy hai điểm M , N sao cho AM k AC , 
   
 CN tCD (với t.k 0 ). Tớnh độ dài MN theo a khi MN song song với B D .
Cõu 41. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cú tõm O và độ dài cạnh bằng 1. Gọi M , P là hai điểm 
  3   1  
 sao cho AM AA và CP CC . Mặt phẳng thay đổi, đi qua M và P đồng thời cắt hai 
 4 4
 cạnh BB , DD lần lượt tại N và Q . Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của chu vi tứ giỏc 
 MNPQ .
Cõu 42. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang cõn AB // CD nội tiếp đường trũn tõm O 
 và Sã BA Sã CA 90 . Gọi M là trung điểm của cạnh SA .
 a. Chứng minh rằng MO  ABCD .
 BC
 b. Gọi là gúc giữa hai đường thẳng AB và SC . Chứng minh rằng cos .
 SA
 Trang 5 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
Cõu 43 . Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B . Biết độ dài cỏc 
 cạnh AB a , AC 2a , CC 2a . Gọi M , I lần lượt là trung điểm của A B và BC . Tớnh gúc 
 giữa hai đường thẳng IM và AC . 
Cõu 44. Cho hỡnh chúp S.ABCD , đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , biết SA vuụng gúc với mặt phẳng 
 ABCD . Biết gúc giữa hai mặt phẳng SBC và SAD bằng 45. Gọi E, M lần lượt là trung 
 điểm của SC và SA . Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng DM và BE .
Cõu 45. Cho hỡnh chúp S.ABC, M là một điểm nằm trong tam giỏc ABC. Cỏc đường thẳng qua M song 
 song với SA, SB, SC cắt cỏc mặt phẳng (SBC), (SAC), (SAB) lần lượt tại A’, B’, C’.
 MA' S
 a) Chứng minh rằng MBC .
 SA S ABC
 MA' MB ' MC '
 b) Chứng minh rằng 1.
 SA SB SC
 MA' MB ' MC '
 c) Tỡm vị trớ của M trong tam giỏc ABC để . . đạt giỏ trị lớn nhất.
 SA SB SC
Cõu 46. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Cỏc điểm H , K lần lượt là trung điểm của AD , 
 C D . Điểm M thuộc đoạn BC , N thuộc đoạn AB . Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng 
 ABCD một gúc 45.
 a. Chứng minh rằng AK  BH .
 b. Chứng minh rằng MN 2 2 a .
Cõu 47. Cho đoạn AB vuụng gúc với mặt phẳng (P) tại điểm B . Trong (P) lấy điểm H thỏa món 
 BH BA a (a 0) . Vẽ đường thẳng d nằm trong (P) và qua H , d vuụng gúc với BH . Hai 
 điểm M , N di động trờn d và thỏa món gúc MAN 90o . Đường thẳng qua A và vuụng gúc với 
 mặt phẳng (AMN) cắt (P) tại điểm K. 
 a) Chứng minh rằng B là trực tõm của KMN .
 b) Gọi ,  lần lượt là số đo cỏc gúc tạo bởi BM với mặt phẳng (AKN) , BN với mặt phẳng 
 1
 (AKM ) . Chứng minh rằng cos2 cos2  và tỡm giỏ trị nhỏ nhất của  .
 2
Cõu 48. Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A B C . Gọi G , G , I lần lượt là trọng tõm cỏc tam giỏc ABC , 
 A B C và ABB . Gọi E , F theo thứ tự là trung điểm của BB và CC . Một đường thẳng d đi 
 qua G cắt AB tại H và cắt EF tại K .
 a. Chứng minh rằng (A BG ) // (AGC ) .
 b. Chứng minh rằng (IG ) // (BCC B ) .
 c. Xỏc định cỏc điểm H , K .
 d. Giả sử tất cả cỏc cạnh của hỡnh lăng trụ bằng a và cỏc mặt bờn là cỏc hỡnh vuụng. Tớnh độ dài 
 đoạn GH theo a .
Cõu 49. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cú cạnh bằng 1. Lấy điểm I thuộc cạnh AB , điểm E 
 thuộc cạnh DD sao cho AI D E x 0 x 1 .
 a. Chứng minh rằng IE  A C .
 b. Tỡm x để gúc giữa hai đường thẳng AC và DI bằng 600 .
 c. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, A D . Xỏc định giao điểm K của mặt 
 B K
 phẳng CMN với đường thẳng B C và tớnh tỉ số .
 B C 
Cõu 50. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, gúc Bã AD 120 , SA vuụng gúc với 
 đỏy, StạoC với đỏy một gúc .6 Tớnh00 cosin của gúc giữa hai mặt phẳng SA vàD SC .D 
 Trang 6 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
 CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
 HèNH HỌC KHễNG GIAN LỚP 11
 TỔ 24
Cõu 1. Trong khụng gian cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O ; M là điểm 
 di động trờn cạnh SC , M khụng trựng với S và C . Gọi là mặt phẳng chứa AM và song 
 song với BD . Tỡm cỏc giao điểm H và K của với SB và SD . Tớnh giỏ trị biểu thức 
 SB SD SC
 T . 
 SH SK SM
 Lời giải
 FB tỏc giả: NguyễnPhan Bảo Khỏnh Nguyờn
 GV phản biện: 
 S
 M
 K
 E
 I H
 D
 C
 O
 A B
 +) Trong SAC , gọi I SO  AM , suy ra I SBD  .
 BD / /( )
 +) Ta cú: (SBD)  BD (SBD)  ( ) Ix / /BD .
 I (SBD)  ( )
 +) Trong (SBD) , gọi H Ix  SB , K Ix  SD . 
 +) Khi đú : H và K là giao điểm của với SB và SD . 
 S
 M
 I E
 A O C
 SB SD SO SB SD SO
 +) Trong (SBD) , ta cú : HK / /BD nờn 2 , (1)
 SH SK SI SH SK SI
 +) Trong SAC , dựng OE / / AM , E MC . Khi đú E là trung điểm của CM EM EC
 SO SE SC EC SC EC SC EM
 +) Ta cú: 
 SI SM SM SM SM SM SM
 SO SC OI SC SO SI SC SO
 1
 SI SM SI SM SI SM SI
 Trang 7 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
 SO SC
 2 1 (2)
 SI SM
 SB SD SC
 +) Thay (2) vào (1) ta được 1.
 SH SK SM
 SB SD SC
 Vậy : T 1.
 SH SK SM
Cõu 2. Trong lăng trụ ABC.A1B1C1 cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a . Cạnh AA1 vuụng gúc với mặt 
 phẳng (ABC) và AA1 = a . Gọi j là gúc giữa hai mặt phẳng (ABC1) và (BCA1) . Tớnh sinj . 
 Lời giải
 FB tỏc giả: Nguyễn Quang Hoàng 
 GV phản biện: NguyễnPhan Bảo Khỏnh Nguyờn - Tuan Anh
 B1 C1
 A1
 A1
 K
 O
 O
 H
 H
 B C
 M
 A B I C
 Phần dựng: (tớnh gúc giữa hai mặt phẳng dựa vào khoảng cỏch.)
 Gọi O = AC1 ầ A1C , khi đú (ABC1)ầ(BCA1)= BO. 
 Trong tam giỏc A1BC kẻ CH ^ BO .
 Gọi M là trung điểm của AB , trong tam giỏc C1CM kẻ CK ^ C1M , khi đú 
 CK = d (C;(ABC1)) .
 CK
 Do đú sinj = sin((ABC ),(BCA ))= .
 1 1 CH
 Phần tớnh toỏn:
 Trong tam giỏc BCA1 ta cú: A1B = A1C = a 2; BC = a
 Áp dụng cụng thức đường trung tuyến ta cú: 
 2 2 2 2 2 2
 2(BA1 + BC )- A1C 2(2a + a )- 2a
 BO2 = = = a2 ị BO = a. 
 4 4
 Trong tam giỏc BCA1 kẻ A1I vuụng gúc với BC tại I , ta cú: 
 a2 a 7
 A I = A B2 - BI 2 = 2a2 - = .
 1 1 4 2
 1 1 1 1 1 a 7 a2 7
 Ta cú: S = S = . .A I.BC = . . .a = .
 DBOC 2 DA1BC 2 2 1 2 2 2 8
 a2 7
 2.
 1 2S a 7
 Mặt khỏc: S = CH.BO ị CH = DBOC = 8 = .
 DBOC 2 CH a 4
 Trang 8 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
 a 3
 Trong tam giỏc C CM ta cú CC = a;CM = nờn 
 1 1 2
 2
 3a 2
 2 2 .a
 CM .CC a 21
 CK = 1 = 4 = . 
 CM 2 + CC 2 3a2 7
 1 + a2
 4
 a 21
 CK 4 3
 Vậy sinj = = 7 = . 
 CH a 7 7
 4
Cõu 3. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 1. Cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt 
 phẳng ABCD và cú độ dài SA 1.
 a) Xỏc định thiết diện khi cắt hỡnh chúp S.ABCD bởi mặt phẳng đi qua A và vuụng gúc với SC .
 b) Tớnh diện tớch thiết diện ở cõu a).
 Lời giải
 FB tỏc giả: Tuan Anh
 GV phản biện: Nguyễn Quang Hoàng – Nguyễn Duy Tõn
 a) Trong mặt phẳng SAC kẻ AH  SC H .
 Gọi M , N lần lượt là hỡnh chiếu của A lờn hai cạnh SB, SC M , N lần lượt là trung điểm của 
 SB, SC (vỡ SAB, SAC vuụng cõn tại S ). 
 BC  SA
 Ta cú BC  SAB AM  BC 1 .
 BC  AB
 Mặt khỏc AM  SB 2 .
 Từ 1,2 ta cú AM  SBC AM  SC M .
 Tương tự ta chứng minh được AN  SC N .
 Vậy thiết diện tạo thành là tứ giỏc AMHN .
 BD  SA
 b) Ta cú BD  SAC . 
 BD  AC
 Trang 9 SP ĐỢT 11 - TỔ 24 CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN 
 Mặt khỏc MN / / BD nờn MN  SAC MN  AH .
 1 1 SA.AC BD 1 1. 2 2 3
 Khi đú SAMHN AH.MN . . . . .
 2 2 SA2 AC 2 2 2 1 2 2 6
 3
 Vậy diện tớch thiết diện cần tỡm là .
 6
Cõu 4. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA SB SC 1 và ãASB ãASC Cã SB 30. Mặt phẳng ( ) thay 
 đổi luụn đi qua A và cắt cỏc cạnh SB, SC thứ tự ở M , N . Khi chu vi tam giỏc AMN nhỏ nhất, 
 hóy tớnh diện tớch tam giỏc AMN .
 Lời giải
 FB tỏc giả: Nguyễn Duy Tõn
 GV phản biện: Tuan Anh, Hà Vĩ Đức
 Trải cỏc mặt bờn của hỡnh chúp trờn một mặt phẳng như hỡnh vẽ.
 Khi đú ta cú: AM MN NA AD
 Mặt khỏc do ãASB ãASC Cã SB 30 ãASD 90
 AD SA2 SD2 2 và tam giỏc SAD vuụng cõn tại S .
 Suy ra chu vi tam giỏc AMN nhỏ nhất khi M  H, N  K .
 Xột tam giỏc SAH ta cú: Sã HA 180 ãASH Sã AH 180 30 45 105
 SA AH 1 AH 6 2
 Áp dụng định lý sin ta cú: AH 
 sin Sã HA sin ãASH sin105 sin 30 2
 6 2
 Tương tự với tam giỏc SKD ta cú: DK 
 2
 HK AD AH DK 2 2 6
 Gọi I là trung điểm HK .
 2 3 3
 Xột tam giỏc AIK ta cú: AI AK 2 IK 2 
 2
 Trang 10