Bài tập ôn tập vào Lớp 10 môn Hình học Lớp 9 (Có đáp án)

 Bài 1. Cho đường tròn O và đường kính AB 2R 10cm . Gọi C là trung điểm OA , Qua C kẻ dây 
MN vuông góc với OA tại C . Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ MB , H là giao điểm AK và MN . 
Chứng minh:
a) Tứ giác BHCK nội tiếp, AMON là hình thoi
b) AK.AH R2 và tính diện tích hình quạt tao bởi OM , OB và cung MB 
c) Trên KN lấy I sao cho KI KM , chứng minh NI KB 
d) Tìm vị trí điểm K để chu vi tam giác MKB lớn nhất.
 Hướng dẫn
a) Vì K nằm trên đường tròn tâm O;OA nên ·AKB 90 H· KB 90(H AK)
MN vuông góc AB (gt) nên M· CB 90 H· CB 90(H MN)
Mà H· CB; H· KB là 2 góc đối nhau H· CB H· KB 90 90 180 .
 Tứ giác BHCK nội tiếp (dhnb)
+) Xét O MN là dây cung, AB là đường kính
Mà MN vuông góc AB tại C (gt)
Nên C là trung điểm MN (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Mà C là trung điểm OA (gt)
 Tứ giác AMON là hình bình hành (dhnb)
Mà MN vuông góc OA (gt)
 Nên AMON là hình thoi (đpcm)
b) Xét AHC và ABK có:
µA là góc chung
·ACH ·AKB 90
 AHC ∽ ABK (g-g)
 AH AC 1
 AH.AK AB.AC 2R. R R2 (đpcm)
 AB AK 2
Theo a) AMON là hình thoi nên AM MO OA R 
Ta có tam giác AMO đều ·AMO 60 M· OB 120 (tc kề bù) 120 R2 R2
*) S 
 MOB 360 3
 25 
Mà 2R 10cm nên R 5cm . Do đó S 
 MOB 3
c) Dễ dàng chứng minh MB NB Tam giác MNB cân (đ/n)
Mà M· KN M· BN 60
N· MI K· MB I·MB N· MB 60
K· MB I·MB K· MI 60
N· MB M· AO (cùng phụ với M· BA)
Mà M· AO 60o (tam giác AMO đều)
 Tam giác MNB đều (tam giác cân có 1 góc 60 ) (1)
Chứng minh tương tự ta có tam giác MKI cân
Mà M· KN M· BN 60 ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung NM )
Nên tam giác MIK đều.(2)
Từ 1 và 2 ta có: N· MI I·MB N· MB 60
 K· MB I·MB K· MI 60
Nên ta có: N· MI K· MB (cùng cộng với I·MB bằng 60 )
Xét MNI và MBK có:
+) MI MK ( MIK đều)
+) N· MI K· MB (cmt)
+) MN MB ( NMB đều)
 NI BK (2 cạnh tương ứng)
d) Chu vi của MKB MK KB MB 
Mà KB NI ; MK KI 
PMKB MK KB MB KI NI MB NK MB
Mà MB cố định
Nên PMKB lớn nhất khi NK lớn nhất
Mà NK là dây cung lớn nhất khi NK là đường kính
Khi đó N , O , K thẳng hàng.
Vậy K là điểm chính giữa cung MB .
Bài 2. Cho nửa đường tròn O, R đường kính AB . Bán kính OC  AB . Điểm E thuộc đoạn OC . Tia 
AE cắt nửa đường tròn O tại M . Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt OC tại D . Chứng minh:
a)Tứ giác OEMB nội tiếp và MDE cân b)Gọi BM cắt OC tại K . Chứng minh BM.BK không đổi khi E di chuyển trên OC và tìm vị trí của E 
để MA 2MB
 · 0
c)Cho ABE 30 tính Squat MOB và chứng minh khi E di chuyển trên OC thì tâm đường tròn ngoại tiếp 
 CME thuộc một đường thẳng cố định.
 Hướng dẫn
 K
a)Tứ giác OEMB nội tiếp và MDE cân
* Tứ giác OEMB có: D
 C M
E· OB E· MB 180
 E
Mà hai góc ở vị trí đối nhau
 OEMB là tứ giác nội tiếp 30°
 A O B
* Vì tứ giác OEMB nội tiếp D· EM O· BM (tính chất góc ngoài tứ giác nội tiếp)
Lại có: O· BM E· MD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM)
 D· EM E· MD O· BM DEM cân tại D (ĐPCM)
b)Gọi BM cắt OC tại K . Chứng minh BM.BK không đổi khi E di chuyển trên OC và tìm vị trí 
của E để MA 2MB
* có ·AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét AMB và KOB có:
·AMB K· OB 90 
·ABK là góc chung
 AB BM
 AMB ∽ KOB g g BM.BK AB.BO 2R.R 2R2 (không đổi)
 BK BO
* Với MA 2MB
 MB 1 1 OE 1 R
Vì AMB vuông tại M nên tan M· AB tan M· AB tan E· AO EO 
 MA 2 2 AO 2 2
Vậy để MA 2MB thì E là trung điểm của OC.
 · 0
c)Cho ABE 30 tính Squat MOB và chứng minh khi E di chuyển trên OC thì tâm đường tròn ngoại tiếp 
 CME thuộc một đường thẳng cố định. K
 D
 C
 M
 I
 H
 E
 30°
 A O B
* Ta thấy OK là đường trung trực của đoạn AB.
Mà E OK EA EB EAB cân tại E.
 E· AB E· BA 30 M· OB 2.E· AB 60 (quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung 
MB).
 60. .R2 .R2
 S MOB 
 quat 360 6
* Nối C với B; gọi H là trung điểm của CE, I là tâm đường tròn ngoại tiếp CEM
 CIE cân tại I.
Do IH là đường trung tuyến nên IH đồng thời là đường cao, đường phân giác
 C· IE
 IH  CE;C· IH C· ME
 2
Lại có C· ME C· BA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
 C· IH C· BA C· ME 
 H· CI O· CB (Vì IH  CE;OB  CO)
 C, I, B thẳng hàng
 I chuyển động trên đường thẳng CB cố định
(ĐPCM)
Bài 3. Cho ABC đều nội tiếp O; R kẻ đường kính AD cắt BC tại H . Gọi M là một điểm trên cung 
nhỏ AC . Hạ BK  AM tại K , BK cắt CM tại E , R 6cm . Chứng minh:
a)Tứ giác ABHK nội tiếp và MBE cân
b)Tứ giác BOCD là hình thoi và gọi BE cắt O tại N và tính Squat MON
c)Tìm vị trí của M để chu vi MBE lớn nhất và tìm quỹ tích điểm E khi M di chuyển trên cung nhỏ 
AC .
 Hướng dẫn E
 A
 N
 K
 O M
 B H C
 D
a)Tứ giác ABHK nội tiếp và MBE cân.
* Vì AB AC( ABC đều) và OB OC R AO là đường trung trực của đoạn BC
 AO  BC tại H ·AHB 90
Xét tứ giác AKHB có: ·AHB ·AKB 90
Mà hai góc này ở vị trí kề nhau hoặc đối nhau. 
 ABHK là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB.
* Có A, M ,C, B O AMCB là tứ giác nội tiếp 
 ·AME ·ABC 60
Lại có ·AMB ·ACB 60 K· ME K· MB 60 MK là đường phân giác cũng là đường cao của 
 MBE MBE cân tại M
(ĐPCM)
b)Tứ giác BOCD là hình thoi và gọi BE cắt O tại N và tính Squat MON
* Có B· OC 2B· AC 120 ( quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)
 1
 BOC cân tại O có OH là đường cao đồng thời là đường phân giác B· OH .B· OC 60
 2
Lại có B· DA B· CA 60
 BOD đều OB BD OD R
Chứng minh tương tự OC CD OD R
Ta được OB BD OC CD R OBDC là hình thoi (dấu hiệu nhận biết).
* Có BKM vuông tại K K· BM K· MB 90 K· BM 60 90 K· BM 30
Lại có N· OM 2.N· BM 2.30 60
 60. .R2 .R2
 S MON 
 quat 360 6
c)Tìm vị trí của M để chu vi MBE lớn nhất và tìm quỹ tích điểm E khi M di chuyển trên cung 
nhỏ AC . * Gọi P là chu vi MBE
P MB ME BE 2. MB BK 
 3
* Có BKM vuông tại K BK MB.sin B· MK MB.sin 60 .MB
 2
 P 2 3 .MB
Để P lớn nhất thì MB lớn nhất 
 MB là đường kính của O M là điểm chính giữa »AC nhỏ
* Nối A với E
Vì AM là đường trung trực của đoạn BE nên AE = AB
Do AB không đổi, điểm A cố định nên E thuộc đường tròn cố định (A, AB)
Giới hạn: 
Kẻ đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC cắt A, AB tại P.
Lấy điểm Q đối xứng với C qua A.
Khi M  C E  P
Khi M  A E  Q
Vậy khi M di chuyển trên cung nhỏ AC thì E di chuyển trên cung nhỏ PQ của đường tròn A, AB 
 Q
 E
 A
 N P
 K
 O M
 B H C
 D
Bài 4. Cho O, R có đường kính BC , A là điểm chính giữa cung BC , lấy M là trung điểm BO , kẻ 
ME  AB tại E , kẻ MF  AC tại F . Chứng minh:
a)Năm điểm A, E, M ,O, F thuộc một đường tròn và BE.BA BO.BM
b)Kẻ tiếp tuyến của O tại A cắt MF tại K chứng minh ME KF và kẻ đường kính AD , kẻ ME cắt 
DC tại H , tia NM cắt O tại D . Chứng minh MDH FEM
c)Chứng minh khi M di chuyển trên BC thì MN luôn đi qua một điểm cố định.
 Hướng dẫn A K
 F
 E
 B C
 M O
 H
 D
a) Năm điểm A, E, M ,O, F thuộc một đường tròn và BE.BA BO.BM
* Do ·AEM ·AOM ·AFM 90 E,O, F cùng thuộc đường tròn đường kính AM
Hay năm điểm A, E, M ,O, F thuộc một đường tròn đường kính AM
* Xét BEM và BOA có:
B· EM ·AOB 90 
·ABO là góc chung
 BE BM
 BEM ∽ BOA g g BE.BA BM.BO
 BO BA
b) Kẻ tiếp tuyến của O tại A cắt MF tại K chứng minh ME KF và kẻ đường kính AD , kẻ ME
cắt DC tại H . Chứng minh MDH FEM
* Vì A là điểm chính giữa cung BC , BC là đường kính sđ »AB nhỏ = sđ »AC nhỏ = 90
 E· BM 45
 EBM , FAK vuông cân EM EB; FA FK
 ·
 KAF 45
Lại có tứ giác AEMF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật ME FA
Suy ra ME KF
*Chứng minh tương tự trên ta có: ME DH
·ACD 90(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 AB PCD (cùng vuông góc với AC)
Mà HE  AB GT HE  CD M· HC 90
 MHCF là tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật
Mặt khác CM là tia phân giác của ·ACD MHCF là hình vuông MF MH
* Xét MDH và FEM có:
ME DH (CMT)
MF MH CMT F· ME M· HD 90 
 MDH FEM 2cgv 
c) Chứng minh khi M di chuyển trên BC thì MN luôn đi qua một điểm cố định.
(Đề sai)
Bài 5. Cho đoạn thẳng MP , lấy điểm N bất kì nằm giữa M và P . Vẽ O đường kính NP . Lấy H là 
trung điểm MN . Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với MN . Kẻ tiếp tuyến HQ với O tại Q . Tia 
PQ cắt d tại K . Chứng minh:
a) Tứ giác KHNQ nội tiếp và N· PQ H· KN .
b) M· KP 90 và PQ.PK PN.PH .
c) HQ2 PQ.PK PH 2 và cho H· KN 30, R 6 cm. Tính diện tích hình quạt NOQ .
d) Lấy I là trung điểm KN . Chứng minh chu vi đường tròn ngoại tiếp QOI không đổi khi N di 
chuyển trên MP .
 Hướng dẫn
 d
 K
 Q
 I
 M P
 H N O
a) Vì Q O đường kính NP N· QP 90 N· QK 90
Xét tứ giác KHNQ có K· HN và K· QN là hai góc đối
mà K· HN K· QN 90 90 180
Suy ra tứ giác KHNQ nội tiếp (dhnb)
Vì KHNQ là tứ giác nội tiếp (cmt)
 H· KN H· QN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung N¼H ) (1)
Xét O có: N· PQ là góc nội tiếp chắn cung N»Q
 H· QN là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn N»Q 1
 N· PQ H· QN ( sđ N»Q ) (2)
 2
Từ (1) và (2) N· PQ H· KN (đpcm).
b) Xét KHM và KHN có: KH chung; K· HM K· HN 90 ; MH HN (gt)
 KHM KHN (c-g-c)
 H· KM H· KN (hai góc tương ứng)
mà H· KN N· PQ (cmt)
 H· KM N· PQ
Xét KHP vuông tại H N· PQ H· KP 90
 H· KM H· KP 90
 M· KP 90
Xét PQN và PHK có:
Chung Pµ ; P· QN P· HK 90
 PQN ” PHK (g-g)
 PQ PN
 (các cặp cạnh tương ứng)
 PH PK
 PQ.PK PN.PH (đpcm). 
c) Xét HQN và HPQ có:
Chung Q· HP ; H· QN H· PQ (cmt)
 HQN ” HPQ (g-g)
 HQ HN
 (các cặp cạnh tương ứng0
 HP HQ
 HQ2 HN.HP
Ta có: HQ2 PQ.PK
 HN.HP PN.PH (cmt)
 PH. HN PN PH 2
Xét O có: N· PQ là góc nội tiếp chắn N»Q
 N· OQ là góc ở tâm chắn N»Q
 N· OQ 2.N· PQ
 N· OQ 2.H· KN 2.30 60
 .62.60
S 6 ( cm2 )
 NOQ 360
d) HI là đường trung bình của NMK HI // MK (tính chất đường trung bình tam giác)
 N· IH N· KM (hai góc đồng vị)
OI là đường trung bình của NKP
 OI // KP
 N· IO N· KP (hai góc đồng vị)
Do đó: N· IH N· IO N· KM N· KP
 H· IO M· KP
mà M· KP 90 H· IO 90
 I thuộc đường tròn đường kính HO
Vì HQ là tiếp tuyến của O tại Q H· QO 90
 O ; Q thuộc đường tròn đường kính HO
 MP
Do đó: QIO nội tiếp đường tròn đường kính HO có chu vi đường tròn không đổi và bằng 
 2
MP. 
 khi N di chuyển trên MP .
 2
Bài 6. Cho O; R với dây BC cố định ( BC không đi qua O ). Điểm A thuộc cung lớn CB . Đường 
phân giác B· AC cắt O tại D , các tiếp tuyến tại C và D của O cắt nhau tại E , tia CD cắt AB tại K , 
đường thẳng AD cắt CE tại I . Gọi AD cắt BC tại M
a) Chứng minh: BC / /DE và bốn điểm A, K, I,C thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: AB.AC AM.AD và chứng minh AB.AC AM 2 MB.MC
c) Cho BC R 3 , R 6cm tính lBC cung nhỏ BC .
 Hướng dẫn
 A
 O
 B
 M H C
 D E
 I
 K
Chứng minh
a) Chứng minh: BC / /DE và bốn điểm A, K, I,C thuộc một đường tròn.