Bài tập ôn tập môn Hình học 9 - Chương 3 - Bài 1: Góc ở tâm, góc nội tiếp

 CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
 BÀI 1: GÓC Ở TÂM, GÓC NỘI TIẾP.
1, GÓC Ở TÂM.
 – Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn gọi là góc ở tâm. Hai cạnh của góc cắt đường tròn 
tại hai điểm chia đường tròn thành hai cung: 
 – Cung nằm bên trong góc gọi là cung nhỏ, cung nẳm bên ngoài góc gọi là cung lớn.
VD: A
 Ở Hình 1:
 Góc ·AOB là góc ở tâm. m
 Cung nhỏ là cung AmB .
 B
 Cung lớn là cung AnB . O
Hoặc ta có cách nói khác:
 · 
 Góc AOB chắn cung AmB . n
 Hình 1
Chú ý:
 + Góc bẹt chắn nửa đường tròn.
2, SỐ ĐO GÓC Ở TÂM.
 – Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 .
 – Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.
VD:
 A
 Ở Hình 2:
 Góc ·AOB 680 => sđ AmB 680 . m
 Từ đó: sđ AnB 3600 680
 680
 B
 O
Chú ý:
 + Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
 n
 Hình 2
 1 3, GÓC NỘI TIẾP.
 – Góc nội tiếp là góc có đỉnh nẳm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung của đường tròn đó
 – Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.
VD:
 Ở Hình 3: A
 Góc ·ABC là góc nội tiếp.
 m
 Góc ·ABC chắn cung AmC .
 O C
 B
 Hình 3
4, SỐ ĐO GÓC NỘI TIẾP.
 – Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
VD:
 Ở Hình 4: A
 sđ AmC 980 nên ·ABC 490
 m
 980
 O C
 490
 B
Chú ý:
 Trong một đường tròn:
 + Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
 Hình 4
 + Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.
 + Góc nội tiếp có số đo bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
 + Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
 2 5, CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP:
 µ µ 
 – Tứ giác ABCD nội tiếp thì A1 D1 ( cùng chắn cung BC ) và ngược lại:
 µ µ
 Tứ giác ABCD có A1 D1 thì tứ giác ABCD nội tiếp.
 B
 A
 1
 O
 C
 1
 D
 – Tứ giác ABCD nội tiếp O đường kính AC thì Bˆ Dˆ 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường 
tròn) và ngược lại:
 Tứ giác ABCD có Bˆ Dˆ 900 thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.
 B
 A C
 O
 D
 – Tứ giác ABCD nội tiếp thì tổng hai góc Aˆ Cˆ 1800 và ngược lại:
 Tứ giác ABCD có tổn hai góc bằng 1800 thì tứ giác ABCD nội tiếp.
 A
 B
 O
 C
 D
 3 6, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho nửa đường tròn O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn. 
 Chứng minh AC  CB .
Bài 2: Cho nửa O đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD). AD cắt BC 
tại H, AC cắt BD tại E. Chứng minh EH  AB .
 E
 C
 D
 C
 H
 A O B A O B
 4 Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn O đường kính AC biết BA BC . Trên đoạn OC lấy điểm I 
bất kì I C . Đường thẳng BI cắt O tại điểm thứ hai là D. Kẻ CH  BD, H BD , DK vuông góc 
với AC, K AC .
 a, Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp.
 b, Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4cm và ·ABD 400 . Tính diện tích ACD .
 c, Đường thẳng đi qua K và song song với BC cắt đường thẳng BD tại E. Chứng minh rằng khi I 
thay đổi trên đoạn thẳng OC, I C thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định.
Bài 4: Cho đường tròn O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại H. M là một điểm trên đoạn 
thẳng CD. Tia AM cắt O tại N.
 a, Chứng minh tứ giác MNBH nội tiếp.
 b, Chứng minh MC.MD MA.MN .
 c, Chứng minh AM.AN AC 2 .
 B
 N
 C
 M
 K
 A I C A B
 O H O
 H
 D
 D
 5 Bài 5: Cho ABC vuông tại A, Đường cao AH, vẽ đường tròn A; AH . Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với 
 A cắt đường thẳng AC tại D. ( I là tiếp điểm, I và H không trùng nhau).
 a, Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp.
 b, Cho AB 4cm, AC 3cm . Tính AI.
 c, Gọi HK là đường kính của A . Chứng minh rằng: BC BI DK .
Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp O;R . Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
 a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp.
 b, Chứng minh BD.BC BH.BE .
 c, Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh BMH cân.
 D K A
 E
 F
 A H
 O
 I
 B D C
 B
 H C M
 6 Bài 7: Cho nửa O đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD). AD cắt BC 
tại H, AC cắt BD tại E. 
 a, Chứng minh CHDE nội tiếp và EH  AB .
 b, Chứng minh D· AB D· EH .
 c, Vẽ tiếp tuyến với O tại D cắt EH tại I. Chứng minh I là trung điểm của EH.
Bài 8: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
 a, Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
 b, Chứng minh DE  OA.
 c, Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, AH. Cho K, L lần lượt là giao điểm 
của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh KL // AC.
 E
 A
 I
 D D
 C E
 H H
 O
 A O B B C
 7 Bài 9: Cho đường tròn O;R dây BC cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho AB AC và 
 ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của EF với BC.
 a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
 b, Chứng minh KB.KC KE.KF .
 c, Gọi M là giao điểm của AK với O , M khác A. Chứng minh MH  AK .
 Bài 10: Cho O đường kính AB 2R , điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A, B). Lấy điểm D thuộc 
 dây BC ( D khác B và C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, Tia AC cắt BE tại F.
 a, Chứng minh FCDE nội tiếp.
 b, Chứng minh DA.DE DB.DC .
 c, Chứng minh C· FD O· CB . 
 d, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. Chứng minh IC là tiếp tuyến của O .
 F
 I
 A
 M C
 E E
 F
 D
 H
 O A O B
K B C
 8 Bài 11: Cho nửa đường tròn O đường kính AB 2R . C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn sao 
cho C khác A và AC CB . Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho C· OD 900 . Gọi E là giao điểm của 
AD và BC, F là giao điểm của AC và BD.
 a, Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp.
 b, Chứng minh FC.FA FD.FB .
 c, Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của O .
Bài 12: Cho ABC nhọn có AB AC . Vẽ đường tròn O đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC 
lần lượt tại F và E. Gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D. Gọi I là trung điểm của AH.
 a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và AD  BC .
 b, Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc 1 đường tròn.
 c, Cho biết BC 6cm, Aˆ 600 , Tính OI.
 F
 A
 I I E
 C F
 D H
 E
 A O B B D O C
 9 Bài 13: Cho nửa đường tròn O , đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho 
cung AB AC , AC cắt BD tại E. Kẻ EF  AD tại F.
 a, Chứng minh ABEF nội tiếp.
 b, Chứng minh DE.DB DF.DA.
 c, Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp FBC .
 d, Gọi I là giao điểm của BD với CF. Chứng minh BI 2 BF.BC IF.IC .
Bài 14: Trên đường tròn tâm O đường kính AB 2R lấy điểm M sao cho AM R và N là một điểm 
bất kì trên cung nhỏ BM ( N khác M và B). Gọi I là giao điểm của AN và BM, H là hình chiếu của I trên 
AB.
 a, Chứng minh tứ giác IHBN là tứ giác nội tiếp.
 b, Chứng minh HI là tia phân giác của góc M· HN .
 c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp MHN luôn đi qua 2 điểm cố định.
 d, Xác định vị trí của điểm N để chu vi tứ giác AMNB lớn nhất.
 C M
 B
 N
 E I
 I
 A B
 A F O D O H
 10