Bài tập ôn tập Hình học Lớp 9 - Chương 3: Góc với đường tròn

 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
 Chương
 3 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
 Bài 1 Góc ở tâm. Số đo cung
 Tóm tắt lý thuyết
 Định nghĩa 6. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
 Trong hình vẽ trên ·AOB là một góc ở tâm, ·AmB là cung nhỏ, ¼AnB là cung lớn.
 Định nghĩa 7. 
  Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
  Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).
  Số đo nửa đường tròn bằng 180 .
  29. Chú ý
  Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn180 .
  Cung lớn có số đo lớn hơn 180 .
  Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo 0 và cung cả đường tròn có số 
 đo 360 .
 Định nghĩa 8. Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
  Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
  Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
 Định lý 13. Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ »AB =sđ »AC +sđC»B .
 H G
 D
 O
 C O
 Trong hình trên »AB C»D; E»F G¼H.
 E F
 A B
 1 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
 Các ví dụ
  Ví dụ 1.
 Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB R 2 . Tính số đo của hai cung AB.
  Lời giải
 B
Xét OAB ta có
 AB2 2R2 OA2 OB2
 A
Nên tam giác vuông tại O . O
Suy ra ·AOB 90 . Vậy số đo cung nhỏ »AB là sđ »AB 90 .
Và số đo cung nhỏ »AB là sđ »AB lớn 360 90 270 .
  Ví dụ 2.
 Cho đường tròn (O; R) và dây cung MN R 3 . Tính số đo của hai dây cung MN .
  Lời giải
Kẻ OH  MN tại H .
 HM HN (định lí về đường kính vuông góc dây cung). N
 MN R 3
Do đó HM HN  H
 2 2
 M
 R 3 O
 MH 3
Ta có: cos HMO 2 .
 MO R 2
Nên H· MO 30 M· ON 120.
Suy ra số đo cung nhỏ sđ M¼N M· ON 120 .
Và số đo cung lớn sđ M¼N lớn 360 120 240 .
  Ví dụ 3.
 Trên đường tròn (O; R) lấy ba điểm A, B,C sao cho dây cung AB R, BC R 2 và tia BO nằm 
 giữa hai tia BA và BC . Tính số đo các cung nhỏ AB, BC và AC .
  Lời giải
 OAB đều nên ta có ·AOB 60 .
 BOC vuông cân tại O nên B· OC 90 .
Suy ra sđ »AB = sđ ·AOB 60 .
sđ B»C = sđ B· OC 90 .
 2 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
sđ »AC sđ »AB + sđ B»C 60 90 150 .
  Ví dụ 4.
 Hai tiếp tuyến tại B và C của nửa đường tròn (O; R) cắt nhau tại A . Biết OA R 2. Tính số đo 
 cung BC .
  Lời giải
 C
 OB R 1 2
 cos ·AOB ·AOB 45 .
 OA R 2 2 2
 A
 O
Suy ra B· OC 90 .
 » ·
Vậy sđ BC BOC 90 B
  Ví dụ 5.
 Trên dây cung AB của đường tròn (O) lấy hai điểm H và K sao cho AH HK KB . Vẽ bán 
 kính OD qua H và bán kính OC qua K . Chứng minh rằng:
 1. »AD B»C;
 2. »AD D¼C.
  Lời giải
 · ·
1. Tam giác OAB cân tại O nên OAH OBK. D C
Do đó OAH OBK (c.g.c) H
 A K B
 ·AOH B· OK »AD B»C .
 O
2. Vẽ đường kính AE của đường tròn (O) . Ta thấy OH là đường trung 
bình của tam giác AKE nên OH //KE . E
 ·AOH O· EK, H· OK O· KE .
Xét OEK có OK OE O· EK O· KE
 ·AOH H· OK »AD D¼C.
 Luyện tập
 Bài 1. 
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA 2R . Từ A vẽ hai tiếp 
tuyến AB; AC tới đường tròn ( B và C là các tiếp điểm). Tính số đo cung lớn B»C của đường tròn 
 (O).
  Lời giải
 3 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
 OB R 1
cos ·AOB ·AOB 600.
 OA 2R 2
Suy ra B· OC 1200. Nên sđ B»C nhỏ B· OC 1200.
Vậy sđ B»C lớn 3600 1200 2400.
 1
 Bài 2. Cho (O) đường kính AB và dây cung AC . Chứng minh rằng B· AC sđ B»C
 2
  Lời giải
Mặt khác B· OC là góc ngoài của tam giác cân OAC .
 1 1
Nên B· OC 2O· AC. Suy ra B· AC B· OC sđ B»C .
 2 2
 Bài 3. Cho tam giác ABC có Bµ 700 ;Cµ 500. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với 
các cạnh AB, BC,CA theo thứ tự tại D, E, F . Tính số đo các cung D»E, E»F và F»D .
  Lời giải
Tứ giác BFID có F· ID 3600 900 900 700 1100.
Nên số đo cung nhỏ sđ F»D 1100.
Tứ giác IDCE có E· ID 3600 900 900 500 1300.
Nên số đo cung nhỏ sđ E»D 1300.
Từ đó suy ra số đo cung nhỏ sđ E»F 3600 1100 1300 1200.
 Bài 4. Cho một nửa đường tròn (O) và hai dây cung AB//CD nằm trong nửa đường tròn đó. 
Chứng minh rằng »AC B»D .
  Lời giải
Gọi H là trung điểm của CD ta có OH  CD . Mà AB//CD nên OH  AB
Hai tam giác OAB, OCD đều cân tại O nên 
 ·AOH B· OH
 ·AOH C· OH B· OH D· OH ·AOC B· OD.
 · ·
 COH DOH
Do đó »AC B»D.
 4 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
 Bài 5. Cho nửa đường tròn (O) đường kính 20cm , C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Lấy 
điểm H thuộc OA sao cho OH 6cm . Đường vuông góc với OA tại H cắt nửa đường tròn tại D . Vẽ 
dây AE song song với CD . Gọi K là hình chiếu của E trên AB . Tính diện tích tam giác AEK.
  Lời giải
 » » µ ¶
Theo bài toán trên, vì DC//AE AD CE O1 O2.
 ¶ ·
Vì OC//EK nên O2 OEK (hai góc so le trong). 
 µ ·
 O1 OEK.
 HOD KEO (cạnh huyền – góc nhọn).
 OK DH và EK OH 6(cm) .
Mà DH 2 AH.HB 4.16 64 DH OK 8(cm).
 AK.EK (10 8).6
 S 54(cm2 ).
 AEK 2 2
 5 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
 Bài 2 Liên hệ giữa cung và dây
 Tóm tắt lý thuyết
 Định lý 14.
 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn 
 bằng nhau.
 1. Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. 
 2. Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. 
 Nghĩa là »AB C»D AB CD .
 Định lý 15.
 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng 
 nhau. 
 1. Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
 2. Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
 Nghĩa là »AB C»D AB CD .
 Tính chất 4. Trong một đường tròn. 
 1. Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
 2. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung 
 điểm của dây căng cung ấy và ngược lại.
 3. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc 
 với dây căng cung ấy và ngược lại.
 Các ví dụ
  Ví dụ 1. Cho hai đường tròn bằng nhau O và O ' cắt nhau tại hai điểm A và B . Kẻ các 
 đường kính AOC, AO ' D . Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn O ' .
 1. So sánh các cung nhỏ BC , BD .
 2. Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung E¼BD ( tức là điểm B chia cung E¼BD thành hai 
 cung bằng nhau B»E B»D ).
  Lời giải
 6 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
1. Vì BAC và BAD nội tiếp trong nửa đường tròn nên chúng là những tam giác vuông tại B.
 = đườ푛 í푛ℎ
 Xét hai tam giác vuông BAC và BAD có ạ푛ℎ ℎ 푛 
 Vậy BAC BAD. Suy ra BC BD . Mặt khác, hai đường tròn (O) và O bằng nhau nên hai dây 
 bằng nhau sẽ căng hai dây bằng nhau. Vậy B»C B»D
2. Vì điểm E nằm trên đường tròn đường kính AD nên ·AED 90 . Do BC BD (câu a) nên EB là 
 đường trung tuyến của tam giác vuông ECD Eµ 90 . Suy ra BE BD . 
 Trong O ta có, BE BD suy ra B»E B»D hay B là điểm chính giữa của cung EBD.
  Ví dụ 2.
 Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD AC . Vẽ đường tròn tâm 
 O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH,OK với BC và 
 BD(H BC, K BD).
 a) Chứng minh rằng OH OK b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC
  Lời giải
 1. Trong tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác, ta có 
 BC AB AC AB AD BD hay BC BD.
 Theo định lí về dây cung và khoảng cách đến tâm suy ra OH OK . 
 2. Vì BC BD ta suy ra B»C B»D .
 7 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
 Ví dụ 3.
Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng nửa đường tròn (O) 
đường kính BC. Trên nửa đường tròn lấy các điểm D, E sao cho B»D D»E E»C. Các đường thẳng 
 AD, AE cắt đoạn thẳng BC tại M và N. Chứng minh rằng BM MN NC.
  Lời giải
 Từ B»D D»E E»C. suy ra được BD DE EC . Do đó theo tính chất 
 góc ở tâm suy ra B· OD 60 OBD là tam giác đều. Ta có 
 AC MC
 AMC ∽ DMB suy ra .
 DB MB
 Mặt khác, AC 2BD suy ra MC 2MB, BC BM MC 
 BC 3BM .
 Tương tự, BC 3CN . Vậy BM MN NC .
  Ví dụ 4.
 Cho tam giác ABC không cân, từ đỉnh A kẻ đường cao AH, phân giác AD, trung tuyến AM .
 1. Chứng minh rằng điểm D nằm giữa H và M .
 2. Giả sử tam giác ABC nhọn, chứng minh rằng M· AD D· AH .
  Lời giải
 1. Không mất tính tổng quát giả sử AC AB , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường 
 phân giác AD, tại I BºI IºC BI IC .
 Tam giác ABC không cân, suy ra H, D, M là ba điểm phân biệt. 
 Mặt khác, D nằm giữa A và I, AM là trung tuyến IM  BC, AH là đường cao
 AH  BC . Do đó D nằm giữa H và M .
 2. Tam giác ABC nhọn B· AC 90 B»C nhỏ hơn nửa đường tròn. 
 M nằm giữa O và I AM nằm giữa hai tia AI và AO.
 8 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
 M· AD O· AI
 O· AI O· IA
 OA OI
 Mà AH //IM O· IA I·AH . Vậy M· AD D· AH .
 Luyện tập
  Bài 1. 
Cho đường tròn (O). Gọi I là điểm chính giữa của cung AB (không phải là cung nửa đường tròn) H là 
trung điểm của dây AB. Chứng minh rằng đường thẳng IH đi qua tâm O của đường tròn.
  Lời giải
Vì I là điểm chính giữa cung »AB nên IºA IºB , suy ra IA IB.
Mặt khác, OA OB R bán kính. Do đó, IO là đường trung trực của 
đoạn AB. 
Lại có H là trung điểm của AB nên H thuộc IO. Vậy IH đi qua tâm O 
của đường tròn.
  Bài 2. 
 Cho đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ góc ở tâm ·AOB 80 , vẽ góc ở tâm B· OC 120 kề với ·AOB . 
 So sánh và sắp xếp độ dài AB, BC,CA theo thứ tự tăng dần. 
  Lời giải
Ta có ·AOB 80 và B· OC 120 kề nhau nên suy ra ·AOC 160 .
Vì số đo của cung bị chắn bằng số đo của góc ở tâm nên suy ra 
AB BC CA. 
  Bài 3. 
 Cho tam giác ABC có AB AC . Trên canh AB lấy một điểm D sao cho AD AC . Vẽ đường tròn 
 tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH,OK với BC và 
 BD (H BC, K BD).
 a) Chứng minh rằng OH OK . b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
 9 Dự án tài tập toán 9. Chương 3: Góc với đường tròn
  Lời giải
1. Trong tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác, ta có 
 BC AB AC AD AB BD hay BC BD
Theo đinh lí về dây cung và khoảng cách đến tâm, từ BC BD 
suy ra OH OK
2. Từ bất đẳng thức về dây cung BC BD suy ra B»C B»D.
 Bài 4. 
Cho hình thoi ABCD. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AD. Vẽ đường tròn tâm C bán kính CB. Lấy 
điểm E bất kì trên đường tròn tâm A (không trùng với B và D), điếm F trên đường tròn tâm C 
sao cho BF song song với DE. So sánh hai cung nhỏ DE và BF .
  Lời giải
 Theo giả thiết ta có E· DB F· BD, suy ra E· DA F· BC .
 Từ đó hai tam giác cân ADE và CBF bằng nhau, 
 suy ra E· AD B· CF. Vậy hai cung DE và BF bằng nhau.
  Bài 5. 
 Cho đường tròn tâm O . Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C, D. Từ C kẻ CH
 vuông góc với AB, nó cắt đường tròn tai điểm thứ hai là E. Từ A kẻ AK vuông góc với DC, nó 
 cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng:
 1. Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau.
 2. Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau.
 3. DE BF.
  Lời giải
1. CD và FB đều vuông góc với AK nên CD//FB. 
Suy raC»F D»B (hai cung bị chắn giữa hai dây song song). (1)
2. Do tính chất đối xứng qua đường kính AB ta có
 B»C B»E (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được B»C C»P D»B B»E (tính chất 
cộng hai cung) hay B»F D»E (3)
 10