Bài tập ôn tập Đại số Lớp 9 - Chương 4: Hàm số y = ax² (a # 0). Phương trình bậc hai một ẩn

 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số y = ax2 . Phương trình bậc hai một ẩn
 Chương Hàm số y ax2 (a 0)
 4
 Phương trình bậc hai một ẩn
 Bài 1 Hàm số và đồ thị hàm số y=ax2 (a 0)
 Tóm tắt lý thuyết
 1.1 Hàm số y ax2 (a 0)
 1. Tập xác định: Hàm số y ax2 (a 0) xác định với mọi x ¡ .
 2. Tính đồng biến và nghịch biến:
  Nếu a 0 thì hàm số đồng biến với mọi x 0 và nghịch biến với mọi x 0 .
  Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến với mọi x 0 và đồng biến với mọi x 0 .
 3. Miền giá trị:
  Nếu a 0 thì y 0 với mọi x . Khi đó min y 0 x 0 .
  Nếu a 0 thì y„ 0 với mọi x . Khi đó max y 0 x 0 .
 1.2 Đồ thị của hàm số y ax2 (a 0)
 Đồ thị của hàm số y ax2 (a 0) là một đường parabol đi qua gốc tọa độ và nhận Oy làm trục 
 đối xứng. Gốc tọa độ O là đỉnh của parabol.
  Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
  Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.
 Các dạng toán
  Dạng 76. Vẽ đồ thị của hàm số y ax2
 Để vẽ đồ thị hàm số y ax2 , ta thực hiện các bước sau
 Bước 1: Lập bảng giá trị (nên lấy ít nhất 5 giá trị).
 Bước 2: Đồ thị hàm số bậc nhất có dạng parabol nằm phía trên trục hoành nếu a > 0 và nằm
 phía dưới trục hoành nếu a < 0, đồng thời đi qua các điểm thuộc bảng giá trị.
 Bước 3: Vẽ đồ thị.
 1 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số . Phươngy = ax 2trình bậc hai một ẩn
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm hàm số y x2
  Lời giải
Bảng giá trị: 
Vẽ đồ thị:
  Dạng 77. Tính giá trị của hàm số
 Để tính f (x0 ) , ta thay x x0 vào f (x)
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. Cho hàm số y f (x) 4x2 . Hãy tính f (1), f ( 1), f (2), f ( 2), f (0)
  Lời giải
Ta có: f (1) 4.12 4 .
 f ( 1) 4.( 1)2 4.
 f (2) 4.22 16.
 f ( 2) 4.( 2)2 16 .
 f (0) 4.02 0 .
 1
  Ví dụ 2. Cho hàm số y f (x) x2 có đồ thị (C) . Trong các điểm A 2; 2 , B 1;0 , 
 2
 1 
 C 1; , điểm nào thuộc đồ thị (C) , điểm nào không thuộc? Vì sao?
 2 
 2 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số y = ax2 . Phương trình bậc hai một ẩn
  Lời giải
 1
Điểm A thuộc đồ thị (C) vì f (x ) .22 2 y .
 A 2 A
 1 1
Điểm B thuộc đồ thị (C) vì f (x ) .12 y .
 B 2 2 B
 1 1
Điểm C thuộc đồ thị (C) vì f (x ) .( 1)2 y .
 C 2 2 C
! Điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số (C) : y f (x) khi và chỉ khi tọa dộ điểm M thỏa mãn
 y0 f (x0 )
  Ví dụ 3. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số (C) : y 5x2 biết:
 1. Điểm đó có hoành độ bằng -2.
 2. Điểm đó có tung độ bằng 5.
  Lời giải
1. x 2 y 5.( 2)2 20 . Vậy tọa độ điểm là ( 2;5) .
2. y 5 5x2 5 x2 1 x 1. Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán là (1;5) và ( 1;5) .
  Ví dụ 4. Tìm m để điểm M (m;2m) thuộc đồ thị hàm số .y f (x) 2x2
  Lời giải
Điểm M thuộc đồ thị hàm số y f (x) 2x2 khi và chỉ khi
 2 m 0
 2m 2m .
 m 1
Vậy với m 0 hoặc m 1 thì điểm M thuộc đồ thị của hàm số y f (x) 2x2 .
  Dạng 78. Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn tính chất cho trước.
 Hàm số y f (x) có đồ thị là (P) . Điểm M x0 ; y0 (P) y0 f x0 .
  Ví dụ 1. Xác định hàm số bậc hai y BÀIax2 TẬP . Biết MẪUđồ thị đi qua điểm A(10;30) .
  Lời giải
 3
 Điểm A(10;30) thuộc đồ thị hàm số y ax2 30 a 102 a .
 10
 3
 Vậy hàm số cần tìm là y x2 .
 10
 3 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số . Phươngy = ax 2trình bậc hai một ẩn
  Dạng 79. Tinh biển thiên của hàm số y ax2 .
 Dựa vào tính chất của hàm số y ax2 (a 0)
 Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 và đồng biến khi x 0 .
 Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 và đồng biến khi x 0 .
 BÀI TẬP MẪU 
 2 1 
  Ví dụ 1. Cho hàm số y (2m 1)x m . Tìm m để
 2 
 1. Hàm số đồng biến với mọi x 0 .
 2. Hàm số đồng biến với mọi x 0 .
  Lời giải
 1
1. Hàm số đã cho đồng biến với mọi x 0 khi và chỉ khi 2m 1 0 m .
 2
 1
2. Hàm số đã cho đồng biến với mọi x 0 khi và chỉ khi 2m 1 0 m„ .
 2
 1
  Ví dụ 2. Cho hàm số y x2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khi 0 „ x „ 3.
 4
  Lời giải
 1
Ta có a 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng 0 „ x „ 3.. Do đó
 4
 9
 f (0) f (x) f (3) 0 y .
 4
 9
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất min y khi x 3 và giá trị lớn nhất max y 0 khi x 0 .
 4
 4 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số y = ax2 . Phương trình bậc hai một ẩn
  Dạng 80. Tương giao giữa parabol và đường thẳng.
 Để tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) , ta tiến hành làm các bước như sau:
 Bước 1: Tìm phương trình hoành độ giao điểm.
 ax2 mx n 4.1 
 Bước 2: Tìm số giao điểm.
 Nếu 4.1 vô nghiệm thì (d) không cắt (P) .
 Nếu 4.1 có 2 nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
 Nếu 4.1 có nghiệm kép nghiệm thì (d) tiếp xúc (P) tại 1 điểm.
 2
 Bước 3: Nếu phương trình (4.1) có nghiệm xi thì suy ra tung độ giao điểm là yi axi hoặc 
 yi mxi n.
 Bước 4: Kết luận.
 BÀI TẬP MẪU 
  Ví dụ 1. Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y x 2 .
 1. Tìm tọa độ giao điểm A, B xA xB của (d) và (P) .
 2. Tính diện tích tam giác OAB .
  Lời giải
1. Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P)
 2 2 x 1
 x x 2 x x 2 0 
 x 2.
 Với x 1 y 1.
 Với x 2 y 4 .
Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ A(1;1) và B( 2;4) .
2
Gọi C , D là hình chiếu của B , A xuống Ox . Ta có
 (BC AD)CD (4 1)3 15
 S ,
 BCDA 2 2 2
 BC CO
 S 4 , 
 BCO 2
 AD  DO 1
 S .
 ADO 2 2
Suy ra
 SABO SBCDA SBCO SADO 3 .
 5 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số . Phươngy = ax 2trình bậc hai một ẩn
Vậy diện tích tam giác OAB bằng 3 (đvdt).
 Luyện tập
 Bài 1. Cho hàm số y ax2 có đồ thị hàm số (P) .
1. Xác định a biết (P) đi qua điềm A(1; 2) .
2. Vẽ đồ thị (P) .
3. Tìm điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2 .
  Lời giải
1. (P) đi qua điểm A(1; 2) khi và chỉ khi 2 a.12 a 2.
2. Bảng giá trị
 Vẽ đồ thị. 
 Bài 2. Cho y (2m 3)x2 với 2m 3 0.
1. Tìm m để hàm số đồng biến khi x 0 .
2. Tìm m đễ hàm số nghịch biến khi x 0 .
  Lời giải
 3
1. Hàm số đã cho đồng biến với mọi x 0 khi và chỉ khi 2m 3 0 m .
 2
 6 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số y = ax2 . Phương trình bậc hai một ẩn
 3
2. Hàm số đã cho nghịch biến với mọi x 0 khi và chỉ khi 2m 3 0 m „ .
 2
 Bài 3. Cho hàm số y 2x2 . Hãy tìm
1. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 4; 2].
2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1 ;3.
  Lời giải
1. Ta có a 2 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng 4 „ x „ 2 . Do đó
 f ( 4) f (x) f ( 2) 32 y 8
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất min y 8 khi x 2 và giá trị lớn nhất max y 32 khi x 4.
2. Ta có a 2 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng 1„ x „ 3 . Do đó
 f (1) „ f (x) „ f (3) 2 „ y „ 18
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất min y 2 khi x 1 và giá trị lớn nhất max y 18 khi x 3
 x2
 Bài 4. Cho parabol (P) : y và đường thẳng (d) : y x 4 .
 2
1. Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) .
  Lời giải
1. Vẽ đường thẳng (d)
 Cho x 2 y 2 .
 Cho x 4 y 8 .
Vẽ parabol (P) :
 Bảng giá trị
 Vẽ đồ thị
 7 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số . Phươngy = ax 2trình bậc hai một ẩn
2. Phương trình hoành độ giao điểm
 2
 x 2 x 2
 x 4 x 2x 8 0 .
 2 x 4
Với x 2 y 2 .
Với x 4 y 8 .
 Vậy (d) và (P) có hai điểm chung có tọa độ là ( 2;2) và (4;8) .
 4 Các bài toán nâng cao
 Bài 5. Cho hàm số y x2 2x 3 . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn1 ;5 .
  Lời giải
 2 2 2 X x 1 2
Ta có y x 2x 3 (x 1) 2 y 2 (x 1) . Đặt Y X .
 Y y 2
 x 1 X 0
Lại có .
 x 5 X 4
Mà hàm số Y X 2 đồng biến với mọi X 0 . Do đó
0 „ Y „ 16 2 „ y „ 14
Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất max y 14 khi x 5 và đạt giá trị lớn nhất min y 2 khi x 1
.
 Bài 6. Cho hàm số y 2x2 8x 9 . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0 ; 5.
  Lời giải
 2 2 2 X x 2 2
Ta có y 2x 8x 9 2(x 2) 1 y 1 2(x 2) . Đặt Y 2X .
 Y y 1
 8 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số y = ax2 . Phương trình bậc hai một ẩn
 x 0 X 2
Lai có .
 x 5 X 3
Mà hàm số Y 2X 2 đồng biến với mọi 0 „ X „ 3. Do đó
 202„ Y „ 232 0 „ Y „ 18 4.2 
Mặt khác hàm số Y 2X 2 nghịch biến với mọi 2 „ X „ 0 . Do đó
 2( 2)2 Y 202 8 Y 0 4.3 
Từ 4.2 và 4.3 suy ra 0 „ Y „ 18 1„ y „ 19.
Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất max y 19 khi x 5 và đạt giá trị lớn nhất min y 0 khi 
 x 2 .
 Bài 7. Trên parabol (P) : y x2 , ta lấy hai điểm A 1;1 và B 3 ;9 . Xác định điểm C trên cung 
nhỏ AB của (P) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
  Lời giải
Giả sử C c;c2 thuộc (P) với 1 c 3 . 
Gọi A , B ,C là hình chiếu của A, B và C xuống trục Ox Ta có:
 AA BB A B (1 9).4
 S 20 ,
 AA B B 2 2
 AA CC A C 1 c2 (1 c)
 S ,
 AA C C 2 2
 CC BB C B 9 c2 (3 c)
 S .
 CC B B 2 2
Suy ra
 S S S S 6 2c2 4c 8 2(c 1)2„ 8 .
 ABC AA B B CC B B AA C C
Vậy tam giác ABC lớn nhất bằng 8 khi và chỉ khi C(1;1)
 9 Dự án tài tập toán 9. Chương 4: Hàm số . Phươngy = ax 2trình bậc hai một ẩn
 Bài 2 Phương trình bậc hai một ẩn và công 
 thức nghiệm
 Tóm tắt lí thuyết
 1.1 Định nghĩa
 Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng
 ax2 bx c 0, 1 
 trong đó x là ẩn; a, b, c là các số cho trước gọi là hệ số và a 0 . 
 Nhận xét. Phương trình 1 tương đương với phương trình
 2
 b b2 4ac 
 a x 2 0
 2a 4a 
 1.2 Giải phương trình bậc hai
 Để tìm nghiệm của phương trình 1 ta dựa vào biệt số b2 4ac .
 Nếu 0 thì phương trình 1 vồ nghiệm.
 b
 Nếu 0 thì phương trình 1 có nghiệm kép x x .
 1 2 2a
 Nếu 0 thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt
 b b 
 x ; x 
 1 2a 2 2a
 2
 Đặc biệt: Nếu b 2b thì ta có b ac . Khi đó
 Nếu 0 thì phương trình 1 vồ nghiệm.
 b 
 Nếu 0 thì phương trình 1 có nghiệm kép x x .
 1 2 a
 Nếu 0 thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt
 b b 
 x ; x .
 1 a 2 a
 Nhận xét. Nếu ac 0 thì 0 , do đó phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. Hơn nữa, hai 
 nghiệm đó trái dấu.
 10