Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Hùng Dũng (Có đáp án)

 ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 7
 PHềNG GD&ĐT HƯNG HÀ
 THCS HÙNG DŨNG NĂM HỌC 2014-2015
 Thời gian làm bài : 120 phỳt
 Ngày 12/ 12/ 2014
 Đề bài:
Bài 1:(5 điểm) 
 a)Thực hiện phộp tớnh: 
 212.35 46.92 510.73 255.492
 A 6 3
 22.3 84.35 125.7 59.143
 b) Tỡm x biết : 2 x x 3
Bài 2: (5điểm)
 213
 a) Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu 
 70
 của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.
 b) Cho cỏc số a,b,c ,x,y,z thỏa món : abc 0 và
 x y z
 chứng minh: 
 a 2b c 2a b c 4a 4b c
 a b c
 ( với giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa)
 x 2y z 2x y z 4x 4y z
Bài 3: ( 4điểm) 
 a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y, z thỏa món: ( x-y)2014 + x y =2
 b) Cho 5 số nguyờn phõn biệt a1, a2, a3, a4 ,a5, xột tớch :
 P=(a1-a2)(a1-a3)(a1-a4)(a1-a5) (a2-a3)(a2-a4)(a2-a5)(a3-a4)(a3-a5)(a4-a5)
 Chứng minh P288
Bài 4: ( 6 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú  B =750 đường cao AH bằng nửa cạnh BC. Trờn nửa mặt 
phẳng bờ AB chứa C vẽ tia Bx sao cho  ABx = 600 trờn tia Bx lấy điểm D sao 
cho BD =BA. Kẻ phõn giỏc BF của gúc ABD (F AD)
 a) Tớnh cỏc gúc chưa biết của tam giỏc ABD
 b) Chứng minh AB=BD=DA
 c) Chứng minh AC =CB
 HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT 
 PHềNG GD&ĐT HƯNG HÀ CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 7
 THCS HÙNG DŨNG
 Thời gian làm bài : 120 phỳt
 Ngày 12/ 12/ 2014
Bài í Nội dung Điểm
 1 a 212.35 212.34 510.73 510.7 4 1đ
 A= 
 212.36 212.35 59.73 5973.23 1đ
 3 1 5 35
 A 
 9 3 1 8
 A 3,5 0,5đ
 b) Để cú căn bậc hai dương 2 x thỡ x 2 1,0
 khi đú x-3<0 mà 2 x 0 1,0
 nờn khụng tỡm được x thỏa món yờu cầu bài ra. 0,5
 a c m
 2 A Gọi 3 phõn số cần tỡm là ; ; với a;b;c;m;n nguyờn và b.d.n 0 
 b d n
 a c m
 theo bài ra ta cú k 1đ
 3 4 5
 Suy ra a=3k; c=4k;m=5k 0,5đ
 Tương tự ta cú b=5q; d=q; n=2q
 3k 4k 5k 213
 0,5đ
 5q q 2q 70
 k 3 5 213
 ( 4 ) 
 Vậy : q 5 2 70
 k 3 0,5đ
 q 7
 a 9 c 12 m 15
 ; ; 
 b 35 d 7 n 14 0,5đ
 b) Từ giả thiết ta cú :
 x 2y z x 2y z
 k 
 a 2b c 4a 2b 2c 4a 4b c 9a 0,5đ
 2x y z 4x 4y z
 Tương tự ta cú k 0,5đ
 9b 9c
 2x y z 2x y z 4x 4y z
 Vậy: 0,5đ
 9a 9b 9c
 a b z
 Suy ra 
 x 2y z 2x y z 4x 4y z 0,5đ
 3 a) Ta cú cỏc số tự nhiờn : x 0; y 0;(x y) 2014 0
 Vậy (x-y)2014 là số chớnh phương nhỏ hơn 2 0,5đ
 Hoặc (x-y)2014 =0 suy ra x=y 0,25đ
 mà x y 2 x y 1 0,25đ
 ta được (x ;y)=(1 ;1) (-1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(1 ;-1)
 mà x y nờn ( x;y) =(1 ;1) ; -1 ;-1)
 0,25đ nếu (x-y)2=1 thỡ hoặc : x-y= 1 Thỡ tổng hai số tự nhiờn x y 1 nờn 
 trong hai số x, y cú 1 số bằng 0 từ đú 0,25đ
 ta cú (x ; y)=(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0) 0,25đ
 Vậy :(x ;y)=(1 ;1) ; (-1 ;-1) ;(0 ;1) ;(1 ;0) ; (0 ;-1) ; (-1 ;0) 0,25đ
 B Với 5 số a1; a2; a3; a4 cú ớt nhất 2 số khi chia cho 3 cú cựng số dư 
 khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử hai số đú là a1 và a2 khi đú a1-a2 3 0,25đ
 Bỏ đi a2 xột 4 số cũn lại Trong 4 số này cú ớt nhất 2 số khi chia cho 3 
 cú cựng số dư khụng mất tớnh tổng quat giả sử 2 số đú là a3 và a5 thỡ 
 a3a53 Suy ra P 9 0,25đ
 * Trong 5 số tự nhiờn cú ớt nhất 3 số cựng tớnh chẵn lẻ
 -Nếu cú cả năm số cựng tớnh chẵn lẻ hiển nhiờn tất cả cỏc thừa số của p 
 đều chia hết cho 2 nờn P210 
 suy ra P32 0,25đ
 Nếu trong 5 số cú 4 số cựng tớnh chẵn lẻ 4 số này tạo ra 6 thừa số của 
 tớch mà mỗi thừa số đều chia hết cho 2 nờn P 32 0,25đ
 Nếu trong 5 số cú 3 số cựng chẵn khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử đú là 
 a1; a2; a3 đặt a1=2b1; a2=2b2;a3=2b3 ; a4=2b4+1 ; a5=2b5+1
 P là tớch của 16(b1-b2)(b1-b3)(b2-b3)(b4-b5) và 6 thừa số lẻ . trong 3 số 0,25đ
 b1; b2; b3 . cú ớt nhất hai số cựng chẵn hoặc cựng lẻ chỳng tạo ra 1 thừa 
 số chia hết cho 2 nờn p32 0,25đ
 Tương tự với 3 số cựng lẻ và 2 số cựng chẵn thỡ P32 0,25đ
 Vậy P 9;32 288 0,25đ
4 a A
 F
 D
 I
 B H C
 E
 Vẽ phõn giỏc BF của ABD chứng minh: ABF= DBF (c-g-c) 1đ
 Từ đú nhờ định lý tổng ba gúc trong tam giỏc chứng minh: 
  BAD=  BDA =600 1đ
 b Kẻ phõn giỏc AI dựa vào định lý tổng 3 gúc trong tam giỏc chứng 
 minh  BIA =  DIA =900 0,5đ
 Từ đú chứng minh AIB= AID (g.c.g) 0,5đ
 Suy ra AB=AD 0,5đ
 Mà theo giải thiờt: AB=BD nờn AB=BD=DA 0,5đ
 c Gọi E là trung điểm của BC , chứng minh: AHB= BED (c.g.c) 0,25đ
 Từ đú chứng minh  DEB=  DEC =900 0,25đ
 Chứng minh DEB = DEC (c.g.c) rồi chứng minh  BDC=1500 0,5đ
 Chứng minh  ADC =1500 0,5đ
 Chứng minh ADC= BDC (c.g.c) CB=CA 0,5đ