Đề cương ôn tập Toán Lớp 7 - Chuyên đề 1: Giải bài tập bằng sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

 CHUYÊN DỀ 1. GIẢI BÀI TẬP BẰNG SỬ DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Dạng 1. Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 
 a c a c a c
 - Tính chất: Ta luôn có 
 b d b d b d
 a c e a c e ma nc pe
 - Tính chất mở rộng: 
 b d f b d f mb nd pf
 a c e a2 c2 e2
 b d f b2 d 2 f 2
 (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
 x y
Ví dụ 1: Tìm x, y biết và x y 20
 2 3
 x y
Ví dụ 2: Tìm x, y biết và y x 24
 3 5
 x y z
Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết. và x y z 10
 8 12 15
 x y z
Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết. và. 2x 3y z 34
 2 3 4
 x 1 y 2 z 3
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết. và x 2y 3z 14 .
 2 3 4
Ví dụ 6: Tìm x, y biết. 7x 9y và 10x 8y 68
Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết. 2x 3y 4z và x y z 169 .
 x y
Ví dụ 8: Tìm x, y biết. và x.y 112
 4 7
 x y y z
Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết. ; và x 2y 3z 19
 2 3 2 3
 x y z
Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết. và 2x2 2y2 3z2 100 .
 3 4 5
 x y x z
Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết. ; (1) và x3 y3 z3 1009 
 2 3 4 9
 a b c
Ví dụ 12: Cho và a b c 0 ; a 2012 . Tính: b, c.
 b c a
 a b c
 Ví dụ 13: Cho ba tỉ số bằng nhau khi a b c 0 . Tính giá trị mỗi tỉ số đó.
 b c a c a b
 2x 1 3y 2 2x 3y 1
Ví dụ 14: Tìm x biết 
 5 7 6x
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
 Bài 1: Tìm x, y biết.
 x y x y
 a) và x y 30 b) và 2x y 34 
 6 9 19 21
 x y
 c) và x.y 180 d) x : y 4 :5 và x.y 5
 4 5
 x y x y
 e) và x2.y2 4 f) và x4.y4 16
 2 4 2 4
 x 5
 g) và 2x2 3y2 92 h) 3x 2y và x2 y2 208
 y 3 Bài 2: Tìm x, y, z biết.
 x y z
 a) và x y z 9 
 2 3 4
 x y z
 b) và x 3y 4z 62 
 4 3 9
 x y z
 c) và 5x y 2z 28 
 10 6 21
 2x 3y 4z
 d) và x y z 49 
 3 4 5
 x 9 y 7
 e) ; và x y z 15 
 y 7 z 3
 x y z
 f) và x.y.z 810
 2 3 5
 x y z
 g) và x.y.z 1680 
 5 6 10
 x y z
 h) và x2 y2 2z2 108
 2 3 4
 Bài 3: Tìm x, y, z biết.
 x 7 y 5
 a) ; và 2x 5y 2z 100
 y 20 z 8
 x 1 y 2 z 3
 b) và 2x 3y z 50 
 2 3 4
 12x 15y 20z 12x 15y 20z
 c) và x y z 48
 7 9 11
 1 2y 1 4y 1 6y
 Bài 4: Tìm x biết. .
 18 24 6x
 Bài 5: Tìm các số t1,t2 ,.....,t9 biết.
 t 1 t 2 t 3 t 9
 1 2 3 ........ 9 và t t ..... t 90
 9 8 7 1 1 2 9
Dạng 2. Chia tỉ lệ.
 x y z
 1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c x : y : z a :b : c ( Hay )
 a b c
 1 1 1
 2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c x : y : z : : ( Hay ax by cz ) 
 a b c
Ví dụ 1: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng chúng tỉ lệ với 3:4.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có số đo các góc µA, Bµ,Cµ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3. tính số đo các góc của tam giác ABC.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với các số nào.
Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi 
loại có mấy tờ.
Ví dụ 5: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 
1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần 
chuyển.
Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2: 3: 4. Hỏi ba chiều cao tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào.
Ví dụ 6: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp thành ba loại: Giỏi, khá và trung bình. Số 
học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Ví dụ 7: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15, cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh 
góc vuông. Ví dụ 8: Hai xe ô tô cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B. Xe thứ nhất đi quãng đường AB hết 4 giờ 15 phút. Xe thứ hai 
đi quãng đường BA hết 3 giờ 45 phút. Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường xe thứ 
nhất đã đi là 20 km. Tính quãng đường AB. 
 1 1
Ví dụ 9: Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm số gạo của kho đó, xuất ở kho B đi số 
 7 9
 2
gạo của kho đó, xuất ở kho C đi số gạo của kho đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc 
 7
đầu, biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo.
Ví dụ 10: Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5km, xí 
nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3km, xí nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng 
cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu.
 25
Ví dụ11 : Tổng ba phân số tối giản bằng 5 các tử của chúng tỉ lệ nghịch với 20: 4: 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận 
 63
với 1: 3 : 7. Tìm ba phân số đó.
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 64m. Tính độ dài mỗi cạnh biết rằng chúng tỉ lệ với 3 và 5.
Bài 2: Tính chiều dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 30m và ba cạnh tỉ lệ với 4: 5: 6.
Bài 3: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1: 2: 3.
Bài 4: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích 300m2 . Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, 
 1
lớp 7B nhận diện tích còn lại. Diện tích còn lại của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 
 5
 1 1 5
7E tỉ lệ với : : . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
 2 4 16
Bài 5: Ba công nhân được thưởng 100000 đồng, số tiền thưởng phân chia tỉ lệ với mức sản xuất của mỗi người. Biết mức 
sản xuất của người thứ nhất so với mức sản xuất của người thứ hai bằng 5: 3, mức sản xuất của người thứ ba bằng 25% 
tổng số mức sản xuất của hai người kia. Tính số tiền mỗi người được thưởng.
Bài 6: Có ba gói tiền gói thứ nhất gồm toàn tờ 500 đồng, gói thứ hai gồm toàn 2000 đồng, gói thứ ba gồm toàn tờ 5000 
đồng. Biết rằng tổng số tờ giấy bạc của ba gói là 540 tờ và số tiền ở các gói bằng nhau.
Bài 7: Cho tam giác ABC có các đường cao ha , hb , hc tỉ lệ thuận với 2; 3; 4. Chu vi tam giác ABC bằng 13. Tính độ dài 
cạnh lớn nhất của tam giác ABC.
Bài 8: Ba tổ công nhân có mức sản xuất tỉ lệ với 5; 4; 3. Tổ I tăng năng xuất 10%, tổ II tăng năng xuất 20%, tổ III tăng 
năng xuất 10%. Do đó trong cùng một thời gian, tổ I làm được nhiều hơn tổ II là 7 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ 
làm được trong thời gian đó. 
Bài 9: Tìm ba số tự nhiên biết rằng BCNN của chúng bằng 3150, tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai là 5: 9, tỉ số của số thứ 
nhất và số thứ ba là 10: 7. 
Bài 10: Số tự nhiên M được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các bình phương của ba phần đó là 9512. 
Tìm A.
Bài 11: Số tự nhiên A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Biết tổng các bình phương của ba phần đó là 564. 
Tìm A.
Bài 12: Chia số A thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các lập phương của ba số đó là 9512. Tìm A. 
 3
Bài 13: Tìm ba phân số, biết rằng tổng của chúng bằng 3 , các tử của chúng tỉ lệ với 3: 4: 5, các mẫu của chúng tỉ lệ 
 70
với 5: 1: 2.
Một số M được chia làm 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ thuận với 4 và 5; phần thứ hai và phần thứ ba 
tỉ lệ nghịch với 5 và 3. Biết phần thứ ba hơn phần thứ hai là 10. Tìm số M. 
Bài 14: Ba máy xay, xay được 350 tấn thóc. Số ngày làm việc của ba máy tỉ lệ với 3: 4: 5, số giờ làm việc của ba máy tỉ lệ 
với 6: 7: 8, công xuất các máy tỉ lệ nghịch với 5: 4:3. Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc. Dạng 3. Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
 Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ 
số bằng nhau. 
 a c d c
Lưu ý tính chất: a.d b.c 
 b d b a
 a c a b c d
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức với b,c,d 0 . Và c d . Chứng minh rằng: 
 b d b d
 a c a c
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức với b,c,d 0 . Và a b;c d . Chứng minh rằng: 
 b d a b c d
 a b c d a c
Ví dụ 3: Cho ( a,b,c,d 0 và a b,c d ). Chứng minh rằng .
 a b c d b d
 a c ac a2 c2
Ví dụ 4: Cho tỉ lệ thức . với a,b,c,d 0 . Chứng minh: 
 b d bd b2 d 2
 2
 a c a b ab
Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức . với a,b,c,d 0 và c d . Chứng minh: 
 b d c d 2 cd
 2014
 a c a b a2014 b2014
Ví dụ 6: Cho tỉ lệ thức . với a,b,c,d 0 và c d . Chứng minh: 
 b d c d 2014 c2014 d 2014
 a c a a2 c2
Ví dụ 7: Cho với a,b,c 0 . Chứng minh rằng: 
 c b b b2 d 2
 a c b a b2 a2
Ví dụ 8: Cho với a,b,c 0 . Chứng minh rằng: 
 c b a a2 c2
 a c 5 5
Ví dụ 9: Cho tỉ lệ thức với a,b,c,d 0 và a b;c d 0 .
 b d 3 3
 3a 5b 3c 5d
 Chứng minh các tỉ lệ thức sau: 
 3a 5b 3c 5d
 a c 7a2 5ac 7a2 5bd
Ví dụ 10: Cho tỉ lệ thức với a,b,c,d 0 . Chứng minh: 
 b d 7b2 5ac 7b2 5bd
Bài tập áp dụng:
 a c
Bài 1: Cho tỉ lệ thức 1 với a, b, c, d 0 . Chứng minh rằng:
 b d
 a b c d a b c d a c
 a) b) c) 
 b d a c a b c d
 a 2 b 3 a b
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: với a 2;b 3 . Chứng minh rằng 
 a 2 b 3 2 3
Bài 3: Cho a d b c và a2 d 2 b2 c2 b,d 0 .
 Chứng minh rằng bốn số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức.
 a c
Bài 4: Cho tỉ lệ thức Chứng minh các tỉ lệ thức sau (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
 b d
 2
 a b a2 b2 2a 5b 2c 5
 a) b) 
 c d 2 c2 d 2 3a 4b 3c 4d
 2005a 2006b 2005c 2006d 2012a 2013b 2012c 2013d
 c) d) 
 2006c 2007d 2006a 2007b 2013a 2014b 2013c 2014d Bài 5: Cho b2 ac ; c2 bd với b,c,d 0 ; b c d ; b3 c3 d 3
 3
 a3 b3 c3 a b c 
 Chứng minh rằng: 3 3 3 
 b c d b c a 
 a b c
Bài 6: Cho . 
 2012 2013 2014
 2
 Chứng minh rằng: 4 a b b c c a 
 a a a a a
Bài 7: Cho dãy tỉ số bằng nhau 1 2 3 ........ 8 9 
 a2 a3 a4 a9 a1
 và a1 a2 ....... a9 0 . Chứng minh rằng: a1 a2 a3 ....... a9
Bài 8: Chứng minh rằng nếu a y z b z x c x y , trong đó a, b, c khác nhau và khác 0. Thì: 
 y z z x x y
 .
 a b c b c a c a b 
 a2 b2 ab
Bài 9: Cho với a,b,c,d 0 ; c d .
 c2 d 2 cd
 a c a d
 CMR hoặc hoặc 
 b d b c
 ax2 bx c a b c
Bài 10: Cho p . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.
 a1x b1x c1 a1 b1 c1