Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Chương 2 - Bài 3: Đa thức. Cộng, trừ đa thức

 BÀI 3. ĐA THỨC. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC. 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Trình bày được khái niệm đa thức. 
 + Nắm vững thứ tự ưu tiên trong việc thực hiện cộng, trừ đa thức. 
 + Trình bày được khái niệm bậc của đa thức. 
  Kĩ năng 
 + Thực hiện được cộng, trừ và thu gọn đa thức. 
 + Tìm được bậc của đa thức. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
 Đa thức 
 Đa thức là một tổng các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng 
 a2 a ab là một đa thức. 
là một hạng tử của đa thức đó. 
 2
 Mỗi đơn thức được coi là một đa thức. x là một đa thức. 
 Bậc của đa thức là bậc cao nhất của các hạng tử có bậc cao 5
 Đa thức 1 x3 có bậc là 3 . 
nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. 9
 Cộng, trừ đa thức Cộng hai đa thức: 
 Bước 1. Viết hai đa thức trong dấu ngoặc; M 4 x3 2 xyxy 2 1; N 3 xyxy 2 ; 
 MN 4 x3 2 xyxy 2 1 3 xyxy 2 
 Bước 2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc “dấu 4x3 2 xyxy 2 1 3 xyxy 2 
ngoặc”); 
 Bước 3. Áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp, nhóm các 4x3 2 xy 2 3 xy 2 ( xyxy ) 1 
hạng tử đồng dạng; 
 Bước 4. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. 4x3 xy 2 2 xy 1. 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Nhận biết đa thức 
 Phương pháp giải 
Để nhận biết một biểu thức là đa thức, ta căn cứ Ví dụ: 
vào định nghĩa đa thức. x5
 Các biểu thức x2 1;2 x 3 5 xy ; xyz ,  là 
 3
 các đa thức. 
 x2 2 xy 3 11
 Các biểu thức ; ; .. không 
 x2 x 1 x
 phải là các đa thức. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức? 
 1 3 1
 a) x2 3 . b) x 1 . c) x xy2 . 
 x 5 2
 x2 2 z
 d) x2 yz ax b . e) . f) xz . 
 20192 x2 1
 Trang 2 
 Hướng dẫn giải 
 Các biểu thức trong các ý a, c, d, e là đa thức. 
Ví dụ 2. Biểu thức nào không là đa thức trong các biểu thức sau? 
 a) 3x2 xyz 3 z . b) xy 5 xyz3 . 
 x2 2 yz 3
 c) . d) 3x2 yz 3 . 
 xy
 x2 2 5
 đ) (a là hằng số). e) 2xy . 
 a2 1 x
 Hướng dẫn giải 
 Các biểu thức trong các ý c, e không là đa thức. 
Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức? 
 1 1
 a) x2 1. b) x 2 . c) x xy . 
 x 1 2
 3x2 1 3a
 d) x2 z ax by . e) . f) xa . 
 2020 x2
Câu 2. Biểu thức nào không là đa thức trong các biểu thức sau? 
 x2 y 3 z 3
 a) a2 2 ab 3 c . b) xy2 xz 3 . c) . 
 x
 x2 1 1
 d) 100xy2 100 z 3 . e) (a là hằng số). f) xy . 
 a50 1 x
Dạng 2: Thu gọn đa thức 
 Phương pháp giải 
 Để thu gọn đa thức ta thực hiện hai bước: Ví dụ: Thu gọn đa thức sau: 
 A 2 x3 2 xyx 2 5 xyx 2 x 3 
 Hướng dẫn giải 
 Bước 1. Nhóm các đơn thức đồng dạng với 
 Ta có A 2 x3 2 xyx 2 5 xyx 2 x 3 
 nhau. 
 Bước 2. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong A 2 xx3 3 (2 xyxy 5) xx 2 2 
 từng nhóm. 
 A (2 1) x3 ( 2 5) xy 0 
 A x3 3 xy . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Thu gọn đa thức sau: 
 Trang 3 
 1
 a) My 22 y y 2 5 yy 2 . 
 2
 1 1 1
 b) N xyxy2 2 xy xy 2 5 xy xy 2 . 
 3 2 3
 1 1 1 2 1
 c) P 5 xy2 3 xy xyxy 2 5 xy x x . 
 2 3 2 3 4
 Hướng dẫn giải 
 1
 a) My 22 y y 2 5 yy 2 
 2
 21 2 2 
 y yy (2 yy 5) 
 2 
 1 2
 1 1 y ( 2 5) y 
 2 
 1
 y2 3 y . 
 2
 1 1 1
 b) N xyxy2 2 xy xy 2 5 xy xy 2 
 3 2 3
 12 1 2 2 1 2 
 xy xy xy xy ( xy 5 xy ) 
 3 3 2 
 1 2
 0 1 xy ( 1 5) xy 
 2 
 3
 xy2 6 xy . 
 2
 1 1 1 2 1
 c) P 5 xy2 3 xy xyxy 2 5 xy x x 
 2 3 2 3 4
 21 2 1 2 1 1
 5xy xy (3 xyxy 5) xy x x 
 2 3 3 2 4
 12 1 2 1
 5xy ( 3 1 5) xy x 
 2 3 3 4
 11 1 1
 xy2 xy x . 
 2 3 4
Ví dụ 2. Thu gọn đa thức sau: 
 1 1 2
 a) Axx 22 x 2 5 x . b) B 5 xy xy2 xy 2 xy 2 . 
 2 2 3
 Hướng dẫn giải 
 1
 a) Axx 22 x 2 5 x 
 2
 Trang 4 
 21 2 
 2x x xx 5 
 2 
 1 2
 2 x 1 5 x 
 2 
 3
 x2 6 x . 
 2
 12 2 2 2 1 2 2 
 b) B 5 xy xy xy 2 xy 5 xy xy xy 2 xy 
 2 3 3 2 
 2 1 2
 5 xy 2 xy 
 3 2 
 13 5
 xy xy2 . 
 3 2
Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1. Thu gọn đa thức sau: 
 a) M 2 y2 3 yy 2 5 yy 2 . 
 1 1
 b) N xyxy2 2 xy2 xy 2 xy xy 2 . 
 4 4
 2 1
 c) P 3 xy2 4 xyxyxy 2 5 xyx 1 x . 
 3 4
Câu 2. Thu gọn đa thức sau: 
 1
 a) Axxxx 33 2 2 2 2 x . b) B 3 ab a2 b ab 2 a 2 b . 
 2
Dạng 3: Tìm bậc của đa thức 
 Phương pháp giải 
Để tìm bậc của đa thức, ta làm như sau: Ví dụ: Tìm bậc của đa thức sau: 
 3xxx4 3 2 2 3 3 x 4 . 
Bước 1. Viết đa thức ở dạng thu gọn. Ta có 
 3xxx4 3 2 2 3 3 xxx 4 3 2 2 3. 
Bước 2. Bậc của đa thức là bậc của hạng tử bậc Đa thức có bậc 3. 
cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm bậc của các đa thức sau: 
 a) x3 2 x 5 xy 3 x 2 x 3 . 
 b) y4 4 y 2 3 yy 3 4 . 
 Hướng dẫn giải 
 Trang 5 
 a) x3 2 xxyxx 5 3 2 3 3 x 2 5 xy 2 x . 
 Vậy đa thức có bậc 2. 
 b) yyyy4 4 2 3 3 4 2 yyy 4 4 2 3 . 
 Vậy đa thức có bậc 4. 
Ví dụ 2. Tìm bậc của các đa thức sau (a là hằng số): ax3 2 xy 5. 
 Hướng dẫn giải 
 Nếu a 0 , đa thức có bậc 3. 
 Nếu a 0 , đa thức có bậc 2. 
Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1. Tìm bậc của các đa thức sau: 
 a) x4 2 xxy x 4 . b) y4 y 2 y 4 xy 2 2 . 
Câu 2. Tìm bậc của các đa thức sau (a là hằng số): 
 a) ax 2 xy 5 . b) ax2 x 2 1. 
Dạng 4: Tính giá trị của đa thức 
 Phương pháp giải 
Để tính giá trị của đa thức, ta làm như sau Tính giá trị đa thức Ax 2 x tại x 3. 
 Bước 1. Thu gọn đa thức. Ax 2 x 3 x . 
 Bước 2. Thay giá trị đã cho của các biến vào đa Thay x 3 vào đa thức ta được: 
 thức thu gọn rồi thực hiện phép tính. A 3.3 9 . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho đa thức A 6 xy2 50,5 xy 2 xy 2 51,5 xy 2 . 
 a) Thu gọn A . 
 b) Tìm bậc của A . 
 1
 c) Tính giá trị của A tại x ; y 14 . 
 7
 Hướng dẫn giải 
 a) Ta có A 6 xy2 50,5 xy 2 xy 2 51,5 xy 2 
 6xy2 1. xy 2 50,5 xy 2 51,5 xy 2 
 6 1xy2 50,5 51,5 xy 2 
 7xy2 xy 2
 b) Bậc của A bằng 3. 
 1
 c) Thay x ; y 14 vào đa thức A, ta được: 
 7
 Trang 6 
 2
 1 1 2
 A 7. . 14 .14 2 28 30 . 
 7 7
 1 1
Ví dụ 2. Cho đa thức B 2 xy2 xyx 3 xyxy 3 2 x 4 xy 2 . 
 3 3
 a) Thu gọn B . 
 b) Tìm bậc của B . 
 c) Tính giá trị của B tại x 1; y 2 . 
 Hướng dẫn giải 
 1 1
 a) Ta có B 2 xy2 xyx 3 xyxy 3 2 x 4 xy 2 
 3 3
 2 2 1 3 1 3 2
 2xy xy xy xy xx 4 xy
 3 3 
 2 1 xy2 0 0 4 xy 2 
 xy2 4 xy 2
 b) Bậc của B bằng 3 . 
 c) Thay x 1, y 2 vào đa thức B, ta được: 
 B 1.22 4.1 2 .2 4 8 12. 
Bài tập tự luyện dạng 4 
Câu 1: Cho đa thức Ax 32 2 xx 2 1 2 x . 
 a) Thu gọn A . 
 b) Tính giá trị của A tại x 1. 
Câu 2: Cho đa thức M ab3 a2 b 2 a 2 2 ab 3 a 2 b . 
 a) Thu gọn M . 
 b) Tìm bậc của M và tính giá trị của M tại a 2; b 1. 
Câu 3: Cho đa thức Mxx 23 3 2 1 xx 3 5 2 2 . 
 a) Thu gọn M . 
 b) Tìm bậc của M . 
 c) Tính giá trị của M tại x 2 . 
 1 1
Câu 4: Cho đa thức P 2 xy xy3 2 xy xy 3 2 y 1. 
 2 2
 a) Thu gọn P . 
 b) Tính giá trị của P tại x 0,1; y 2 . 
Câu 5: Cho abc,, là những hằng số thỏa mãn a b c 2006 . Tính giá trị của các đa thức sau: 
 a) A ax3 y 3 bx 2 y cxy 2 tại x 1; y 1. 
 b) B ax2 y 2 bx 4 y cxy 6 tại x 1; y 1. 
 Trang 7 
 c) C axy bx2 y 2 cx 4 y tại x 1; y 1. 
Dạng 5: Tính tổng, hiệu của hai đa thức 
 Phương pháp giải 
 Để tính tổng (hiệu) của hai đa thức, ta thực hiện Tính tổng Px() Qx () biết: 
 cộng (trừ) hai đa thức đó: Px( ) 2 x 1; Qx ( ) 3 x 1. 
 Hướng dẫn giải 
 Bước 1. Viết hai đa thức trong dấu ngoặc; PxQx( ) ( ) (2 x 1) (3 x 1) 
 Bước 2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc 
 PxQx( ) ( ) 2 x 1 3 x 1 
 dấu ngoặc); 
 Bước 3. Nhóm các hạng tử đồng dạng; PxQx() () (2 x 3) x (11) 
 Bước 4. Cộng hoặc trừ các đơn thức đồng dạng. 
 Px( ) Qx ( ) 5 x 2 . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tính tổng Px() Qx () và hiệu Px() Qx () biết: 
 Pxx( ) 4 3 xx 3 2 2 x 2 và Qxxx( ) 4 3 2 x 2 2 x 1. 
 Hướng dẫn giải 
 PxQx( ) ( ) x4 3 xx 3 2 2 x 2 xx 4 3 2 x 2 2 x 1 
 xxxx43 3 2 2 2 xxxx 4 3 2 2 2 1 
 xx4 4 3 xx 3 3 xx 2 2 2 (22)(21) xx 
 2x4 4 x 3 3 x 2 4 x 3 . 
 PxQx( ) ( ) x4 3 xx 3 2 2 x 2 xx 4 3 2 x 2 2 x 1 
 xxxx43 3 2 2 2 xxxx 4 3 2 2 2 1 
 xx4 4 3 xx 3 3 xx 2 2 2 (22)(21) xx 
 0 2x3 x 2 0 1 
 2x3 x 2 1. 
Ví dụ 2. Tính tổng Px() Qx () và hiệu Px() Qx () biết: 
 Px( ) x4 5 xx 3 2 x 1 và Qxx( ) 4 2 x 3 2 x 2 3 x 2 . 
Hướng dẫn giải 
 PxQx( ) ( ) x4 5 xxx 3 2 1 x 4 2 x 3 2 x 2 3 x 2 
 xxxx45 3 2 1 x 4 2 xxx 3 2 2 3 2 
 xx4 4 5 xx 3 2 3 xx 2 2 2 ( xx 3 ) (1 2) 
 2x4 7 x 3 3 x 2 4 x 3. 
 Trang 8 
 PxQx( ) ( ) x4 5 xxx 3 2 1 x 4 2 x 3 2 x 2 3 x 2 
 xxxx45 3 2 1 xxxx 4 2 3 2 2 3 2 
 xx4 4 5 xx 3 2 3 xx 2 2 2 ( xx 3 ) (1 2) 
 0 3xx3 2 2 x 1 
 3xx3 2 2 x 1. 
Bài tập tự luyện dạng 5 
Câu 1. Tìm tổng A B và hiệu A B của hai đa thức rồi tìm bậc của chúng biết: 
 1 1
 Ax 23 4 xy 2 1 xyy 2 4 1; B 2 x 3 1 xyy 2 4 3 . 
 3 2
Câu 2. Cho hai đa thức: Ax 24 xBx 1; 2 2 2 x . 
 a) Tính C AB . 
 b) Tìm bậc của C. 
 c) Tính giá trị của C tại x 1. 
Dạng 6: Tìm một trong hai đa thức biết đa thức tổng hoặc đa thức hiệu và đa thức còn lại 
 Phương pháp giải 
 Tìm đa thức A biết Ax 2 x 1. 
 Nếu M B A thì M AB . Hướng dẫn giải 
 Nếu M B A thì M AB . A 2 x 1 x 
 Nếu AM B thì M AB . A x 1. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Tìm đa thức P; Q biết: 
 a) Px 22 y 2 xy 2 2 3 xy 2 1. 
 b) Q 5 x2 xyz xy 2 x 2 3 xyz 5 . 
 Hướng dẫn giải 
a) Ta có Px 22 y 2 xy 2 2 3 xy 2 1 
 Pxy 2 23 xy 2 1 x 2 2 y 2 
 xy2 23 xy 2 1 x 2 2 y 2 
 xx2 2 y 22 y 2 3 xy 2 1 
 0y2 3 xy 2 1 
 y23 xy 2 1. 
b) Ta có Q 5 x2 xyz xy 2 x 2 3 xyz 5 
 Trang 9 
 Q xy2 x2 3 xyz 5 5 x 2 xyz 
 xy2 x2 3 xyz 5 5 x 2 xyz 
 xy 2 x2 5 x 2 ( 3 xyzxyz ) 5 
 xy7 x2 4 xyz 5 . 
Bài tập tự luyện dạng 6 
Câu 1. Tìm M biết: 
 a) M 5 x2 2 xy 6 x 2 9 xyy 2 . b) M 6 x2 4 xy 7 x 2 8 xyy 2 . 
Câu 2. Tìm A biết: 
 a) 3ab b2 a A ab b 2 a . b) 2Ax 2 3 x 1 3 xx 2 3 . 
 PHẦN ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Nhận biết đa thức 
Câu 1. Các biểu thức trong các ý a, c, d, e là đa thức. 
Câu 2. Các biểu thức trong các ý c, e không là đa thức. 
Dạng 2. Thu gọn đa thức 
Câu 1. 
 a) M 2 y2 3 yy 2 5 yy 2 
 M 2 yyy2 2 2 (35) yy 
 M 2 y2 2 y . 
 1 1
 b) N xyxy2 2 xy2 xy 2 xy xy 2 
 4 4
 12 1 2 2 2
 N xy xy xy2 xy ( xyxy ) 
 4 4 
 N 3 xy2 . 
 2 1
 c) P 3 xy2 4 xyxyxy 2 5 xyx 1 x 
 3 4
 2 2 2 1 
 P 3 xyxy ( 4 xyxy 5 xy ) x x 1 
 3 4 
 x 3
 P 4 xy2 . 
 3 4
Câu 2. 
 a) Axxxx 33 2 2 2 2 x 
 Axxxx 33 2 2 2 2 x 
 Trang 10