Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Chương 2 - Bài 1: Đại lượng tỉ lệ thuận. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

 CHƯƠNG 2 
 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 
 BÀI 1: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau và nêu được một số ví dụ về đại lượng 
 tỉ lệ thuận. 
 + Nắm được tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận. 
 + Nắm được phương pháp giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận. 
  Kĩ năng 
 + Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Tìm được hệ số tỉ lệ và công thức biểu diễn đại 
 lượng tỉ lệ thuận. 
 + Lập được bảng giá trị tương ứng giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận và ngược lại, xét tương quan tỉ lệ 
 thuận giữa hai đại lượng khi biết bảng giá trị tương ứng của chúng. 
 + Giải được một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, bài toán chia tỉ lệ. 
 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Định nghĩa 
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x 
theo công thức: y kx (với k là hằng số 
khác 0 ) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x 
theo hệ số tỉ lệ k . 
Chú ý v 1,5 m/phút 
Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ Quãng đường s (m) mà con kiến bò được trong thời gian t 
 k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ (phút) với vận tốc 1,5m/phút tỉ lệ thuận với nhau theo công 
 thức s 1,5 t . 
 1
là . 
 k
Tính chất 
Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì 
Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng 
luôn không đổi. 
 y y y y
 1 2 3 ... n k 
 xxx1 2 3 xn
Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này 
bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại 
 Trang 1 
lượng kia. 
 x yx y x y
 1 1, 1 1 ,...,m n . 
 xyxy2 2 3 3 xn y n
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Xác định tương quan giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận 
Bài toán 1. Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Xác đinh hệ số tỉ lệ và công thức biểu diễn 
đại lượng tỉ lệ thuận 
 Phương pháp giải 
Dựa vào các yếu tố của đề bài, ta thực hiện như Ví dụ: 
sau: a) Quãng đường đi được s (km) của một vật 
Bước 1. Xác định hai đại lượng tỉ lệ thuận x , y và chuyển động đều theo thời gian t (giờ) với vận tốc 
hệ số tỉ lệ k . 10 km/h là hai đại lượng tỉ lệ thuận. 
Bước 2. Biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng Khi đó hệ số tỉ lệ k 10 . 
 x và y theo công thức y kx . Suy ra quãng đường s tỉ lệ thuận với thời gian t 
 theo công thức s 10 t . 
 b) Khối lượng m (kg) theo thể tích V (m3) của 
 thanh kim loại đồng chất là hai đại lượng tỉ lệ 
 thuận. 
 Vì thanh kim loại đồng chất có khối lượng riêng là 
 D (kg/m3) (D là hằng số khác 0) nên hệ số tỉ lệ 
 k D . 
 Vậy khối lượng m tỉ lệ thuận với thể tích V theo 
 công thức m D.V . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 5. Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào? 
Hướng dẫn giải 
 1
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k 5 nên ta có y 5 x . Suy ra x y nên đại 
 5
 1 1
lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ . 
 k 5
Ghi nhớ: 
Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k thì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng 
 1
 y theo hệ số tỉ lệ . 
 k
 Trang 2 
Ví dụ 2. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x 8 thì y 3 . 
a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x . 
b) Hãy biểu diễn y theo x . 
c) Tính giá trị của y khi x 2 và x 5. 
Hướng dẫn giải 
a) Vì x và y hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có công thức y kx . 
 3
Theo điều kiện, khi x 8 thì y 3 nên thay vào công thức, ta có 3 k .8 k . 
 8
 3
Vậy hệ số tỉ lệ k . 
 8
 3 3
b) Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k nên y x. 
 8 8
 3
c) Ta có y x . 
 8
 3 3
- Với x 2 ta có y . 2 . 
 8 4
 3 15
- Với x 5 ta có y .5 . 
 8 8
Ví dụ 3. Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là k 2 và y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 
 3
 h . Hỏi z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là bao nhiêu? 
 5
Hướng dẫn giải 
Vì đại lượng z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là k 2 nên z 2 y . 
 3 3
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ h nên y x . 
 5 5
 3 6
Do đó z 2. xx . 
 5 5
 6
Suy ra đại lượng z tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là . 
 5
Ghi nhớ: Nếu z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là k1 và y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k2 thì z tỉ 
lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ kk1 2 . 
Ví dụ 4. Biết rằng y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k k 0 và y2 tỉ lệ thuận với x2 theo hệ số tỉ lệ 
 k . Hỏi y1 y 2 có tỉ lệ thuận với x1 x 2 không? Nếu có hãy tìm hệ số tỉ lệ? 
Hướng dẫn giải 
Vì y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k nên y1 kx 1 
 Trang 3 
Vì y2 tỉ lệ thuận với x2 theo hệ số tỉ lệ k nên y2 kx 2 . 
Do đó y1 y 2 kx 1 kx 2 kx 1 x 2 . 
Suy ra y1 y 2 tỉ lệ thuận với x1 x 2 theo hệ số tỉ lệ k . 
Nhận xét: Nếu y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k k 0 và y2 tỉ lệ thuận với x2 theo hệ số tỉ lệ k 
thì y1 y 2 có tỉ lệ thuận với x1 x 2 theo hệ số tỉ lệ k . 
Ví dụ 5. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1, x 2 là hai giá trị của x và y1, y 2 là hai giá trị 
tương ứng của y. Biết rằng khi x1 x 2 12 thì y1 y 2 3 . 
a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và biểu diễn y theo x . 
b) Tính giá trị của y khi x 2, x 4 . 
Hướng dẫn giải 
a) Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k k 0 nên ta có công thức: y kx . 
Khi đó y1 y 2 tỉ lệ thuận với x1 x 2 theo hệ số tỉ lệ k . 
Do đó y1 y 2 kx 1 x 2 
Thay x1 x 2 12 và y1 y 2 3 vào công thức, ta được 
 3 1
 3k .12 k . 
 12 4
 1
Vậy công thức biểu diễn y theo x là y x . 
 4
 1 1
b) Với x 2 ta có y . 2 . 
 4 2
 1
Với x 4 ta có y .4 1. 
 4
Nhận xét: 
Nếu y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k k 0 và y2 tỉ lệ thuận với x2 theo hệ số tỉ lệ k thì y1 y 2 
tỉ lệ thuận với x1 x 2 theo hệ số tỉ lệ k . 
Bài toán 2. Xét tương quan tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng khi biết bảng giá trị tương ứng của chúng 
 Phương pháp giải 
Khi giá trị của các đại lượng khác 0, ta có thể xét Ví dụ: Các giá trị tương ứng của V và m được cho 
tương quan như sau trong bảng sau 
Bước 1. Xem xét tất cả các thương giữa các giá trị V 1 2 3 4 5 
tương ứng của hai đại lượng có bằng nhau không? m 4,2 8,4 12,6 18,6 21 
 Trang 4 
Bước 2. Rút ra kết luận m 
Nếu các thương đó bằng nhau thì các đại lượng tỉ lệ V
thuận. Lập công thức biểu thị mối liên hệ giữa hai 
đại lượng. a) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng. 
Nếu các thương đó không bằng nhau thì các đại b) Hai đại lượng m và V có tỉ lệ thuận với nhau 
lượng không tỉ lệ thuận. hay không? Vì sao? 
 Hướng dẫn giải 
 a) Các ô trống đều được điền số 4,2. 
 b) Hai đại lượng m và V tỉ lệ thuận với nhau vì 
 m 4, 2 V . 
 Ta có thể nói: Đại lượng m tỉ lệ thuận với đại 
 lượng V theo hệ số tỉ lệ k 4,2 hoặc đại lượng V 
 tỉ lệ thuận với đại lượng m theo hệ số tỉ lệ 
 1 1 5
 . 
 k 4, 2 21
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Các giá trị tương ứng của t và s được cho trong bảng sau 
T 1 2 3 4 5 
S 9 18 27 36 45 
 s 
 t
a) Điền các số thích hợp vào các ô trống trong bảng trên. 
b) Hai đại lượng s và t có tỉ lệ thuận với nhau hay không? 
Nếu có, hãy tìm hệ số tỉ lệ. 
Hướng dẫn giải 
a) Các ô trống đều được điền số 9. 
b) Hai đại lượng s và t tỉ lệ thuận với nhau vì s 9 t . 
Ta nói: Đại lượng s tỉ lệ thuận với đại lượng t theo hệ số tỉ lệ k 9 hoặc đại lượng t tỉ lệ thuận với đại 
 1 1
lượng s theo hệ số tỉ lệ . 
 k 9
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Hãy chọn đáp án đúng (câu 1 đến câu 4) 
Câu 1: Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là 2019 thì đại lượng x tỉ lệ thuận 
với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là 
 Trang 5 
 1 1
 A. . B. 2019 . C. . D. 2019 . 
 2019 2019
 1
Câu 2: Cho đại lượng x , y liên hệ với nhau bởi công thức thì y x phát biểu nào sao đây là đúng? 
 2
 1
 A. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k . 
 2
 1
 B. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k . 
 2
 1
 C. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k . 
 2
 D. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k 2 . 
Câu 3: Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2 và x tỉ lệ thuận với đại lượng z 
 3
theo hệ số , tỉ lệ thì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là 
 8
 4 3 3 4
 A. . B. . C. . D. . 
 3 4 4 3
Câu 4: Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x và khi x 5 thì y 15 . Khi y 6 thì đại lượng 
 x có giá trị là 
 A. 18 . B. 2. C. 18. D. 2. 
Câu 5: Hãy viết công thức tính 
a) Quãng đường đi được S (km) theo thời gian t (giờ) của một vật chuyển động đều với vận tốc 20 km/h. 
b) Chu vi C của hình vuông theo cạnh có độ dài a cm. 
Câu 6: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x 2 thì y 12. 
a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và biểu diễn y theo x . 
b) Tính giá trị của y khi x 3 và x 7 . 
Câu 7: Cho bảng sau 
 x 5 3 2 4 6 
 y 10 6 4 8 12 
Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? Vì sao? 
ĐÁP ÁN 
Câu 1: Chọn C. 
 1
Ta có y 2019 xx y . 
 2019
Câu 2: Chọn B. 
 1 1
Vì y x nên ta nói đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ hoặc đại lượng x tỉ 
 2 2
lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ 2. 
Câu 3: Chọn B. 
 Trang 6 
 3 3 
Ta có y 2 x và x z nên y 2. z . 
 8 8 
 3
Vậy đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 
 4
Câu 4: Chọn D. 
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có y kx k 0 . 
Khi x 5 thì y 15 nên ta có 15 k .5 k 3. Vậy y 3 x . 
Với y 6 thì 3x 6 x 2 . 
Câu 5: 
a) Quãng đường đi được S (km) theo thời gian t (giờ) của một vật chuyển động đều với vận tốc 20 km/h 
được xác định theo công thức S 20 t . 
b) Chu vi C của hình vuông theo cạnh có độ dài a cm là C 4 a . 
Câu 6: 
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có công thức y kx k 0 . 
Tại x 2 thì y 12 nên thay vào công thức trên ta có 12 k . 2 
Do đó k 6 và có biểu diễn y theo x là y 6 x . 
Khi x 3 thì y 6. 3 18. 
Khi x 7 thì y 6.7 42 . 
Câu 7: 
Xét thương của hai giá trị tương ứng của hai đại lượng y và x . Ta có 
 10 6 8 12 4
 2; 2 
 5 3 4 6 2
 10 6 8 12 4
 5 3 4 6 2
Vậy hai đại lượng x và y được cho ở trên không phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận. 
Dạng 2: Dựa vào tính chất của tỉ lệ thuận để tìm các đại lượng 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Sử dụng các tính chất của hai đại lượng tỉ Ví dụ: 
lệ thuận để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1, x 2 
đã biết và các đại lượng cần phải xác định. 
 là hai giá trị của x và y1, y 2 là hai giá trị tương ứng 
Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì 
 của y . Biết rằng x1 4, x 2 10 và y1 y 2 7 . 
- Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không 
 a) Tính y và y . 
đổi 1 2
 y y y y b) Biểu diễn y theo x . 
 1 2 3 .... n k . 
 xxx1 2 3 xn Hướng dẫn giải 
 Trang 7 
- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. 
hai giá trị tương ứng của đại lượng kia y y
 1 2 k . 
 x yx y x y x x
 1 1, 1 1 ,..., m m . 1 2
 xyxy x y
 2 2 3 3 n n Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta 
Bước 2. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có 
để tìm các đại lượng. y y
 1 2 k . 
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x1 x 2
 a c ac ac Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có 
 b d b d b d y y yy 7 1
 k 1 2 1 2 
 ac e abe ace ace x x xx 4 10 2
 1 2 1 2 
 bd fbdfbdfbdf 
 1 1
 Vậy k , suy ra y 4. 2 
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa). 2 1 2
 1
 Và y 10. 5 . 
 2 2
 1
 b) Công thức biểu diễn y theo x là y x . 
 2
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1, x 2 là hai giá trị của x và y1, y 2 là hai giá trị tương 
ứng của y . Biết rằng x1 0,5, x 2 1,5 và 2y1 3 y 2 10,5 . 
a) Tính y1 và y2 . 
b) Biểu diễn y theo x . 
Hướng dẫn giải 
a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau nên áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta 
 y y
có 1 2 k . 
 x1 x 2
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có 
 yy2 y 3 y 2 yy 3 10,5
 k 1 2 1 2 1 2 3 
 xx1 22 x 1 3 x 2 2 xx 1 3 2 2. 0,5 3. 1,5 
Vậy k 3 
Suy ra y1 0,5. k 0,5. 3 1,5 và y2 1,5. 3 4,5 
b) Công thức biểu diễn y theo x là y 3 x . 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Hãy chọn đáp án đúng trong câu 1 và câu 2 
 Trang 8 
Câu 1. Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x . Biết rằng với hai giá trị x1, x 2 của x có x1 x 2 1 
thì hai giá trị tương ứng y1, y 2 của y có y1 y 2 4 . Hỏi x và y liên hệ với nhau bởi công thức nào? 
 1 1
 A. y 2 x . B. y x . C. y 4 x . D. y x . 
 4 4
Câu 2: Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x . Biết rằng với hai giá trị x1, x 2 của x có tổng bằng 
 2 thì hai giá trị tương ứng y1, y 2 của y có tổng bằng 6. Khi đó hai đại lượng x và y liên hệ với nhau 
bởi công thức nào? 
 1 1
 A. y x. B. y 3 x . C. y 3 x . D. y x . 
 3 3
Câu 3: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Khi các giá trị x1, x 2 của x có tổng bằng 2 thì hai giá trị 
tương ứng y1, y 2 có tổng bằng 14. Hãy biểu diễn y theo x . 
Câu 4 : Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1, x 2 là hai giá trị của x và y1, y 2 là hai giá trị 
tương ứng của y . Biết rằng khi x1 1 và x2 3 thì y1 2 y 2 5. 
a) Tính y1 và y2 . 
b) Biểu diễn y theo x . 
c) Tính giá trị của y khi x 5 và x 2 . 
ĐÁP ÁN 
Câu 1: Chọn C. 
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có y kx k 0 
 y y
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có 1 2 k . 
 x1 x 2
 x x 1
Theo giả thiết ta có 1 2 
 y1 y 2 4
 y y yy 4
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có k 1 2 1 2 4 
 x1 x 2 xx 1 2 1
Vậy y 4 x . 
Câu 2: Chọn B. 
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có y kx k 0 
 y y
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có 1 2 k . 
 x1 x 2
 x x 2
Theo giả thiết ta có 1 2 
 y1 y 2 6
 y y yy 6
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có k 1 2 1 2 3 
 x1 x 2 xx 1 2 2
 Trang 9 
Vậy y 3 x . 
Câu 3: 
Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên ta có y kx k 0 
 y y
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có 1 2 k . 
 x1 x 2
 x x 2
Theo giả thiết ta có 1 2 
 y1 y 2 14
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có 
 y y yy 14
 1 2 1 2 7 nên k 7 yx 7 . 
 x1 x 2 xx 1 2 2
Câu 4: 
 y y
Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận, ta có 1 2 . 
 x1 x 2
 yy2 yy 2 y
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có 1 2 2 1 2 
 xx1 22 xxx 2 1 2 2
 y y 5 5
Theo giả thiết, ta có x 1 và x 3 thì y 2 y 5. Do đó 1 2 . 
 1 2 1 2 1 3 1 2.3 7
 5 5 5 15
Suy ra y . 1 ; y .3 . 
 17 7 2 7 7
 y y 5 5
b) Ta có hệ số tỉ lệ k 1 2 nên y x . 
 x1 x 2 7 7
 25 10
c) Khi x 5 thì y và khi x 2 thì y . 
 7 7
Dạng 3: Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Xác định hệ số tỉ lệ k (với k 0 ) bằng tỉ Ví dụ: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận 
số hai giá trị tương ứng đã biết của hai đại lượng tỉ và bảng sau 
lệ thuận. 
 x x1 12 x2 3 x3 3 x4 6 
Bước 2. Dùng công thức y kx (với k 0 ) để tìm y 
 y1 ? y2 ? y3 ? y4 2 
các giá trị tương ứng của biết x và y . 
 a) Điền số thích hợp vào ô trống. 
 b) Có nhận xét gì về tỉ số giữa hai giá trị tương 
 ứng? 
 Hướng dẫn giải 
 a) x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y kx . 
 Ta có y4 kx. 4 
 Trang 10