Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Chương 1 - Bài 5: Từ vuông góc đến song song

 CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 
 BÀI 5: TỪ VUÔNG GÓC ĐẾN SONG SONG 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phát biểu được quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song. 
 + Phát biểu được tính chất của ba đường thẳng song song. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng được các tính chất để chứng minh bài toán. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song 
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một 
đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. 
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai 
đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với 
đường thẳng kia. 
 a c
 a// b . 
 b c
 a// b
 c  b . 
 c a
Ba đường thẳng song song 
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với 
đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. 
 a// c
 a// b 
 b// c
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song 
 Phương pháp giải 
Chứng minh hai đường thẳng song song: Ví dụ 1: Cho hình vẽ: 
Ngoài sử dụng các dấu hiệu (hai góc so le trong 
bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc 
trong cùng phía bù nhau....), ta có thể dựa vào dấu 
hiệu: hai đường thẳng cùng vuông góc hoặc song 
song với một đường thẳng thứ ba. 
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có 
thể dựa vào: Chứng minh a// b . 
 • Định nghĩa hai đường vuông góc: Hai đường Hướng dẫn giải 
thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và Vì hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với 
trong các góc tạo thành có một góc vuông. đường c nên a// b . 
 • Một đường thẳng vuông góc với một trong hai Ví dụ 2: Cho hình vẽ: 
 Trang 2 
đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với 
một đường thẳng kia. 
 • Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông 
góc với nhau. 
 Chứng minh b c . 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có ADC BCD 140   40 180  . 
 Suy ra b// a (hai góc trong cùng phía bù nhau). 
 Ta có B 90  suy ra c a . 
 Mà b// a nên c b (quan hệ giữa tính vuông góc 
 và tính song song). 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho hình vẽ: 
Chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau. 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có B1 B 2 180  (hai góc kề bù). 
 Mà B2 140  nên B1 180  B 2 180  140  40  . 
 Vẽ tia Cx trong góc ACB sao cho Cx// a 
 A1 C 1 35 (hai góc so le trong bằng nhau). 
 Trang 3 
 Mặt khác ACB C1 C 2 C 2 ACB    C 1 75 35 40 . 
 Do đó B1 C 2 40  suy ra Cx// b (hai góc so le trong bằng nhau). 
 Vậy a// b (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba). 
Ví dụ 2. Cho hình vẽ: 
Biết A1 150  , B 60  và a// b . Chứng minh rằng AC BC . 
 Hướng dẫn giải 
 Ta có A1  A 2 180  (hai góc kề bù) A2 180   A 1 180  150  30 . 
 Từ C kẻ đường thẳng Cx// a // b (Cx nằm trong ACB ). 
 Ta có Cx// b nên C2 B 60  (hai góc so le trong); 
 Cx// a nên C1  A 2 30  (hai góc so le trong). 
 Mà tia Cx nằm giữa CA và CB nên ACB ACx BCx C1 C 2 60  30  90 . 
 Vậy AC BC . 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho hình vẽ: 
 Trang 4 
Biết a// b , A2 115 , B1 25 . Chứng minh AC BC . 
Câu 2: Cho góc AOB . Trên OA, OB lần lượt lấy C và D. Vẽ ngoài 
góc AOB hai tia Cx và tia Dy sao cho Cx// Dy . Biết OCx 35  , 
 ODy 55  (như hình vẽ dưới). 
Chứng minh OA OB . 
Dạng 2: Tính góc 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ 1: Cho hình vẽ: 
 Biết C 135  . Xác định số đo của các góc D1 . 
 Hướng dẫn giải 
Bước 1. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
 Ta có c a , c b (giả thiết) suy ra a// b (vì cùng 
hoặc song song. 
 vuông góc với c). 
Bước 2. Sử dụng tính chất các cặp góc đối đỉnh, 
 Do đó C1 D 1 180  (hai góc trong cùng phía). 
các góc kề bù nhau, các góc tạo bởi một đường 
thẳng cắt hai đường thẳng song song... để tính góc. Suy ra D1 180  C 1 180  135  45  . 
 Vậy D1 45  . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho hình vẽ: 
Biết a// b và B 60 . Xác định số đo của góc A1 . 
 Hướng dẫn giải 
 Trang 5 
 Trong góc ACB vẽ tia Cx// a , khi đó Cx// b (vì a// b ). 
 Suy ra C2 B 60  (hai góc so le trong). 
 Vì tia Cx nằm giữa tia CA và tia CB nên ACB C1 C 2 . 
 Suy ra C1 ACB C 2   90 60 30 . 
 Ta có Cx// a nên C1  A 1 180  (hai góc trong cùng phía) 
 A1 180  C 1 180   30 150 . 
 Vậy A1 150  . 
Ví dụ 2. Cho hình vẽ: 
Biết a// b và A1 50  , B1 30  . Tính số đo góc ACB . 
 Hướng dẫn giải 
 Từ C kẻ đường thẳng Cx// a (Cx nằm trong ACB ) 
 Mà a// b nên Cx// b . 
 Suy ra BCx C1 B 1 30 (hai góc so le trong) 
 Trang 6 
 Lại có Cx// a nên ACx C2  A 1 50 (hai góc so le trong) 
 Mà tia Cx nằm giữa CA và CB nên ACB ACx BCx C2    C 1 50 30 80 . 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho hình vẽ: 
Biết C1 125 , c a , c b . Tính D1 và D2 . 
Câu 2: Cho hình vẽ: 
Biết a// b , A1 B 1 C . Tìm x. 
Câu 3: Cho góc nhọn AOB . Từ M trên tia OA vẽ MN vuông góc với OB N OB , từ N vẽ NP vuông 
góc với OA P OA , từ P vẽ PQ vuông góc với OB Q OB , từ Q vẽ QR OAR OA . 
 a) Chứng minh MN// PQ và NP// QR . 
 b) Xác định các góc có số đo bằng số đo góc PMN , các góc có số đo bằng số đo MNP biết 
 QOR RQO 90 . 
 Trang 7 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song 
Câu 1. 
 Từ C kẻ đường thẳng Cx// a Cx // b (Cx nằm trong ACB ). 
 Vì Cx// b nên BCx C2 B 1 25 (hai góc so le trong). 
 Cx// a nên ACx  A2 180  (hai góc trong cùng phía). 
 Mà A2 115  nên ACx 180   A2 ACx 180  115   65 . 
 Mặt khác tia Cx nằm giữa CA và CB nên ACB ACx BCx C2    C 1 25 65 90 . 
 Vậy CA CB . 
Câu 2. 
 Trong góc AOB dựng tia OM// Cx OM // Dy . 
 Vì OM// Cx nên C1 O 1 (hai góc so le trong), 
 OM// Dy nên D1 O 2 (hai góc so le trong). 
 Mặt khác C1 35 , D1 55  nên 
 AOB O1 O 2 C 1 D 1   35 55 90 . 
 Vậy OA OB . 
Dạng 2. Tính góc 
Câu 1. 
 Ta có c a , c b (giả thiết) suy a// b (vì cùng 
vuông góc với c). 
 Vì a// b nên C1 D 2 125  (hai góc so le trong), 
 D1 C 1 180  (hai góc trong cùng phía). 
 Suy ra D1 180  C 1 180  125  55  . 
 Vậy D1 55  , D2 125  . 
Câu 2. 
 Từ C kẻ tia Cy// a Cy // b (Cy nằm trong ACB ). 
 Trang 8 
 Vì Cy// a nên C1 A 2 (hai góc so le trong), 
 Cy// b nên C2 B 2 (hai góc so le trong). 
 Mà A1  A 2 B 1 B 2 180  180  360  nên 
 AC1  1 B 1 C 2 360  . 
 Mặt khác ABCC1  1  2  1 x nên 
 ACBCx1  1 1 2 3 360  x 120  . 
Cây 3. 
 a) MN OB , PQ OB (giả thiết) suy ra MN// PQ 
 NP OA , QR OA (giả thiết) suy ra QR// PN 
 b) Vì MN// PQ nên PMN RPQ (hai góc đồng vị); 
 Lại có NP// QR nên PQR QPN (hai góc so le 
trong). 
 QPR QPN 90
 Mả RPQ OQR hay 
 OQR RQP 90
 OQR PMN 
 Mặt khác NP// QR nên OQR QNP (hai góc đồng vị). 
 Suy ra PMN QNP . 
 Vậy các góc có số bằng số đo PMN là QNP , QPR , OQR . 
 Vì MN// PQ nên MNP NPQ (hai góc so le trong bằng nhau); 
 QR// PN nên NPQ PQR (hai góc so le trong bằng nhau). 
 Mặt khác PQR RQO 90 ( PQ OB ) và QOR RQO 90 (giả thiết). 
 Suy ra QOR PQR . 
 Vậy các góc có số đo bằng góc MNP là NPQ , PQR , QOR . 
 Trang 9