Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Chương 1 - Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

 CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 
 BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phát biểu được định nghĩa hai đường thẳng vuông góc. 
 + Nắm vững cách vẽ và tính chất về hai đường thẳng vuông góc 
 + Nắm vững định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng 
  Kĩ năng 
 + Vẽ được hai đường thẳng vuông góc; đường trung trực của đoạn thẳng. 
 + Chứng minh được một số bài toán vuông góc đơn giản. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Định nghĩa 
Hai đường thẳng xx , yy cắt nhau và trong các 
góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai 
đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là 
 xx  yy . 
Tính chất hai đường thẳng vuông góc 
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm và 
vuông góc với một đường thẳng cho trước. 
Đường trung trực của đoạn thẳng 
Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại 
trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của 
đoạn thẳng ấy. 
Khi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì A 
và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d. 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Vẽ hình 
 Phương pháp giải 
Trường hợp điểm O cho trước nằm trên đường thẳng a. 
Trường hợp điểm O cho trước nằm ngoài đường thẳng a. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho ba điểm A, B, C bất kì không thẳng hàng. Hãy vẽ các đường trung trực của tam giác ABC. 
 Hướng dẫn giải 
 Trang 2 
 Ta thực hiện các bước như sau: 
 Bước 1. Dùng thước đo độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC. Xác định trung điểm của các đoạn thẳng 
 lần lượt là M, N, P. 
 Bước 2. Vẽ trung trực của đoạn thẳng BC. 
 Đặt một cạnh của ê ke trùng với đường thẳng BC. 
 Chuyển ê ke trượt theo đường thẳng BC sao cho cạnh góc vuông thứ hai của ê ke gặp điểm P. Vạch 
 một đường thẳng theo cạnh đó thì được đường thẳng trung trực của BC. 
 Tương tự ta vẽ trung trực của hai đoạn thẳng AB; AC. 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho tam giác ABC. Chỉ dùng ê ke vẽ các đường cao AH, BK và CE của tam giác ABC. 
Câu 2: Cho đoạn thẳng AB dài 10cm. Hãy vẽ đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Chỉ rõ cách vẽ. 
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
 Phương pháp giải 
Muốn chứng minh hai đường thẳng xx , yy vuông Ví dụ 1: Nếu xOy 90  thì xx  yy . 
góc với nhau, ta có thể sử dụng một trong các cách 
sau: 
Cách 1. Chứng minh một trong bốn góc tạo thành 
bởi hai đường thẳng ấy là góc vuông. 
Cách 2. Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau, từ 
đó suy ra có một góc bằng 90°. 
 xOy xOy 180
 Ví dụ 2: Nếu thì 
 xOy x Oy
 xOy x Oy 90 
 Suy ra xx  yy . 
 Trang 3 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1: Cho xOy 120 , trong góc xOy vẽ tia OM sao cho xOM 30 . Chứng minh OM Oy . 
 Hướng dẫn giải 
 Vì tia OM nằm giữa hai tia Ox và Oy nên xOy xOM MOy . 
 Mà xOy 120  và MOx 30  nên MOy xOy xOM 120    30 90 . 
 Suy ra OM Oy . 
 Phương pháp: Chứng minh MOy 90  . 
Ví dụ 2: Cho một điểm O nằm trên đường thẳng xx . Trên nửa mặt phẳng có bờ là xx dựng hai tia OM 
và ON sao cho xOM NOx 30 . Gọi tia Ot là phân giác của MON . Chứng minh Ot xx . 
 Hướng dẫn giải 
 1
 Tia Ot là phân giác của MON nên MOt NOt MON . 1 
 2
 Hai tia OM và ON cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ xx và tia Ot là phân giác của MON nên ON nằm 
 giữa Ox và Ot. Suy ra xOt xON NOt . 2 
 Trang 4 
 Từ 1 và 2 , ta có xOt xON MOt . * 
 OM nằm giữa Ox và Ot nên xOt xOM MOt 3 
 Mặt khác xOM x ON 30 . 4 
 Từ 3 và 4 , ta có xOt xON MOt . ** 
 1 1
 Từ * và ** suy ra xOt xOt xOx .180   90 . 
 2 2
 Vậy Ot xx (hai góc kề bù bằng nhau). 
 Phương pháp: Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau xOt xOt 90 . 
Ví dụ 3: Cho hai góc kề bù xOz và yOz , vẽ hai tia phân giác của xOz , yOz theo thứ tự là OA, OB. 
Chứng minh OA OB . 
 Hướng dẫn giải 
 1
 Ta có OA là tia phân giác xOz nên xOA AOz xOz . 
 2
 OB là tia phân giác yOz nên . 
 Vì Oz nằm giữa hai tia OA và OB nên 
 1 1 1 1
 AOB AOz BOz xOz yOz xOz yOz .180   90 . 
 2 2 2 2
 Vậy OA OB . 
 Ghi nhớ: Hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho góc xOy 50  . Vẽ góc yOz kề bù với góc xOy . Vẽ góc zOt 40  sao cho Ot nằm giữa hai 
tia Oz và Oy. Chứng minh Ot Oy . 
Câu 2: Cho xOy 90  , vẽ hai tia OA, OB ở trong góc đó sao cho xOA yOB 60 . Trên nửa mặt phẳng 
bờ Ox chứa tia Oy, vẽ tia OM sao cho Oy là tia phân giác của MOB . 
 a) Chứng minh tia OA là tia phân giác yOB , tia OB là tia phân giác xOA . 
 b) Chứng minh OM OA . 
Dạng 3: Các bài toán vận dụng 
 Trang 5 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho AOB 100  . Dựng trong góc AOB một tia OM vuông góc OA. 
 a) Tính số đo góc MOB . 
 b) Gọi OB là tia đối của tia OB. Tính số đo góc MOB . 
 Hướng dẫn giải 
 a) Vì OM nằm giữa hai tia OA và OB nên AOB AOM MOB . 
 Mà AOB 100  ( giả thiết), AOM 90  (do OM OA ) nên 
 MOB AOB MOA 100    90 10 . 
 b) Vì OB là tia đối của tia OB nên 
 BOM MOB 180  MOB 180  BOM 180   10 170  . 
Ví dụ 2. Cho góc xOy 140 . Ở ngoài của góc, vẽ hai tia OA và OB sao cho OA Ox , OB Oy . Gọi 
OM là tia phân giác của xOy và OM là tia đối của tia OM. 
 a) Chứng minh OM là tia phân giác của AOB . 
 b) Tính số đo góc xOB . 
 Hướng dẫn giải 
 a) Ta có xOy 140  (giả thiết), xOA yOB 90 (do OA Ox , OB Oy ) 
 AOB  360 xOy xOA yOB 
 Trang 6 
 360  140  90  90  
 40  . 
 1 1
 OM là tia phân giác của xOy xOM MOy xOy .140   70 . 
 2 2
 OM là tia đối của OM MOM 180 . 
 Mà OA nằm ngoài góc xOy và OA Ox nên MOM MOx xOA AOM . 
 Do đó AOM MOM MOx xOA AOM    180 70 90 20 . 1 
 Mặt khác Oy nằm giữa OB và OM nên MOB MOy yOB   70 90 160  , 
 MOB MOM . Do đó tia OB và Oy nằm cùng nửa mặt phẳng bờ MM . 
 Ox nằm giữa OA và OM nên MOA MOx xOA   70 90 160 . 
 MOA MOM . Do đó tia OA và Ox nằm cùng nửa mặt phẳng bờ MM . 
 Nên OM nằm giữa OA và OB. 
 AOB AOM MOB MOB AOB AOM   40 20 20 . 2 
 1
 Từ 1 và 2 ta có MOB AOM  20 AOB . 
 2
 Suy ra OM là tia phân giác của góc AOB . 
 b) Ta có MOx MOA MOM nên OA nằm giữa Ox và OM . 
 Mà OM là tia phân giác của góc AOB . Suy ra OA nằm giữa Ox và OB. 
 Vậy xOB xOA AOB   90 40 130  . 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1: Cho góc xOy 160 . Vẽ trong góc xOy , hai tia OM, ON sao cho OM Ox và ON Oy . 
 a) Chứng minh xON yOM . 
 b) Tính MON . 
Câu 2: Cho góc xOy 150 , bên ngoài của góc vẽ hai tia OA và OB sao cho OA Ox , OB Oy . Gọi 
OM là tia phân giác của xOy và OM là tia phân giác của AOB . 
 a) Chứng minh OM và OM đối nhau. 
 b) Tính xOB và yOA . 
Câu 3: Cho hai đường thẳng xx và yy vuông góc nhau tại O. Trong góc xOy , dựng tia OM sao cho 
 xOM 2 MOy . 
 a) Hãy xác định số đo của góc xOM và MOy . 
 Trang 7 
b) Trên nửa mặt phẳng bờ yy có chứa tia Ox dựng tia ON sao cho y ON 60 . Tính số đo góc 
MON . 
 Trang 8 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Vẽ hình 
Câu 1. 
 • Đặt một cạnh của ê ke trùng với đường thẳng BC. 
 • Chuyển ê ke trượt theo đường thẳng BC sao cho cạnh góc vuông thứ hai của ê ke gặp điểm A. 
 • Vạch một đường thẳng theo cạnh đó thì được đường cao AH của tam giác ABC. 
 • Vẽ tương tự với hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và C. 
Câu 2. 
 • Dùng thước vẽ đoạn thẳng AB dài 10cm 
 • Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB: 
 AB10 cm
 AMMB 5 cm . 
 2 2
 • Đặt một cạnh của ê ke trùng với đường thẳng AB. 
 • Dịch chuyển ê ke trượt theo đường thẳng AB sao cho cạnh 
 góc vuông thứ hai của ê ke gặp điểm M. Vạch một đường 
 thẳng theo cạnh đó thì được đường thẳng trung trực của AB. 
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
Câu 1. 
 Vì xOy , yOz kề bù nên xOy yOz 180 . 
 Mà xOy 50  nên yOz 180  50  130  . 
 Mặt khác tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz nên 
 yOz yOt tOz yOt yOz zOt 
 130  40  
 90 . 
 Vậy Ot Oy . 
Câu 2. 
 Trang 9 
 Vì OA nằm trong góc xOy nên tia OA nằm giữa hai tia Ox, Oy. 
 Suy ra xOy xOA AOy AOy xOy xOA   90 60 30 . 1 
 Vì OB nằm trong góc xOy nên tia OB nằm giữa hai tia Ox, Oy. 
 Suy ra xOy xOB BOy xOB xOy yOB   90 60 30 . 2 
 Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOB xOA (do 30 60 ) nên tia OB nằm giữa hai 
 tia Ox và OA. Suy ra xOA xOB AOB AOB xOA xOB 60 30  30 . 3 
 Từ 2 , 3 ta có xOB AOB . 
 Mà tia OB nằm giữa hai tia Ox, OA nên tia OB là tia phân giác xOA . 
 Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có yOA yOB (do 30 60 ) nên tia OA nằm giữa hai 
 tia Oy và OB. 
 Lại có từ 1 , 3 suy ra yOA AOB nên OA là tia phân giác yOB . 
 b) Ta có MOy yOB 60 (do Oy là tia phân giác của MOB ). 
 Suy ra MOB MOy yOB 120 . 
 Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có MOB AOB 120   30 nên tia OA nằm giữa hai 
 tia OM và OB MOB MOA AOB AOM MOB AOB   120 30 90 . 
 Vậy OM OA . 
Dạng 3. Các bài toán vận dụng 
Câu 1. 
 a) Ta có hai tia OM và ON nằm ở miền trong góc 
 xOy xOy xOM MOy và xOy xON NOy . 
 Mặt khác xOy 160  (giả thiết ); 
 xOM NOy 90 (do OM Ox , ON Oy ). 
 Suy ra MOy xOy xOM 160    90 70 ; 
 NOx xOy yON 160    90 70 . 
 Vậy MOy NOx 70 . 
 Trang 10