Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Chương 1 - Bài 1: Hai góc đối đỉnh

 CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 
 BÀI 1: HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phát biểu được khái niệm hai góc đối đỉnh. 
 + Nắm vững tính chất cơ bản của hai góc đối đỉnh. 
  Kĩ năng 
 + Nhận biết được hai góc đối đỉnh. 
 + Vận dụng được tính chất của hai góc đối đỉnh vào tính số đo góc. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Định nghĩa 
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc 
này là tia đối của một cạnh của góc kia. 
Tính chất của hai góc đối đỉnh 
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. 
 xOy x Oy 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Nhận biết hai góc đối đỉnh 
 Phương pháp giải 
Nhận dạng hai góc đối đỉnh dựa vào định nghĩa: Ví dụ: 
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc Hai đường thẳng xx và yy cắt nhau tại O, hãy 
này là tia đối của một cạnh của góc kia. xác định các cặp góc đối đỉnh. 
Muốn nhận biết hai góc đối đỉnh: Hướng dẫn giải 
Bước 1. Xác định hai góc có chung đỉnh không. 
Bước 2. Xác định mỗi cạnh của góc này có là tia 
đối của một cạnh góc kia không. 
 Các cặp góc đối đỉnh là xOy và x Oy ; xOy và 
 xOy . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho ba đường thẳng xx , yy và zz cắt nhau tại O. Kể tên các cặp góc đối đỉnh. 
 Hướng dẫn giải 
 Ba đường thẳng xx , yy và zz cắt nhau tại O tạo thành 6 cặp góc đối đỉnh, tên 6 cặp góc đối đỉnh là 
 Trang 2 
 1) xOy và x Oy ; 2) yOz và y Oz ; 3) zOx và xOz ; 
 4) xOz và x Oz ; 5) yOx và y Ox ; 6) yOz và y Oz . 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho hai đường thẳng xx và yy cắt nhau tại O, hãy kể tên các cặp góc đối đỉnh. 
Câu 2: Có n đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Tính số cặp góc đối đỉnh tạo thành (không tính góc bẹt). 
Dạng 2: Tính số đo góc 
 Phương pháp giải 
Để xác định số đo của các góc, ta sử dụng các tính Ví dụ: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại 
chất: O tạo thành bốn góc (không tính góc bẹt). Biết 
- Hai góc đối đỉnh bằng nhau. BOC 60 , tính số đo các góc còn lại. 
- Hai góc kề bù có tổng bằng 180° . Hướng dẫn giải 
 Vì BOC và AOC kề bù nhau nên 
 AOC BOC 180 
 AOC 180  BOC 180   60 120  
 Vậy BOD AOC 120 (hai góc đối đỉnh); 
 AOD BOC 60 (hai góc đối đỉnh). 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc, không tính góc bẹt. Biết 
 AOC 4 BOC , tính số đo các góc. 
 Hướng dẫn giải 
 Vì AOC và BOC kề bù nên AOC BOC 180 . 
 Trang 3 
 Mà AOC 4 BOC nên ta có: 
 4BOCBOC  180 5 BOC  180 BOC  36 . 
 Suy ra AOC 4. BOC  144 . 
 Vậy AOC BOD 144 (hai góc đối đỉnh); BOC AOD 36 (hai góc đối đỉnh). 
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc, không tính góc bẹt. Biết 
 AOD BOC 100 , tính số đo các góc tạo thành. 
 Hướng dẫn giải 
 Vì AOD và BOC đối đỉnh nên AOD BOC . 
 Mà AOD BOC 100 nên AOD BOC  100 : 2 50 . 
 Lại có BOD và BOC kề bù nên BOD BOC 180 . 
 Suy ra BOD 180  BOC 180   50 130  . 
 Suy ra AOC BOD 130 (hai góc đối đỉnh). 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho xOy 80  . Hai góc yOz và xOt cùng kề bù với xOy . Hãy xác định các cặp góc đối đỉnh 
không kể góc bẹt và tính số đo của các góc còn lại. 
Câu 2: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc khác góc bẹt. Biết tổng của ba 
trong số bốn góc tạo thành là 300°. Tính số đo của bốn góc tạo thành. 
Câu 3: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc khác góc bẹt. Biết 
 AOC 5 BOC . Tính số đo của bốn góc tạo thành. 
Dạng 3: Chứng minh hai góc đối đỉnh 
 Phương pháp giải 
Các phương pháp chứng minh xOy và x Oy là Ví dụ: Cho đường thẳng xx và một điểm O nằm 
đối đỉnh. trên đường thẳng xx . Trên nửa mặt phẳng bờ xx , 
 vẽ tia OM sao cho xOM 140  . Trên nửa mặt 
 phẳng bờ xx không chứa tia OM vẽ tia ON sao cho 
 xON 40 . Chứng minh xON và x OM là hai 
 góc đối đỉnh. 
 Trang 4 
 Hướng dẫn giải 
 Vì O nằm trên đường thẳng xx nên hai tia Ox và 
Cách 1. Áp dụng định nghĩa: 
 Ox là hai tia đối nhau. 1 
Chứng minh rằng tia Ox là tia đối của tia Ox 
(hoặc Oy ) và tia Oy là tia đối của tia Oy (hoặc Do ON và OM thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau 
 Ox ), tức là hai cạnh của một góc là hai tia đối của bờ Ox nên tia Ox nằm giữa ON và OM. Suy ra 
hai cạnh của góc kia. xOM xON 140   40 180  . 
 Vậy xOM và xON là hai góc kề bù. Suy ra hai tia 
 OM và ON đối nhau. 2 
 Từ 1 và 2 , suy ra xON và x OM là hai góc 
 đối đỉnh. 
Cách 2. Chứng minh xOy x Oy , tia Ox và tia 
 Ox đối nhau còn hai tia Oy và Oy nằm trên hai 
nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng 
 xOx . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ: Trên đường thẳng xx lấy một điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ xx , vẽ tia OM sao cho 
 xOM 45  . Trên nửa mặt phẳng bờ xx không chứa tia OM, vẽ tia ON sao cho xON 90  . Gọi OP là 
tia phân giác của xON . Chứng minh xOM đối đỉnh xOP . 
 Hướng dẫn giải 
 Vì xON và xON kề bù nên xON xON 180 . Mà xON 90  
 nên xON 90 . 
 Vì tia OP là tia phân giác của góc xON nên 
 1
 xOP PON xON 45 . 
 2
 Mặt khác hai tia OP và OM thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ 
 xx nên 
 Trang 5 
 MOP PON xON xOM    45 90 45 180  . 
 Suy ra hai tia OP và OM là hai tia đối nhau. 
 Mà Ox và Ox là hai tia đối nhau. 
 Do đó hai góc xOM và xOP là hai góc đối đỉnh. 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1: Cho hai góc kề bù AOM và BOM trong đó AOM 150  . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không 
chứa tia OM, vẽ tia ON sao cho AON 30 . Hỏi góc AON và BOM có phải là hai góc đối đỉnh không? 
Vì sao? 
Câu 2: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Gọi OM, ON lần lượt là tia phân giác của BOC 
và BOD . Trên nửa mặt phẳng bờ OM không chứa ON dựng tia OP vuông góc OM. Chứng minh hai góc 
 COP và DON là hai góc đối đỉnh. 
 Trang 6 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Nhận biết hai góc đối đỉnh 
Câu 1. 
 Các cặp góc đối đỉnh là: xOy và x Oy ; yOx và y Ox . 
Câu 2. 
 Với n đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được 2n tia chung gốc. 
 Chọn 1 tia trong 2n tia chung gốc đã cho tạo với 2n 1 tia còn lại, ta được 2n 1 (góc). 
 Làm như vậy với 2n tia chung gốc, ta được 2n 2 n 1 (góc). 
 2n 2 n 1 
 Nhưng vì mỗi góc đã được tính hai lần nên số góc thực tế là n 2 n 1 (góc). 
 2
 Vì có n đường thẳng nên sẽ có n góc bẹt. Do đó số góc khác góc bẹt là n 2 n 1 n n 2 n 2 . 
 Mỗi góc trong số n 2 n 2 đều có một góc đối đỉnh với nó. 
 n 2 n 2 
 Suy ra số cặp góc đối đỉnh là n n 1 . 
 2
 Vậy với n đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được n n 1 cặp góc đối đỉnh. 
Dạng 2. Tính số đo góc 
Câu 1. 
 Ta có yOz và xOt là hai góc kề bù với xOy nên xOz và yOt là hai góc cặp tia Ox và Oz; Oy và Ot 
 là các cặp tia đối nhau. 
 Vậy các cặp góc đối đỉnh là xOy và zOt , yOz và xOt . 
 Ta có zOt xOy 80 (hai góc đối đỉnh); 
 Vì yOz kề bù với xOy nên xOy yOz 180 . 
 Mà xOy 80  nên yOz 180  xOy 180   80 100 . 
 Suy ra xOt yOz 100  (hai góc đối đỉnh). 
Câu 2. 
 Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O tạo thành bốn góc có tổng số đo bằng 360° 
 Trang 7 
 AOC COB BOD DOA 360 . 
 Mặt khác tổng số đo ba trong bốn góc bằng 300° (như hình vẽ) 
 AOC  360 COB BOD DOA    360 300 60 . 
 Ta có AOC kề bù với BOC AOC BOC 180 
 BOC 180  AOC 180   60 120 . 
 Do đó BOD AOC 60 (hai góc đối đỉnh); 
 AOD BOC 120 (hai góc đối đỉnh). 
Câu 3. 
 Vì AOC và BOC kề bù nên AOC BOC 180 . 
 Mà AOC 5 BOC nên 5BOCBOC  180 6 BOC  180 BOC  30 . 
 Suy ra AOC 5. BOC  150 . 
 Do đó BOD AOC 150 (hai góc đối đỉnh); AOD BOC 30 (hai góc đối đỉnh). 
Dạng 3. Chứng minh hai gốc đối đỉnh 
Câu 1 
 Vì AOM và AON kề nhau nên AOM AON 150   30 180  . 
 Suy ra AOM và AON là hai góc kề bù. Suy ra hai tia OM và ON là hai tia đối nhau. 
 Mặt khác AOM và BOM kề bù nên hai tia OA và OB đối nhau. 
 Do đó hai góc AON và BOM là hai góc đối đỉnh. 
Câu 2. 
 Có BOC và BOD là hai góc kề bù nên BOC BOD 180 . 
 1
 Vì OM là tia phân giác của BOC nên COM MOB BOC ; 
 2
 Trang 8 
ON là tia phân giác của góc BOD nên 
 1
DON NOB BOD . 
 2
Mà tia OB nằm giữa tia OM và ON. 
Suy ra 
 1 1
MON MOB NOB BOC BOD .180   90 . 
 2 2
Mặt khác MOP 90  (tia OP vuông góc OM). 
Suy ra MON MOP   90 90 180  . 
Mà hai tia OP và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ OM nên hai tia OP và ON là hai tia đối. 
Kết hợp OC và OD là hai tia đối nên suy ra COP và DON là hai góc đối đỉnh. 
 Trang 9