Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 8: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai. Số thực

 BÀI 8. SỐ VÔ TỈ. KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI. SỐ THỰC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nhận biết được sự tồn tại của số thập phân vô hạn tuần hoàn, từ đó hiểu được khái niệm số vô 
 tỉ. 
 + Nắm được khái niệm về căn bậc hai của một số không âm. 
 + Biết được tập số thực là tên gọi chung cho tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ. Từ đó thấy được sự phát 
 triển các tập số từ đến ,  và . 
 + Nắm được ý nghĩa của trục số thực. 
  Kĩ năng 
 + Nhận biết được số vô tỉ. Phân biệt được dạng đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit. 
 + Tính được căn bậc hai của một số không âm (bằng định nghĩa và máy tính bỏ túi) và sử dụng 
 đúng kí hiệu . 
 + Có kĩ năng so sánh số các số thực và biểu diễn số thực trên trục số. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Số vô tỉ 
Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn Cho hình vuông ABCD cạnh 1 cm. Vẽ hình 
không tuần hoàn. vuông ACDE. 
Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là  . 
 Ta thấy diện tích của hình vuông ACDE là 
 x 2 . 
 Mặt khác diện tích hình vuông ACDE bằng 
 hai lần diện tích hình vuông ABCD tức là 
 bằng 2.1.1 2 . Do đó x 2 2 . 
 Vậy có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2 
 hay không? Người ta chứng minh được là 
 không có số hữu tỉ nào và tính được 
 x 1,414213562.... 
 Đây là số vô tỉ (số thập phân vô hạn không 
 tuần hoàn). 
Khái niệm về căn bậc hai 
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 a . 
 - Số dương a ta có đúng hai căn bậc hai là hai số đối 
 nhau, số dương kí hiệu là a , số âm là a . 
 - Số 0 chỉ có một căn bậc hai là 0. 
 - Số âm không có căn bậc hai. 
Số thực 
Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. 
Tập hợp số thực được kí hiệu là . 
Quan hệ giữa các tập số:     . 
 Trên trục số, mỗi số thực được biểu diễn bởi một 
 điểm. Ngược lại mỗi điểm trên trục số đều biểu Các điểm biểu diễn số thực đã lấp đầy trục 
 diễn một số thực. số thực. 
 Các phép toán trong tập hợp các số thực cũng có 
 các tính chất tương tự các phép toán trong tập hợp 
 Trang 2 
 các số hữu tỉ. 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
 Số vô Số thập phân vô hạn không tuần hoàn Ví dụ: 2 1,41421... 
 tỉ 
 SỐ Số thập phân 1 5
 Ví dụ: 1; 0,5; 1,25 
 THỰC hữu hạn 2 4
 Số a
 a, b , b 0 
 hữu tỉ 
 b
 Số thập phân 1
 vô hạn tuần hoàn Ví dụ: 0,33333... 
 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Nhận biết mối quan hệ giữa các tập số 
 Phương pháp giải 
Để nhận biết mối quan hệ giữa các tập số, ta cần: 1
 Ví dụ: Các số 2;2; ; 2 thuộc tập hợp số nào 
 2
 trong các tập số: ;;  ; 
Hiểu được khái niệm các tập số và sử dụng đúng các Xét số 2 , ta có: 2 ; 2 ; 2  ; 2 . 
kí hiệu: Xét số 2, ta có: 2 ;2 ;2  ;2 . 
 : thuộc; 1 1 1 1 1
 Xét số , ta có: ; ;  ; . 
 : không thuộc; 2 2 2 2 2
 : con (được chứa). Xét số 2 , ta có: 2 ; 2 ; 2  ; 2 . 
Nắm vững mối quan hệ giữa các tập hợp số: 
     . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Điền các kí hiệu ,, vào các ô trống: 
 a) 0, 33  ; b) 0,52 41  ; c) 2 ; 
 d) 3 ; e)  ; f)  . 
Hướng dẫn giải 
 a) 0, 33  ; b) 0,5241  ; c) 2 ; 
 d) 3  ; e)  ; f)  . 
Ví dụ 2. Điền dấu x vào ô thích hợp trong bảng sau: 
 Trang 3 
 Câu Đúng Sai 
 1. 3 là số vô tỉ. 
 2. Số vô tỉ là số thực. 
 3. Số vô tỉ là số thập phân vô hạn tuần hoàn. 
 4. Căn bậc hai của một số tự nhiên là một số vô tỉ. 
 5. Nếu a là số thực thì a cũng là số vô tỉ. 
 6. Nếu a là số hữu tỉ thì a cũng là số vô tỉ. 
 7. Tập số thực gồm tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ. 
Hướng dẫn giải 
 Câu Đúng Sai 
 1. 3 là số vô tỉ. x 
 2. Số vô tỉ là số thực. x 
 3. Số vô tỉ là số thập phân vô hạn tuần hoàn. x 
 4. Căn bậc hai của một số tự nhiên là một số vô tỉ. x 
 5. Nếu a là số thực thì a cũng là số vô tỉ. x 
 6. Nếu a là số hữu tỉ thì a cũng là số vô tỉ. x 
 7. Tập số thực gồm tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ. x 
Giải thích cho các câu sai: 
3. Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. 
4. Căn bậc hai của một số tự nhiên chưa chắc đã là số vô tỉ. Ví dụ: Căn bậc hai của 4 là 2 và 2 . Hai số 
này thuộc  . 
Ta thấy 4 là số chính phương nên căn bậc hai của nó không thể là số vô tỉ. Do đó, nếu số tự nhiên a không 
phải là số chính phương thì a là số vô tỉ. 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 3. 
Câu 1: Số 3 thuộc tập hợp số nào sau đây? 
 A. . B. . C.  . D. . 
Câu 2: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 
 A.   . B.   . C.  . D.  . 
Câu 3: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. 
 A.    . B.    . C.   . D.    . 
Câu 4: Điền các kí hiệu ,, vào các ô trống: 
 a) 0,2  ; b) 0,2 41  ; c) 1,7329508 ; 
 d)  ; e)  ; f)  . 
 Trang 4 
Dạng 2: Tìm căn bậc hai của một số cho trước và tìm một số biết căn bậc hai của nó 
Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của một số cho trước 
 Phương pháp giải 
Để tìm căn bậc hai của một số cho trước ta cần: 
Cách 1. Sử dụng định nghĩa căn bậc hai: Căn bậc Ví dụ: Tìm căn bậc hai của: 
hai của số a không âm là số x sao cho x2 a . a) 4. b) 5. 
 c) 0. 
Chú ý: Hướng dẫn giải 
 2
Số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số a) Ta có 22 4 và 2 4 . 
âm không có căn bậc hai. 
 Vậy căn bậc hai của 4 là 4 2 và 4 2 . 
Khi viết a ta phải có a 0 và a 0 . 
 b) Do 5 là số âm nên 5 không có căn bậc hai. 
 c) Số 0 có căn bậc hai là 0. 
Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi nếu đề bài cho Ví dụ. Tính 3 . 
phép. 
 Ta ấn liên tiếp các nút sau: 3 
Nút dấu căn bậc hai: . Máy tính hiện kết quả là 1,732050808. 
 Vậy 3 1,73 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 
 hai). 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của: 
 9
 a) 25. b) 0,0001. c) . d) 6 . 
 25
Hướng dẫn giải 
a) Căn bậc hai của 25 là 25 5 và 25 5 . 
b) Căn bậc hai của 0,0001 là 0,0001 0,01 và 0,0001 0,01. 
 9 9 3 9 3
c) Căn bậc hai của là và . 
 25 25 5 25 5
d) Do 6 0 nên không tồn tại căn bậc hai của 6 . 
Chú ý : Không viết 25 5 do a 0 với a 0 
 9 2
Ví dụ 2. Tính 100; ; 5 ; 52 ; 
 4
Hướng dẫn giải 
Vì 102 100 nên 100 10 . 
 2
 3 9 9 3
Vì nên . 
 2 4 4 2
 Trang 5 
 2 2
Vì 52 25 nên 5 25 5 5 5 và 52 5 . 
Ví dụ 3. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). 
 a) 2 ; b) 9 ; c) 5 ; d) 0,25 . 
Hướng dẫn giải 
 Tính Nút ấn Kết quả 
 a) 2 2 1,414213562 
 b) 9 9 3 
 c) 5 5 2,236067977 
 d) 0,25 0 , 2 5 0,5 
Như vậy: 
 a) 2 1,41; b) 9 3 ; c) 5 2,24 ; d) 0,25 0,5 . 
Bài toán 2. Tìm một số biết căn bậc hai của nó 
 Phương pháp giải 
Ta sử dụng định nghĩa: 
Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho Ví dụ: Tìm x biết x 4 . 
 x2 a . Hướng dẫn giải 
Do đó, để tìm một số biết căn bậc hai của nó, ta Ta có x 4 thì x 16 . 
bình phương căn bậc hai. 
Nếu x a a 0 thì x a2 . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Hãy cho biết mỗi số sau là căn bậc hai của số nào? 
 1
 2;0; 1; ; 3; 0,4 
 2
Hướng dẫn giải 
 1 1
Các số 2;0; 1; ; 3; 0,4 lần lượt là căn bậc hai của các số: 4; 0; 1; ; 3; 0,16 . 
 2 4
Ví dụ 2. Điền số thích hợp vào ô trống: 
 x 3 16 19 5 2 12,25 0,25 
 1
 x 2 7 
 2
Hướng dẫn giải 
 2 1
 x 3 4 16 19 5 49 12,25 0,25 
 4
 Trang 6 
 1
 x 3 2 4 19 5 7 3,5 0,5 
 2
Chú ý: 
 x là số không âm a sao cho a2 x . 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Tìm căn bậc hai của: 
 4
 a) 9. b) 0,12 . c) . d) 36 . 
 25
Câu 2: Tìm căn bậc hai của các số sau: 
 9
 a) 49. b) 0,25. c) d) 1 
 49
Câu 3: Điền số thích hợp vào ô trống: 
 x 9 16 1 3 2 
 x 2 23 1,1 
Câu 4: Điền số thích hợp vào ô trống: 
 x 3 6 
 x 225 0,0025 
Câu 5: Tính 6; 0,04; 11 bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). 
Dạng 3: Thực hiện phép tính 
 Phương pháp giải 
Các phép toán trong tập hợp các số thực cũng có các tính chất 1 
 Ví dụ. Tính 36. 3. 16 2 
 A 
tương tự các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ. 9 
Để thực hiện phép tính có chứa căn bậc 2, ta có thể làm như 
sau: 
Bước 1. Tính các giá trị căn bậc hai (nếu có) a2 a a 0 Ta có 36 62 6; 16 4 2 4; 
 2
trong phép tính. 1 1 1
 9 3 3
Bước 2. Thực hiện đúng thứ tự phép tính. 1 1
 Suy ra A 6. 3.4 2 6. 12 2 
 3 3
 72 2 2 72
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tính: 
 1 1
 a) ; b) 4 36 81; c) 13 2; 3 d) 13 2 3 3 3 . 
 9 16
Hướng dẫn giải 
 Trang 7 
 2
 1 1 16 9 25 52 5 5
a) 2 . 
 9 16 9.16 9.16 3.4 12 12
b) 4 36 81 121 112 11 . 
c) 13 2 3 1 8 9 3 . 
d) 13 2 3 3 3 1 8 27 36 6 . 
Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức: 
 1 25 49 441
 : ;
a) M 
 9 36 81 324
 1 1
b) N 4 3 5 0,04 . 
 16 9
Hướng dẫn giải 
 1 1 25 5 49 7 441 21
a) Ta có ; ; ; . 
 9 3 36 6 81 9 324 18
 1 5 7 21 6 15 14 18 7 18 1
Vậy M :.. . 
 3 6 9 18 18 18 18 21 18 21 3
 1 1 1 1 1
b) Ta có ; ; 0,04 0,2 . 
 16 4 9 3 5
 1 1 1 1 1
Vậy N 4 3 5 0,04 4. 3. 5 1 1 1 1. 
 16 9 4 3 5
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1: Tính: 
 a) 25 9 ; b) 0,01 0,25 ; c) 2.22 4 2 5 2 . 
Câu 2: Tính giá trị biểu thức: 
 4 25 49 121
a) : 
 A 
 9 144 81 36
 9 1
b) B 5 6 5 0,25 . 
 25 4
 1 1 1 
Câu 3: Tính: A 2 3,5 : 4 3 7,5 . 
 3 6 7 
Dạng 4: Tìm x 
 Phương pháp giải 
Ta sử dụng các tính chất sau: Ví dụ: Tìm x, biết: x 2 
 x a thì x a2 với a 0 . Ta có x 2 x 4 
 Vậy x 4 . 
 Ví dụ: Tìm x, biết: x 2 9 
 x2 a (với a 0 ) thì x a hoặc x a . Ta có x2 9 x 3 hoặc x 3 . 
 Trang 8 
 Vậy x 3 hoặc x 3 . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm x, biết: 
 a) x 1 3 b) x 2 64 0 . 
Hướng dẫn giải 
a) x 1 3 x 1 9 x 10. 
Vậy x 10 . 
b) x2 64 0 x 2 64 x 8 hoặc x 8 
Vậy x 8 hoặc x 8 . 
Ví dụ 2. Tìm x, biết: x 1 3 2 . 
Hướng dẫn giải 
Ta có x 1 3 2 x 1 5 x 1 5 hoặc x 1 5 
 x 6 hoặc x 4 (không thỏa mãn vì x 0 ) . 
 x 36 . 
Vậy x 36 . 
Chú ý: x a thì x a hoặc x a . 
Ví dụ 3. Tìm x, biết: x2 4 x 2 3 0 . 
Hướng dẫn giải 
 xx2 4 2 3 0 x 2 4 0 hoặc x 2 3 0 
 x 2 4 hoặc x 2 3 . 
Với x 2 4 ta có x 2 hoặc x 2 . 
Với x 2 3 ta có x 3 hoặc x 3 . 
Vậy x 2 hoặc x 3 . 
Chú ý: Nếu a. b 0 thì a 0 hoặc b 0 
 Bài tập tự luyện dạng 4 
Câu 1: Các giá trị của biến x thỏa mãn biểu thức x 4 là: 
 A. 2. B. 2 . C. 16. D. 16 . 
Câu 2: Giá trị của biến x thỏa mãn biểu thức x 2 4 là: 
 A. 2. B. 2 . C. 16. D. 16 . 
Câu 3: Tìm x, biết: x 2 16 25 
Câu 4: Tìm x, biết: x 3 3 9 . 
Dạng 5: So sánh hai số 
 Phương pháp giải 
 Trang 9 
 Ví dụ: So sánh: 
 a) 16 với 4. b) 11.3 và 44 . 
 Hướng dẫn giải 
Với a 0; b 0 : a) So sánh 16 với 4. 
 a b khi và chỉ khi a b . Ta có 42 16 . Suy ra 4 16 . 
 a b khi và chỉ khi a b . b) Suy ra 11.3 44 (vì 33 44 ) 
 Ta có 11.3 44 . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. So sánh: 
 a) 2 với 3 . b) 3 với 10 . 
Hướng dẫn giải 
a) Vì 2 3 nên 2 3 . 
b) Ta có 3 9 mà 9 10 nên 9 10 . 
Do đó 3 10 . 
Ví dụ 2. So sánh hai số thực sau: 
 a) 9.16 với 9. 16 . b) 3 7 với 8. c) 2 3 với 3 2 . 
Hướng dẫn giải 
a) Ta có 9.16 144 122 12; 
 9. 16 32 . 4 2 3.4 12.
Vậy 9.16 9. 16 . 
b) Ta có 3 7 9. 7 63, 8 64 . 
Mà 64 63 nên 64 63 . 
Vậy 3 7 8 . 
c) Ta có 2 3 4. 3 12 và 3 2 9. 2 18 . 
Mà 18 12 nên 18 12 . 
Vậy 3 2 2 3 . 
 Bài tập tự luyện dạng 5 
Câu 1: So sánh: 
 a) 3 2 với 2 5 . b) 5 6 với 6 5 . 
Câu 2: So sánh: 
 a) 9. 4 với 9.4 . b) 3 5 với 6. 
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai 
 Phương pháp giải 
 Trang 10