Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 5: Lũy thừa của một số hữu tỉ

 BÀI 5. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên. 
 + Nắm được các quy tắc phép tính (công thức) lũy thừa. 
 + Mở rộng định nghĩa với lũy thừa nguyên âm và một số tính chất được thừa nhận. 
  Kĩ năng 
 + Tính được lũy thừa với các số hữu tỉ cụ thể với số mũ tự nhiên. 
 + Vận dụng công thức các phép tính về lũy thừa để thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức. 
 + Vận dụng định nghĩa và công thức lũy thừa của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số 
 hoặc cùng số mũ, so sánh lũy thừa và các bài toán liên quan khác. 
 + Vận dụng một số tính chất của lũy thừa để tìm số mũ hoặc cơ số của một lũy thừa. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Lũy thừa với số mũ tự nhiên 
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xn , là tích của n thừa xn x. x ... x x , n , n 1 
   
 n thõa sè
số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1). 
 Quy ước: x1 x 
 x0 1 x 0 
Các phép toán về lũy thừa 
a) Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số Với x ,m, n ta có:. 
 Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và xxm. n x m n 
 cộng hai số mũ. 
 Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ xm: x n x m n x 0, m n 
 số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy 
 thừa chia. 
b) Lũy thừa của lũy thừa 
 n
Khi tính lũy thừa của lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai m m. n
 x x 
số mũ với nhau. 
c) Lũy thừa của một tích, một thương Với x,, y  n ta có: 
 n
 Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa. xy.. xyn n 
 n
 Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa. x xn
 n y 0 
 y y
Lũy thừa với số mũ nguyên âm 1
 Với x , x 0, n * ta có x n 
  x n
Lũy thừa với số mũ nguyên âm của 10 thường được dùng để viết Khối lượng của nguyên tử hydro là: 
những số rất nhỏ cho thuận tiện. 0,00...0166g được viết gọn là 
 
 23 ch÷ sè 0
 1,66.10 24 g . 
Một số tính chất khác 
 2n
a) Lũy thừa bậc chẵn luôn không âm. x 0 với mọi x  ; 
Dấu của lũy thừa bậc lẻ phụ thuộc vào dấu cơ số. x 2n 1 cùng dấu với dấu của x. 
b) Hai lũy thừa bằng nhau. Ví dụ: 12n 1; 1 2 n 1 1 
 Nếu xm x n thì m n (với 
 x 0; x 1). 
 Nếu xn y n thì x y nếu n lẻ, x y 
 nếu n chẵn. 
 Trang 2 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
 Lũy thừa với xn x. x ... x x , n , n 1 
 số mũ tự nhiên   
 Lũy thừa của n thõa sè
 một số hữu tỉ 
 Lũy thừa với 1
 n , 0, *
 số mũ nguyên xn x x n 
 âm x
 m n m n
 x: x x
 Các phép toán xxm. n x m n 
 x 0, m n 
 n n
 x x n n n n
 y 0 m m. n xy.. xy
 n x x 
 y y
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1. Tính lũy thừa của một số hữu tỉ 
 Phương pháp giải 
Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên: Ví dụ: 
 xn x. x ... x x , n , n 1 2
   4 4.4 16;
 n thõa sè
 0,53 0,5.0,5.0,5 0,125;
Ngoài ra, lũy thừa với số mũ nguyên âm: 
 10 3 10 . 10 . 10 1000;
 1 *
 n 3
 x n x , x 0, n 
 x  1 1
 ;
 3 27
 0
 0,7 1
 Ví dụ mẫu 
 2 3
 4 2 2 100 0
Ví dụ 1. Tính 3 ; ; 1 ;1 ; 2 . 
 5 3 
 Hướng dẫn giải 
 3 4 3.3.3.3 81; 
 2
 2 2 2 4
 . ;
 5 5 5 25
 3 3
 2 5 5 5 5 5.5.5 125
 1 .. ;
 3 3 3 3 3 3.3.3 27
 1100 1;
 0
 2 1.
 Trang 3 
 2
 20 21 2 1 5 6
Ví dụ 2. Tính 1 ; 1 ;3 ; ; 2 ; 2 . 
 3 
Hướng dẫn giải 
 20 21
 1 1; 1 1;
 2
 2 1 1 1 1 1 1
3 2 ; .; 
 3 9 3 3 3 9
 5 6
 2 25 32; 2 2 6 64.
 Bài tập tự luyện dạng 1 
 3 4
 23 3 1 15 1000 10 10
Câu 1: Tính ;1,5;4;1 ;1;1 ;2;2. 
 3 2
 5 2
 5 1 3 3 2 2
Câu 2: Tính 3 ; ; 0,1 ;10 ; ; 2,5 
 3 5
Câu 3: Tính: 
 a) 23 2 3 8 1 . b) 12n 1 1 2 n . 
Dạng 2: Viết số dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Phân tích các cơ số ra thừa số nguyên tố. Ví dụ: 8 2.2.2 23 ; 
 2
Bước 2. Áp dụng định nghĩa và các phép tính lũy 4 2.2 2 2 2 
 . . 
thừa để viết số dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ. 9 3.3 3 3 3 
 Ví dụ mẫu 
 81
Ví dụ 1. Viết dưới các dạng lũy thừa của một số hữu tỉ khác nhau. 
 16
Hướng dẫn giải 
 4 2 2
 81 3.3.3.3 81 34 3 81 3.3 92 9 
Ta có: . Do đó: 4 hoặc 2 2 . 
 16 2.2.2.2 16 2 2 16 2.2 4 4 
 b b
Chú ý: Khi thực hiện phép nâng lên lũy thừa x a nhiều học sinh hay nhầm lẫn xa x a b . 
 b
Công thức đúng phải là xa x a. b . 
Ví dụ 2. Viết 0,1; 0,01 và 1000 dưới dạng lũy thừa của cơ số 10. 
Hướng dẫn giải 
 1 1 1
0,1 10 1 ;0,01 10 2 ;1000 10.10.10 10 3 
 10 100 102
 1
Chú ý: Lũy thừa với số mũ nguyên âm: x n , nx , 0 . 
 x n 
Ví dụ 3. Viết 39 và 212 dưới dạng lũy thừa có số mũ là 3. 
 Trang 4 
Hướng dẫn giải 
 3
 39 3 3.3 3 3 27 3 ;
 3
 212 2 4.3 2 4 16 3 .
Chú ý: Tách số mũ thành một số nhân với 3 rồi áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: 16;25;32;81;128;125. 
 256
Câu 2: Viết số dưới dạng lũy thừa của các số hữu tỉ khác nhau. 
 625
 1
Câu 3: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa cơ số 5: ;0,008;125 
 25
Câu 4: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa có cùng số mũ là 5: 32;315 ;4 10 . 
Dạng 3: Thực hiện phép tính 
Bài toán 1. Thực hiện phép tính bằng cách đưa về cùng cơ số 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Đưa các lũy thừa về dạng lũy thừa của các Ví dụ: 
 2
cơ số giống nhau (thường chọn ước chung nhỏ nhất a) 28 .4 2 2 8 . 2 2 2 8 .2 4 2 12 . 
khác 1 của các cơ số). 
 3
Bước 2. Áp dụng các quy tắc lũy thừa của một tích 2 23 8
 b) 3 . 
hoặc một thương để tính toán kết quả. 3 3 27
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau: 
a) 82 .2 4 b) 223 : 4 3 c) 1253 : 25 
Hướng dẫn giải 
 2
 a) 82 .2 4 2 3 .2 4 2 6 .2 4 2 10 1024
 3
 b)2:423 3 2:2 23 2 2:2 23 6 2 17 
 3
 c)1253 : 25 5 3 : 5 2 5 9 : 5 2 5 7
Chú ý: Chuyển các lũy thừa về lũy thừa dưới cơ số chung là ước chung nhỏ nhất khác 1 của các cơ số. 
Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: 
 3
 1 
 .644
 274 .3 2 1252 .25 3 8 
a) b) c) 
 93 54 43
Hướng dẫn giải 
 Trang 5 
 4
 4 233 .3 2 12 2 14
 27 .3 3 .3 3 8
a)3 3 6 6 3
 9 32 3 3
 2 3
 3 2
 1252 .25 3 5 . 5 5 6 .5 6 5 12
b) 58 
 54 5 4 5 4 5 4
 3
 3
 1 4
 .644 1 6
 3 . 2 24 24
 8 8 2 2 9
c)3 3 3 15 2
 4 22 2 3 .2 6 2
Bài toán 2: Thực hiện phép tính bằng cách đưa về cùng số mũ 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Ví dụ: 
 2
Phân tích tìm ra số mũ chung của các thừa số. a) 86 .27 2 8 6 . 3 3 8 6 .3 6 8.3 6 24 6 . 
Bước 2. Biến đổi các thừa số để đưa về số mũ giống 8 8 8 8
 15 15 15 15 8
 b) 4 4 8 5 . 
nhau rồi áp dụng công thức lũy thừa của một tích hoặc 9 32 3 3 
một thương. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: 
 8
a) 712 .27 4 . b)159 :125 3 . c) 0,125 .644 . 
Hướng dẫn giải 
 4 12
a) 712 .27 4 7 12 . 3 3 7 12 .3 12 7.3 21 12
 3 9
b)159 :125 3 15 9 : 5 3 15 9 : 5 9 15 : 5 3 9 
 8 84 8
c) 0,125 .644 0,125 . 8 2 0,125 .8 8 1 8 1
Chú ý: Chuyển các lũy thừa về lũy thừa với số mũ chung là BCNN của các số mũ. 
BCNN 12;4 12.
BCNN 9;3 9. 
BCNN 8;4 8.
Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: 
a) 49 .5 27 b) 312 .2 16 
Hướng dẫn giải 
 9 9
a) 49 .5 27 4 9 . 5 3 4 9 .125 9 4.125 500 9
 4 4 4
b) 312 .2 16 3 3 . 2 4 27 4 .16 4 27.16 432 4
Chú ý: Chuyển các lũy thừa về lũy thừa với số mũ chung là ƯCLN của các số mũ. 
ƯCLN 9;27 9. 
ƯCLN 12;16 4. 
 Trang 6 
Bài toán 3: Thực hiện các phép tính phức tạp 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức: 
 3 2
 2 3 5
 . . 1 6 3 3 6
 3 4 6 6 .3 3
a) 2 2 b) 
 2 5 73
 . 
 5 12 
Hướng dẫn giải 
 3 2
 2 3 5
 . . 1 3 2 2 2 2 3 4
 3 4 2 3 5 3 .4 2 .3
a)2 2 3 . 2 . 2 . 2 3 2 6.
 2 5 3 4 2 5 3 .2
 . 
 5 12 
 6 6 3
 66336663336 6 .3 3 2 .3 2 .3 .3 33 2 2 1 3 6 .73
b) 36
 73 73 73 73
Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau: 
 2 3 2
 2 1 20 18 
a) b) . 
 5 3 3 5 
Hướng dẫn giải 
 2 2 2
 2 1 6 5 11 112 121
a) 2
 5 3 15 15 15 15 225
 3 2 
 3 2 22 .5 2.3 2 6 3 2 4 8 4 3
 20 18 2 .5 2 .3 2 .3 .5 8
b) . 3 . 2 3 . 2 3 2 2 .3.5 3840
 3 5 3 5 3 5 3 .5
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 6. 
Câu 1: Giá trị của biểu thức 25 .2 6 bằng: 
 A. 210 B. 21 C. 211 D. 27 
 315
Câu 2: Giá trị của biểu thức bằng: 
 36
 A. 39 B. 3 9 C. 310 D. 321 
Câu 3: Rút gọn biểu thức 38 .9 2 dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ được kết quả là: 
 A. 310 B. 94 C. 312 D. 316 
 *
Câu 4: Biểu thức nào dưới đây là đúng (với n )? 
 n 1 n 1 n
 n n n 1 x x x x n 1 n 1 n 1
 A. xy. xy B. n C. n 1 D. xy.. x y 
 y y y y 
 0,85
Câu 5: Rút gọn biểu thức bằng với giá trị nào dưới đây? 
 0,46
 A. 20. B. 40. C. 60. D. 80. 
Câu 6: Viết biểu thức 68 .12 5 dưới dạng 2a .3 b thì giá trị của a b là: 
 Trang 7 
 A. 13. B. 31. C. 25. D. 19. 
Câu 7: Tìm giá trị của các biểu thức sau: 
 2
 33 .3 4 0,8 23 .4 2 272 .9
 a) b) c) d) 
 310 0,4 2 83 81
Câu 8: Tính: 
 62 .3 3 123 .18 2 63 2.6 2 2 3
 a) 274 : 9 3 b) c) d) 
 122 242 37
Câu 9: Thực hiện phép tính: 
 3 2 5 3 2
 1 1 1 2 0,6 1 1 3 3 2 1 
 a) 4. b) .6 6 c) d) . 
 2 2 6 0,2 2 6 5 4 6 5 
Câu 10: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ: 
 a) 26 .3 3 b) 64 .8 2 c) 16.81 d) 254 .2 8 
Dạng 4: So sánh các lũy thừa 
 Phương pháp giải 
Để so sánh các lũy thừa, ta làm như sau: Ví dụ: So sánh 96 và 84 . 
 Hướng dẫn giải 
 6 4
Bước 1. Đưa các lũy thừa về cùng cơ số mũ hoặc Ta có 96 3 2 3 12 ;8 4 2 3 2 12 
cùng cơ số. 
Bước 2. So sánh cơ số khi chung số mũ hoặc so Do 312 2 12 nên 96 8 4 
sánh số mũ khi chung cơ số. Vậy 96 8 4 . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. So sánh: 
a) 83 và 162 . b) 3100 và 2730 . 
Hướng dẫn giải 
 3 2
a) Ta có 83 2 3 2 9 ;16 2 2 4 2 8 . Do 29 2 8 nên 83 16 2 . 
 30
b) Ta có 2730 3 3 3 90 . Do 3100 3 90 nên 3100 27 30 . 
Chú ý: Với a 1 và m n thì am a n . 
Ví dụ 2. Số nào lớn hơn trong hai số: 2725 và 3215 . 
Hướng dẫn giải 
 25 15
Ta có: 2725 3 3 3 75 ;32 15 2 5 2 75 
Do 375 2 75 nên 2725 32 15 . 
 m m *
Chú ý: Nếu a bm, thì a b . 
 Bài tập tự luyện dạng 4 
Câu 1: So sánh các cặp số sau: 
 Trang 8 
 a) 227 và 318 . b) 2150 và 3100 . c) 2375 và 3250 . 
Câu 2: So sánh các cặp số sau: 
 6
 10 1 333 444 500 200
 a) 0,2 và . b) 4 và 3 . c) 2 và 5 . 
 25 
Dạng 5: Tìm số mũ, cơ số của lũy thừa 
Bài toán 1. Tìm số mũ của lũy thừa 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Tìm số tự nhiên n biết 8 2n 1 . 
Bước 1. Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về cùng cơ số. Ta có: 8 2n 1 
Bước 2. Rút gọn hai vế về dạng an a m 23 2n 1 
Bước 3. Cho hai số mũ bằng nhau rồi giải ra kết quả. n1 3 n 2 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên n biết: 
 625 n
a) 5 3 
 n b) 9 
 5 27
Hướng dẫn giải 
 625 n
 a) 5 3 
 n b) 9
 5 27
 4
 5 n 3 2
 5 3 3 .3
 5n
 n 5
 54 n 5 3 3 
 4 n 1 3n 3 5
 n 3 n 5
Vậy n 3 Vậy n 5 
Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n biết: 
a) 3n .2 n 36 b) 252n : 5 n 125 2 
Hướng dẫn giải 
 a) 3n .2 n 36 b) 252n : 5 n 125 2
 n 2n 2
 3.2 62 52 : 5n 5 3
 n 2
 6 6 4n n 6
 5 : 5 5 
 n 2 53n 5 6
Vậy n 2 3n 6
 n 2
 Vậy n 2 
Bài toán 2. Tìm cơ số của lũy thừa 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về cùng số mũ. Ví dụ: Tìm x biết x3 8 
 Trang 9 
 Ta có 8 23 nên x3 2 3 . 
Bước 2. Cho phần cơ số bằng nhau rồi giải ra kết quả. x 2 
 Vậy x 2 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm x biết: 
a) x 2 1; b) x 4 16 . 
Hướng dẫn giải 
 2 2
a) Ta có 1 12 1 nên x 2 1 2 1 . 
Suy ra x 1 hoặc x 1. 
 4 4
b) Ta có 16 24 2 nên x 4 2 4 2 . 
Suy ra x 2 hoặc x 2 . 
Ví dụ 2. Tìm x biết: 
 3
 1 1 3
a) x ; b) 2x 1 8 . 
 3 27
Hướng dẫn giải 
 3 3 3
 1 1 1 1 1 1 2
a) Ta có nên x x x . 
 27 3 3 3 3 3 3
 2
Vậy x . 
 3
 3 3 3 1
b) Ta có 8 2 nên 2x 1 2 2 x 1 2 2 xx 1 . 
 2
 1
Vậy x . 
 2
 Bài tập tự luyện dạng 5 
Câu 1: Tìm x biết: 
 a) x 5 1; b) x 5 1; c) x 2 9; d) 4x2 16 . 
Câu 2: Tìm x biết: 
 2 3
 a) x 1 4; b) 2 x 27. 
Câu 3: Tìm số tự nhiên n biết: 
 n
 1 1 6n
 a) ; b) 3 2. 
 2 16 3 .4
Câu 4: Tìm số tự nhiên n biết: 
 2 n
 a) 8; b) 16n : 2 n 64 
 16
 ĐÁP ÁN 
 Trang 10