Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 5: Cộng, trừ đa thức một biến

 CHUYÊN ĐỀ 
 BÀI 5. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Hiểu và nắm vững cách cộng, trừ đa thức theo hàng ngang và theo hàng dọc. 
  Kĩ năng 
 + Thực hiện được cộng, trừ đa thức theo hàng ngang và theo hàng dọc 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Cộng , trừ đa thức một biến Cộng hai đa thức Ax x2 x 1 
Cách 1: Thực hiện như cộng, trừ đa thức bình 
 Bx x2 1. 
thường 
 AxBx xx2 1 x 2 1 
 Nhóm các đơn thức đồng dạng; 
 Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng. 2x2 x 2. 
Cách 2: Đặt tính theo cột dọc 
 Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo Ax x2 x 1
lũy thừa tăng (hoặc giảm) của biến. 
 Bx x2 1 
 Đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng 
 Ax Bx 2 x2 x 2
trừ các số. 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Tính tổng hoặc hiệu của hai đa thức 
 Phương pháp giải 
Để tính tổng, hiệu của hai đa thức, ta có thể thực Ví dụ: Cho hai đa thức: Px x43 x 3 2 x 2 1 
hiện theo hai cách 
 và Qx x4 x 3 x 1. Tính Px Qx . 
 Cách 1. 
Cách 1. Thực hiện như cộng, trừ đa thức thông 
 Px Qx 
thường. 
 xxx4 3 3 2 2 1 xxx 4 3 1 
 xx43 3 2 x 2 1 xxx 4 3 1 
 xx4 4 3 xx 3 3 2 xx 2 1 1 
 3 2
 2x 2 x x 2 
Cách 2. Đặt tính theo cột dọc Cách 2. 
Chú ý: Đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một Px x43 x 3 2 x 2 1
cột. 4 3
 Qxxx x 1 
 PxQx 2 x3 2 xx 2 2.
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho hai đa thức Pxx 52 x 4 3 xx 2 2 và Qx x4 2 x 3 x 5. 
Tính: 
a) Px Qx b) Px Qx . 
 Trang 2 
Hướng dẫn giải 
a) 
Cách 1. 
 PxQx x52 x 4 3 xx 2 2 x 4 2 xx 3 5 
 xxxx52 4 3 2 2 x 4 2 xx 3 5 
 x5 2 xx 4 4 2 xx 3 3 2 xx 2 5 
 xx5 42 x 3 3 x 2 3. 
Cách 2. 
 Pxx 52 x 4 3 xx 2 2
 Qx xx4 2 3 x 5 
 PxQx xx5 42 x 3 3 x 2 3.
b) 
Cách 1. 
 PxQx x52 x 4 3 xx 2 2 x 4 2 xx 3 5 
 xxxx52 4 3 2 2 x 4 2 xx 3 5 
 x5 2 xx 4 4 2 xx 3 3 2 xx 5 2 
 xx53 4 2 xx 3 3 2 2 x 7. 
Cách 2. 
 Pxx 52 x 4 3 xx 2 2
 Qx xx4 2 3 x 5 
 PxQxx 53 x 4 2 x 3 3 x 2 2 x 7
Ví dụ 2. Cho hai đa thức Px x43 x 5 x 2 4 và Qx x4 x 23 xx 3 . 
Tính: 
a) Px Qx b) Px Qx . 
Hướng dẫn giải 
Sắp xếp lại theo lũy thừa giảm dần của biến, ta có: 
 Px 3 x5 x 4 x 2 4 và Qx x43 xx 3 2 x . 
a) Tính Px Qx 
Cách 1. PxQx 3 xxx5 4 2 4 x 4 3 xxx 3 2 
 3xxx5 4 4 3 x 3 xxx 2 2 4 
 Trang 3 
 3x5 2 x 4 3 x 3 2 xx 2 4. 
Cách 2. 
 Px 3 xx5 4 x 2 4
 Qx xxx4 3 3 2 x 
 PxQx 3 x5 2 x 4 3 x 3 2 xx 2 4
b) Tính Px Qx . 
Cách 1. PxQx 3 xxx5 4 2 4 x 4 3 xxx 3 2 
 3xxx5 4 2 4 x 4 3 xxx 3 2 
 3xxx5 4 4 3 x 3 xxx 2 2 4 
 3x5 3 x 3 x 4. 
Cách 2. 
 Px 3 xx5 4 x 2 4
 4 3 2
 Qx xxxx 3 
 PxQxx 35 3 x 3 x 4
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho hai đa thức: Px x37 x 2 8 x 9 và Qx x2 2 x 5. Tính: 
a) Px Qx . b) Px Qx . 
Câu 2: Cho hai đa thức: Pxx 42 xx 3 2 5 x 2 và Qx x52 x 3 x 2 2 Tính: 
a) Px Qx . b) Px Qx . 
Câu 3: Cho ba đa thức: Pxx 62 x 5 3 x 4 5 xQxx 1; 5 2 x 2 7 xRxx ; 2 9 x 11. Tính: 
a) Px Qx Rx . b) Px Qx Rx . 
Dạng 2: Tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức 
 Phương pháp giải 
Để tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức, ta Ví dụ: Tìm đa thức P x biết 
làm như sau: 
 Px 2 x 3 x5 2 xxx 4 3 6. 
 Hướng dẫn giải 
- Xác định vai trò của đa thức chưa biết (đóng vai 
 Px 2 x 3 x5 2 xxx 4 3 6 
trò số hạng chưa biết, số bị trừ, số trừ, ) 
 Trang 4 
- Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế và Pxx 52 xxx 4 3 6 2 x 3 
quy tắc cộng, trừ đa thức một biến để biến đổi. 
 x52 xxx 4 3 6 2 x 3 
 x52 xx 4 3 xx 2 6 3 
 x52 xx 4 3 3 x 9 
 Vậy Pxx 52 xx 4 3 3 x 9. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm đa thức P x , biết Pxx 4 5 x4 3 xx 3 1. 
Hướng dẫn giải 
Ta có: Pxx 4 5 x4 3 xx 3 1 
 Px 5 xxx4 3 3 1 x 4 
 5x4 3 xx 3 1 x 4 
 5x4 3 x 3 xx 1 4 
 5x4 3 x 3 3 
Ví dụ 2. Tìm đa thức P x , biết x2 3 xPx 5 5 x 5 4 x 3 7 x 2 3. 
Hướng dẫn giải 
Ta có: x2 3 xPx 5 5 x 5 4 x 3 7 x 2 3 
 Pxx 23 x 5 5 x 5 4 x 3 7 x 2 3 
 x23 x 5 5 x 5 4 x 3 7 x 2 3 
 3xx5 5 5 4 xxx 3 2 7 2 3 
 2x5 4 x 3 6 x 2 3. 
Ví dụ 3. Cho hai đa thức Axx 32x 2 4; Bxxx 4 3 2 5 
Tìm đa thức P x , biết: 2Ax Px 3 Bx . 
Hướng dẫn giải 
Ta có 2Ax Px 3 Bx Px 3 Bx 2 Ax . 
 PxBxAx 3 2 3 xx4 3 2 5 2 xx 3 2 2 4 
 3xx4 9 2 15 2 xx 3 4 2 8 
 3xx4 2 3 9 xx 2 4 2 15 8 
 3x4 2 x 3 5 x 2 23. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
 Trang 5 
Câu 1: Cho đa thức: Axx 65 x 5 3 x 4 9 x 2 2 x 1. Tìm các đa thức Bx , Cx sao cho: 
a) Ax Bx x2 1. b) Ax Cx x3 2 x 6. 
Câu 2: Cho đa thức: Pxx 42 x 3 2 x 5.. Tìm các đa thức Qx , Rx sao cho: 
a) Px Qx x3 2. b) Rx Px x2. 
Câu 3: Viết đa thức: Ax x33 x 2 2 x 8 dưới dạng: 
a) Tổng của hai đa thức một biến. b) Hiệu của hai đa thức một biến. 
Câu 4: Cho đa thức: Ax 2 x3 3 ax 5(với a là hằng số). Tìm a để P 2 3 
 2n 2 n 1 2 2 n 1 2 n 2 n 1 2
Câu 5: Cho Fxxx ... xxGxx 1; xx ... xxxn 1 , .. Tính 
giá trị của hiệu Fx Gx tại x 2 . 
ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Tính tổng hoặc hiệu của hai đa thức 
Câu 1. 
a) PxQx x37 x 2 8 x 9 x 2 2 x 5 
 xxx37 2 8 9 xx 2 2 5 
 x3 7 xx 2 2 8 xx 2 9 5 
 x38 x 2 10 x 14. 
b) PxQx x37 x 2 8 x 9 x 2 2 x 5 
 xxx37 2 8 9 xx 2 2 5 
 x3 7 xx 2 2 8 xx 2 9 5 
 x36 x 2 6 x 4. 
Câu 2. 
a) PxQx x42 xx 3 2 5 x 2 x 5 2 xx 3 2 2 
 x42 xxx 3 2 5 2 xxx 5 2 3 2 2 
 xx5 4 2 xx 3 2 3 xx 2 2 5 x 2 2 
 xx5 44 x 3 5 x . 
b) PxQx x42 xx 3 2 5 x 2 x 5 2 xx 3 2 2 
 x42 xxx 3 2 5 2 xxx 5 2 3 2 2 
 xx5 4 2 xx 3 2 3 xx 2 2 5 x 2 2 
 xx5 4 2 x 2 5 x 4. 
 Trang 6 
Câu 3. 
a) PxQxRx x62 x 5 3 x 4 5 x 1 x 5 2 x 2 7 xx 2 9 x 11 
 xxxx62 5 3 4 5 1 xxxxx 5 2 2 7 2 9 11 
 x6 2 xx 5 5 3 x 4 2 xx 2 2 5 xxx 7 9 1 11 
 xxxx63 5 3 4 3 2 21 x 12. 
b) PxQxRx x52 xx 5 3 4 5 x 1 x 5 2 x 2 7 xx 2 9 x 11 
 xxxx62 5 3 4 5 1 xxxxx 5 2 2 7 2 9 11 
 x6 2 xx 5 5 3 x 4 2 xx 2 2 5 xxx 7 9 1 11 
 x63 x 5 3 xx 4 2 3 x 10. 
Dạng 2. Tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức 
Câu 1. Ta có Axx 65 x 5 3 x 4 9 x 2 2 x 1. 
a) Ax Bx x2 1 
 Bx Ax x2 1 
 xxxxx65 5 3 4 9 2 2 1 x 2 1 
 xxx65 5 3 4 9 xx 2 2 2 x 1 1 
 x65 xx 5 3 4 8 x 2 2 x . 
b) Ax Cx x3 2 x 6 
 Cx Ax x3 2 x 6 
 xxxxx65 5 3 4 9 2 2 1 xx 3 2 6 
 x65 xxx 5 3 4 3 9 x 2 4 x 5. 
Câu 2. 
a) Ta có Px Qx x3 2 
 x4 2 x 3 2 x 5 Qxx 3 2 
 Qxx 32 x 4 2 x 3 2 x 5 
 x32 xxx 4 2 3 2 5 
 x43 x 3 2 x 3. 
b) Rx Px x2 
 Rxx 4 2 x 3 2 x 5 x 2 
 Rxx 2 x 42 x 3 2 x 5 
 Trang 7 
 xx2 42 x 3 2 x 5 
 x42 xx 3 2 2 x 5. 
Câu 3. 
a) Ax x3 3 x 2 3 x x 8 . 
b) Ax x33 x 2 2 x 8 . 
Câu 4. 
Ta có P 2 3 
 2. 2 3 3.a .2 5 3 
 16 6a 5 3 
 21 6a 3 
 6a 18 
 a 3. 
Vậy a 3 thì P 2 3. 
Câu 5. 
Ta có FxGxxx 2n 2 n 1 ... xx 2 1 x 2 n 1 xx 2 n 2 n 1 ... xx 2 1 
 xx2n 2 n 1 ... xxxxx 2 1 2 n 1 2 n 2 n 1 ... xx 2 1 
 x2n 1 xx 2 n 2 n xx 2 n 1 2 n 1 ... xx 2 2 xx 1 1 
 x2n 1 
Vậy F 2 G 2 22n 1 . 
 Trang 8