Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán học Lớp 7

 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
3, 8, 15, 24, 35, ... 
3, 24, 63, 120, 195, ...
1, 3, 6, 10, 15, ...
2, 5, 10, 17, 26, ...
6, 14, 24, 36, 50, ...
4, 28, 70, 130, 208, ...
2, 5, 9, 14, 20, ...
3, 6, 10, 15, 21, ...
2, 8, 20, 40, 70, ...
Hướng dẫn:
n(n+2)
(3n-2)3n
1+n2
n(n+5)
(3n-2)(3n+1)
Bài 2: Tính:
	a,A = 1+2+3++(n-1)+n
	b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Hướng dẫn:
	a,A = 1+2+3++(n-1)+n
	A = n (n+1):2
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
	3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
	3A = 99.100.101
 	A = 333300
Tổng quát: 
A = 1.2+2.3+3.4+. + (n - 1) n
A = (n-1)n(n+1): 3
Bài 3: Tính:
	A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
Hướng dẫn:
	A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
	A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99
	A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
	A = 333300 + 4950 = 338250
Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 
A= (n-1)n(2n+1):6
Bài 4: Tính:
	A = 1...+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)
Bài 16: Tính:
	A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102
Hướng dẫn:
	A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)
	A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50)
Bài 17: Tính:
	A = 13+23+33+...+993+1003
Hướng dẫn:
	A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1)
	A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100- 98.99+(12+22+32+...+992+1002)
	A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+...+992+1002)
Bài 18: Tính:
	A = 23+43+63+...+983+1003
Hướng dẫn:
Bài 19: Tính:
	A = 13+33+53+...+973+993
Hướng dẫn:
Bài 20: Tính:
	A = 13-23+33-43+...+993-1003
Hướng dẫn:
Chuyên đề:
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d).
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu thì 
Tính chất 2: Nếu và a, b, c, d thì ta có các tỉ lệ thức sau:
 , , , 
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
-Tính chất: Từ suy ra: 
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: 
 suy ra: 
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và 
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt , suy ra: , 
Theo giả thiết: 
Do đó: 
KL: 
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Do đó: 
KL: 
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết 
mà 
Do đó: 
KL: 
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: ...;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Giải: 
=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)
=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
 Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C 
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+) 
+) 
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: 
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có: (1)
 (2) 
Từ giả thiết: (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 (đpcm)
Cách 2: (PP2)
Đặt , suy ra 
Ta có: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Cách 3: (PP3)
Từ giả thiết: 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 (đpcm)
Hỏi: Đảo lại có đúng không ?
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết: (1)
Ta có: (2)
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 (đpcm)
Cách 2: Đặt , suy ra 
Ta có: (1) 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Cách 3: Từ giả thiết: 
 (đpcm)
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: .
Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
a) b) c) 
d) e) f)
g) h) i) 
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 5: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 
	CMR: Ta có đẳng thức: 
Bài 7: Cho và 
Chứng minh rằng: 
Bài 8: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 9: Chứng minh rằng nếu : thì 
Bài 10: Cho và 
Chứng minh rằng: 
Bài 11: CMR: Nếu thì . Đảo lại có đúng không?
Bài 12: Chứng minh rằng nếu : thì 
Bài 13: Cho . CMR: 
Bài 14. Cho