Ôn tập Toán 10 - Chủ đề: Tổ hợp xác suất, nhị thức Niu-ton

Bài 4.
(1,0 điểm)
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất để sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát. 
+) Mỗi bước đi quân vua có thể đi đến 8 ô xung quanh, từ đó suy ra số phần tử của không gian mẫu là 
+) Gắn hệ trục vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm đến điểm có tọa độ trong đó . Ví dụ nếu thì quân vua di chuyển đến ô bên phải; thì di chuyển xuống ô đường chéo.
+) Sau 3 bước đi thì tọa độ của quân vua là . Để về vị trí ban đầu thì . Suy ra là một hoán vị của .
+) có 6 cách chọn; với mỗi cách chọn có 4 cách chọn ( vì không đồng thời bằng Do đó số kết quả thuận lợi của biến cố bằng 24 và xác suất cần tìm là 
Ghi chú: Nếu thí sinh làm theo cách liệt kê mà không khẳng định bước đi th...ắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án trả lời, các phương án trả lời đôi một khác nhau, trong đó có một phương án đúng, ba phương án sai, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm, trả lời sai không được điểm và không bị trừ điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 7,0 điểm trở lên.
Số phần tử của không gian mẫu là 
Gọi A là biến cố “ thí sinh đạt từ 7,0 điểm trở lên ’’
Thí sinh chọn đúng 7 câu, sai 3 câu có cách.
Thí sinh chọn đúng 8 câu, sai 2 câu có cách.
Thí sinh chọn đúng 9 câu, sai 1 câu có cách.
Thí sinh chọn đúng cả 10 câu có 1 cách. 
. 
Câu 2 (2,0 điểm) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Xác định số phần tử của S. Tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11.
Giải:.
Số phần tử của S là: 
Ký hiệu số có bốn chữ số thỏa yêu cầu là 
Theo giả thiết ta có . Do nên .
Có 4 cặp chữ số có tổng bằng 11 là: 2 và 9, 3 và 8, 4 và 7, 5 và 6.
Số lượng các số thỏa yêu cầu là .
Do đó xác suất bằng 
Câu 3: (2.0 điểm)
Có năm đoạn thẳng có chiều dài là 1, 3, 5, 7 và 9 (cm) . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng đó. Tính xác suất để ba đoạn thẳng được chọn có thể xếp thành một hình tam giác.
Ta có 
Gọi A là biến cố 3 đoạn thẳng lấy ra là ba cạnh của một tam giác.
Trong 10 bộ ta có thể tạo được là 135, 137, 139, 157, 159, 179, 357, 359, 379, 579, chỉ có 3 bộ ba đủ điều kiện tạo thành một tam giác là 357, 379, 579. (tổng độ dài hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh còn lại)
Vậy . 
Suy ra 
Câu 6: (2.5 điểm)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn .
+ Xét 
+ Với , ta có 
+ Với , ta có 
+ Suy ra 
+ Khi đó 
+ Giải tìm được n = 4.
	Câu 4: (2.5 điểm) 
Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức , (với ). Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn: 
+ Đặt 
+ Xét khai triển: 
+ Xét
+ 
+ Xét khai triển: 
+ Cho 
+ Kết luận: số hạng không chứa là: 
Bài 2 (4đ)... thỏa mãn là .
TH4. 
Số các số thỏa mãn là .
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
b) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn 
Trong 9 thẻ đã cho có hai thẻ ghi số chia hết cho 4 (các thẻ ghi số 4 và 8), 7 thẻ còn lại ghi số không chia hết cho 4.
Giả sử rút , số cách chọn từ 9 thẻ trong hộp là , số phần tử của không gian mẫu là: 
Gọi là biến cố:” Trong số thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4”
Suy ra là biến cố:” Lấy tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4”
Số cách chọn tương ứng với biến cố là 
Ta có 
Do đó 
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 6. Vậy số thẻ ít nhất phải rút là 6.
Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Văn, 5 cuốn sách Sử và 6 cuốn sách Địa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn. 
2
(5,0đ)
a) (3,0 điểm)
Số phần tử không gian mẫu: 
Gọi A là biến cố: Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ ba môn
Khi đó là biến cố: Số cuốn sách còn lại của thầy X không đủ ba môn 
Xét các khả năng xẩy ra:
KN 1: 7 cuốn sách còn lại chỉ có Văn và Sử. Số cách chọn là: 
KN 2: 7 cuốn sách còn lại chỉ có Văn và Địa. Số cách chọn là: 
KN 3: 7 cuốn sách còn lại chỉ có Địa và Sử. Số cách chọn là: 
Vậy: 
2.
(2,0đ)
Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các số Xác định số phần tử của Lấy ngẫu nhiên một số từ tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho .
Số phần tử của là (số).
Số phần tử của không gian mẫu là 
Gọi là biến cố “số được chọn là số chia hết cho và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho ”.
Gọi số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau là
Theo giả thiết ta có và 
Suy ra và .
Trong các chữ số có các bộ số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho là 
Chọn cặp số có 4 khả năng, mỗi khả năng có 2 cách. 
Khi đó