Đề thi chọn học sinh giỏi Cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng Giáo dục và Đào tạo Quan Sơn (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 QUAN SƠN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán; Lớp: 7
 Số báo danh Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi: 10/5/2014
 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Bài 1 (4 điểm)
 1 1 1 1
a/ Tính giá trị biểu thức : A ... 
 2.4 4.6 6.8 2012.2014
b/ So sánh S 3 22 23 24 ... 2100 và P 2101 
Bài 2 (4 điểm): 
a/ Tìm x biết 3x 2x 1 2 
b/ Tìm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z và 3x-7y+5z=30
Bài 3 (4 điểm)
a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58
 2 2
b/ Chứng minh rằng nếu m mn n 9 với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết 
cho 3.
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia đối của 
tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD. Các đường thẳng vuông góc với BC tại D và E lần 
lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N. Gọi I là giao điểm của MN 
với BC.
a/ Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
b/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5 (2 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y, z 0 thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz
 HẾT
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm HƯỚNG DẪN CHẤM
 MÔN : TOÁN 7
Bài ý Nội dung Điểm
Bài 1 a 1 1 1 1 *
 Ta có : với k N 
 k k 2 2 k k 2 0,5
 Cho k chạy từ 2 đến 2012 và k là số chẵn ta được
 1 1 1 1
 A ... 
 2,0đ 2.4 4.6 6.8 2012.2014
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 ... 
 2 2 4 4 6 6 8 2012 2014 0,75
 1 1 1 503
 0,5
 2 2 2014 2014 
 503
 A 
 Vậy 2014 0,25
4,0 đ b Ta có: 
 S 3 22 23 24 ... 2100 1 2 22 23 24 ... 2100 0,25
 2 3 4 100 101 0,75
 2S 2 2 2 2 .... 2 2 
 2S S 2101 1 0,25
 2,0đ 
 S 2101 1 2101
 0,5
 S P
 0,25
 Vậy S < P 
Bài 2 a 1 0,25
 + Với x 2x 1 0 2x 1 2x 1
 2
 Ta có 
 3x 2x 1 2 3x 2x 1 2 0,5
 2,0đ 0,25
 x 3 (thoả mãn đk)
 1
 + Với x 2x 1 0 2x 1 2x 1 0,25
 2
 Ta có 
 3x 2x 1 2 3x 2x 1 2 0,25
 1
 5x 1 x (không thoả mãn ĐK)
 5 025
 Vậy x=3
 0,25 b x y x y 0,25
 Ta có 2x 3y (1)
 3 2 21 14
 x z x z
 5x 7z (2) 0,25
 7 5 21 15
 x y z
 Từ (1) và (2) 
 21 14 15 0,25
 3x 7y 5z 3x 7y 5z 30 3
 63 98 75 63 98 75 40 4 0,5
 x 3 63
 x 
 21 4 4
 2,0đ y 3 21 z 3 45 0,75
 y ; z 
 14 4 2 15 4 4
 63 21 45
 Vậy x ,y ,z .
 4 2 4
Bài 3 a Gọi đa thức bậc hai là f x ax2 bx c với a 0 0,5
 Ta có : f 0 10 c 10 0,25
 f 1 20 a b c 20 a b 10 (1)
 0,25
 f 3 58 9a 3b c 58
 2,0đ 
 9a 3b 48 3a b 16 2 0,25
 Từ (1) và (2) 2a 6 a 3 0,5
 b 10 3 7 
 Vậy đa thức cần tìm là f x 3x2 7x 10
 0,25
 b Ta có : m2 mn n2 m n 2 3mn (1) 0,5
 2 2
 Vì m mn n 9 
 2 2 2
 m mn n 3 m n 3 m n3 2 0,5
 2
 m n 9 
 2,0đ 0,5
 Kết hợp với (1) 3mn9 mn3 (3) 
 Vì 3 là số nguyên tố nên từ (2) và (3) suy ra m và n đều chia 0,5
 hết cho 3. 
 Suy ra đpcm Bài 4 a
 A
 3,0 M
 I C
 B D E
 O
 N
 Chứng minh DBM ECN 1,0
 DM = EN 0,25
 Chứng minh DMI ENI 1,25
 IM = IN 0,5
6,0 Hay I là trung điểm của MN
điểm
 b Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường 0,25
 thẳng vuông góc với MN tại I.
 Vì AB = AC AO là đường trung trực của BC OB=OC 0,25
 Vì I là trung điểm của MN OI là đường trung trực của MN 0,25
 OM = ON
 Vì DBM ECN BM = CN 0,5
 3,0 Xét OBM và OCN có
 OB = OC, OM = ON, BM = CN
 OBM = OCN (C.C.C)
 O· BM O· CN (1) 0,5
 Vì AO là đường trung trực của BC O· BA O· CA (2)
 0,5
 Từ (1) và (2) O· CN O· CA 
 OC  AC 0,5
 Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường thẳng vuông góc với AC tại C nên điểm O cố định
 Suy ra điều phải chứng minh 0,25
Bài 5 Không mất tính tổng quát của bài toán giả sử x y z 0,5
 Vì x, y, z là các số tự nhiên khác 0 1 x y z 
 Ta có x y z xyz * 0,25
 1 1 1
2,0đ 1 0,25
 yz xz xy
 1 1 1 3
 1 
 x2 x2 x2 x2 0,5
 x2 3 x 1 
 Thay vào (*) ta được 0,5
 1+y+z = yz
 y 1 z 1 2 0,5
 y 1 1 y 2 0,25
 z 1 2 z 3
 x,y,z 1;2;3 
 Vì vai trò của x, y, z như nhau nên các bộ số (x,y,z) thoả mãn bài 
 toán là : 1;2;3 ; 1;3;2 ; 2;1;3 ; 2;3;1 ; 3;1;2 ; 3;2;1 0,25
Chú ý: Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa.