Đề ôn tập môn Toán Lớp 10 - Chủ đề: Phân giác và bài tập liên quan phân giác hình học oxy - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

 TỔ 12 ĐỢT 19
 PHÂN GIÁC VÀ BÀI TẬP LIÊN QUAN PHÂN GIÁC 
 HÌNH HỌC OXY
 MÔN: TOÁN – LỚP 10
 PHẦN I: ĐỀ BÀI 
Câu 1. [Mức độ 2] Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi trục hoành và đường thẳng 
 d :3x 4y 5 0 là
 A. 8x 4y 5 0 ; 2x 4y 5 0 . B. 8x 4y 5 0 ; 2x 4y 5 0 . 
 C. 3x y 5 0 ; 3x 9y 5 0 . D. 3x y 5 0 ; 3x 9y 5 0 . 
Câu 2. [Mức độ 2] Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi trục tung và đường thẳng 
 d :3x 4y 5 0 là
 A. 3x 9y 5 0 ; 3x y 5 0 . B. 3x 9y 5 0 ;3x y 5 0 . 
 C. 2x 4y 5 0 ; 8x 4y 5 0 . D. 2x 4y 5 0; 8x 4y 5 0 . 
Câu 3. [Mức độ 2] Phương trình các đường phân giác các góc tạo bởi hai đường thẳng : x 3 và 
 : 6x 8y 1 0 là
 A. 2x 3y 3 0 ;3x 2y 17 0 . B. 2x 8y 13 0 ;16x 8y 67 0 . 
 C. 4x 8y 31 0 ;16x 8y 29 0 . D. 7x 3y 9 0 ;3x 7y 12 0 . 
Câu 4. [Mức độ 2] Phương trình đường thẳng nào sau đây là phương trình đường phân giác góc tạo 
 bởi hai đường thẳng : y 2 và :3x 4y 5 0 ?
 A. 3x y 15 0 . B. 3x y 15 0 . C. x 3y 5 0 . D. x 3y 9 0 .
Câu 5. [Mức độ 3] Phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng 
 d1 : x y 4 0 và d2 : x 7y 12 0 là
 A. x 3y 8 0 . B. 3x y 4 0. C. 3x y 4 0 . D. x 3y 8 0 .
Câu 6. [Mức độ 3] Phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng 
 d1 : x 2y 3 0 và d2 : x 2y 7 0 là
 A. 2y 5 0 . B. x 2y 5 0 . C. x 2 0. D. x y 2 0 .
Câu 7. [Mức độ 3] Cho hai đường thẳng d1 : 3x 4y 10 và d2 : x 2y 0 , biết phương trình 
 đường phân giác góc tù tạo bởi hai đường thẳng trên có dạng a b x c 2 b y d 0 . 
 Tổng a b c d bằng
 A. 0 . B. 5 .C. 4 .D. 2 .
Câu 8. [Mức độ 3] Cho hai đường thẳng d2 :4x 3y 23 0 và d1 : y 1, biết đường thẳng d là 
 đường phân giác góc tù tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 . Phương trình đường thẳng d là 
 A. 2x y 9 0 . B. 2x y 9 0 .C. 2x y 9 0 .D. 2x y 9 0.
Câu 9. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : x y 0 ; 
 2 : x y 8 0 . Gọi l1 , l2 là các đường thẳng đi qua điểm M 1;1 và tạo với hai 
Trang 1 TỔ 12 ĐỢT 19
 đường thẳng 1 , 2 một tam giác cân. Tổng bình phương khoảng cách từ điểm O đến 
 l1 , l2 bằng 
 A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 10. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm D 6;2 và hai đường thẳng 
 d1 : x 2y 1 0; d2 : x 2y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua D và cắt 
 hai đường thẳng d1 ; d2 tại hai điểm B;C sao cho tam giác tạo bởi ba đường thẳng 
 d1 ; d2 ; là tam giác cân, với BC là cạnh đáy.
 A. x 12; y 4 B. x 6; y 2 . C. x 2; y 1. D. x 6; y 4 .
Câu 11. [ Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d1 :3x 4y 1 0 ; d2 : 6x 8y 1 0 và 
 :3x y 1 0 . Phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng và tiếp xúc 
 với d1 và d2 là:
 2 2 2 2
 13 1 289 13 1 289
 A. x y ; x y .
 48 12 6400 48 12 400
 2 2 2 2
 13 3 289 1 5 289
 B. x y ; x y .
 48 16 6400 12 4 400
 2 2 2 2
 13 3 289 1 5 289
 C. x y ; x y .
 48 16 6400 12 4 400
 2 2 2 2
 13 1 289 13 1 289
 D. x y ; x y .
 48 12 6400 48 12 400
Câu 12. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : x 2y 3 0, 
 d2 : 2x y 6 0 . Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với hai đường thẳng d1 ,d2 , và 
 có tâm nằm trên đường thẳng Δ : x y 1 0 .
 2 2 9 2 2 9
 A. C : x 4 y 5 . B. C : x 4 y 5 .
 5 5
 2 2 3 5 2 2 3 5
 C. C : x 4 y 5 . D. C : x 4 y 5 .
 5 5
Câu 13. [ Mức độ 2] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình các cạnh 
 là AB: 4x 3y 2 0, AC : y 3 0, BC :x 5y 11 0 . Đường phân giác trong của góc A 
 có hệ số góc là
 1
 A. 2 . B. 1. C. 2 . D. .
 2
Câu 14. [ Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC với A 1;3 ; B 5;6 ; C 3;4 . Gọi 
 ( ) là đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC . Đường thẳng ( ) song song với 
 đường thẳng có phương trình nào sau đây?
 A. x y 2 0 . B. y 3 0 . C. y 0 .D. x 0 . 
Trang 2 TỔ 12 ĐỢT 19
Câu 15. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1; 2 ; B 2; 4 ; C 5; 4 . 
 Phương trình đường phân giác trong của góc A là 
 A. x y 1 0 .B. x y 3 0 .C. x 2y 3 0 .D. 2x y 0 .
Câu 16. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có phương trình các cạnh 
 AB: 2x y 1 0 , AC : x 2y 3 0 và BC :3x y 9 0 . Đường phân giác trong của góc 
 A đi qua điểm nào sau đây?
 A. M 2; 2 .B. N 0 ;4 . C. P 0 ; 2 .D. Q 4 ; 2 .
Câu 17. [Mức độ 3] Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 8;12 , B 1;0 , C 8; 0 . 
 Gọi I a;b là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Tính 2a b
 A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 8 .
Câu 18. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 11; 7 , B(23;9) , 
 C 1; 2 . Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 
 A. 10;0 . B. 0;10 . C. 10;10 .D. 10; 10 .
Câu 19. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;4 , B 4;0 và C 1;0 . 
 Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác 
 ABC .
 65 145 5
 A. 10 . B. . C. . D. .
 2 2 2
Câu 20. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác vuông ABC có A 1;5 ; B 4; 5 ; C 4; 1 . Tính 
 khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm trong tam giác ABC .
 5 2 3
 A. B. C. D. 2
 3 2 2
Câu 21. [Mức độ 3] Cho ABC có phương trình cạnh AB:3x 4y 9 0 , cạnh AC :8x 6y 1 0, 
 cạnh BC : x y 5 0 . Phương trình đường phân giác trong của góc A là
 A. 14x 14y 17 0. B. 2x 2y 19 0 . C. 2x 2y 19 0. D. 14x 14y 17 0.
Câu 22. [Mức độ 3] Cho ABC có A 1; 5 , B 4; 5 , C 4; 1 . Tọa độ chân đường phân giác 
 ngoài của góc B· AC là 
 5 5 
 A. 1; . B. 16; 5 . C. 16; 5 . D. 1; . 
 2 2 
Câu 23. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A 1;1 , B 2;4 và C 8;2 . Đường 
 phân giác trong góc A cắt đường trung trực cạnh BC tại H . Tọa độ điểm H là: 
 5 1 
 A. H ; . B. H 5; 13 . C. H 17;7 . D. H 5;13 .
 2 2 
Trang 3 TỔ 12 ĐỢT 19
Câu 24. [Mức độ 3] Cho tam giác ABC có A 6; 3 , B 9;2 ,C 4;3 . Gọi E là trung điểm cạnh 
 AC . Đường phân giác trong góc A cắt đường trung tuyến BE tại K . Tọa độ điểm K là
 8 1 8 1 17 1 17 1 
 A. ; . B. ; .C. ; . D. ; .
 3 3 3 3 2 2 2 2 
Câu 25. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết 
 A 1;2 , B 3;6 và phương trình đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh C là x 2y 4 0 .
 A. C 4;3 . B. C 0; 2 .C. C 4; 3 . D. C 0;2 .
Câu 26. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A 0 ;1 , B 4;5 . Đường phân giác 
 1
 trong của góc B song song với trục tung, cos·ACB . Tìm tọa độ đỉnh C .
 5
 A. C 2;7 . B. C 6;3 . C. C 3;7 . D. C 2;5 .
Câu 27. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có đỉnh A 2;1 . Gọi G 4; 2 là trọng tâm 
 x 1 2t
 ABC . Đường phân giác trong góc B cắt AC tại D có phương trình , t ¡ . Tìm 
 y 3 t
 tọa độ điểm C.
 101 229 101 229 101 171 101 171 
 A. C ; . B. C ; . C. C ; .D. C ; .
 10 20 10 20 10 20 10 20 
Câu 28. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ C là 
 17 1 
 H ; , chân đường phân giác trong của góc C là D 5 ; 3 và trung điểm của cạnh CB 
 5 5 
 là M 0;1 . Tọa độ đỉnh A là 
 A. 9;11 . B. 9;10 . C. 2;11 . D. 9; 11 .
Câu 29. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có C 1;5 , đường phân giác trong BK 
 của góc B và đường cao AH lần lượt có phương trình x 3y 8 0 , y 1 0. Phương trình 
 cạnh AB của tam giác ABC là
 A. 3x 4y 7 0. B. 3x 4y 13 0 . C. 4x 3y 5 0 . D. 4x 3y 13 0 .
Câu 30. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh C 4;1 . Đường trung tuyến 
 AM , đường phân giác trong BD của tam giác ABC có phương trình lần lượt là 2x y 3 0 , 
 x y 6 0 . Biết điểm A x0 ; y0 , giá trị của 3x0 y0 bằng
 A. 24 . B. 24 . C. 38 . D. 38 .
Câu 31. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A 3;2 ; đường phân giác 
 trong AE :3x 4y 17 0 ; đường trung trực của cạnh AB có phương trình 2x y 3 0 . Khi 
 đó phương trình cạnh AC là
 A. 11x 2y 29 0 . B. 11x 2y 37 0 . C. 2x 11y 29 0 . D. 2x 11y 37 0 .
Trang 4 TỔ 12 ĐỢT 19
Câu 32. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A 2 ; 1 và hai đường phân giác 
 trong có phương trình x 2y 1 0, x y 3 0. Lập phương trình cạnh BC.
 A. 4x y 3 0 . B. 2x y 3 0. C. 4x y 3 0 . D. 
 x 4y 3 0 .
Câu 33. [Mức độ 3] Cho tam giác ABC có A 2; 4 và hai đường phân giác trong của góc B và góc C
 có phương trình lần lượt là x y 2 0, x 3y 6 0 . Viết phương trình đường thẳng chứa 
 cạnh BC .
 A. 7x 9y 14 0 . B. 9x 7y 18 0. C. 4x 3y 1 0. D. 3x 4y 8 0 .
Câu 34. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho DABC có điểm B(2;- 1) và hai 
 đường phân giác trong của hai góc A,C lần lượt có phương trình 
 (D A ): x- 2y + 1= 0, (D C ): 2x- 3y + 6 = 0 . Viết phương trình cạnh AC .
 A. x y 3 0 . B. x y 6 0 . C. 2x 2y 3 0. D. x y 3 0.
Câu 35. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 2; 1 và các 
 đường phân giác trong của góc B , C lần lượt có phương trình là 
 dB : x 2y 1 0; dC : x y 3 0. Đường thẳng BC có phương trình:
 A. 4x y 3 0 . B. x 4y 3 0. C. x 4y 3 0 . D. 4x y 3 0 .
 4 7 
Câu 36. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng với hệ trục toạn độ Oxy, cho ABC có A ; và phương trình 
 5 5 
 hai đường phân giác trong lần lượt là d1 : x 2y 1 0 , d2 : x 3y 1 0 . Khi đó phương trình 
 đường thẳng chứa cạnh BC là
 A. x 2y 4 0 . B. 2x y 5 0. C. x y 3 0 . D. x 2y 4 0 .
Câu 37. [ Mức độ 3] Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi 
 M , N, J lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AI,CD,BN . Biết phương trình đường thẳng 
 MJ là 2y 7 0 và N 5;6 . Biết đỉnh C có hoành độ lớn hơn 3 . Đỉnh C của hình vuông 
 ABCD có tọa độ là:
 A. C 4;5 . B. C 7;5 . C. C 3;5 . D. C 7;3 .
 2 9 
Câu 38. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm D ; , E 2;5 , F 0;4 lần lượt 
 5 5 
 là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A , B , C của tam giác nhọn ABC . Đường thẳng BC có 
 phương trình là
 A. x 7y 13 0. B. 5x 5y 11 0 . C. 9x 2y 0. D. 3x y 3 0 .
Câu 39: [Mức độ 3] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có D 1; 1 , diện 
 tích bằng 6 , phân giác trong của góc B· AD của hình chữ nhật ABCD là đường thẳng có 
 phương trình x y 2 0. Tìm tọa độ đỉnh B biết điểm A có tung độ âm.
 A. B 3; 2 .B. B 3; 4 . C. B 3; 2 .D. B 3; 2 .
Câu 40. [Mức độ 3] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC 
 biết B 2, 1 , phương trình đường cao và đường phân giác trong qua các đỉnh A,C lần lượt là 
 d1 :3x 4y 27 0 và d2 : x 2y 5 0 .
 A. A 5;3 .B. A 5; 3 . C. A 5;3 . D. A 5; 3 .
Trang 5 TỔ 12 ĐỢT 19
 PHẦN II: BẢNG ĐÁP ÁN
 1.D 2.C 3.C 4.A 5.A 6.A 7.D 8.D 9.D 10.B
 11.B 12.B 13.D 14.D 15.A 16.D 17.C 18.A 19.D 20.A
 21.D 22.B 23.D 24.B 25.D 26.B 27.C 28.A 29.D 30.D
 31.A 32.A 33.A 34.D 35.D 36.D 37.B 38.A 39.C 40.A
 PHẦN III: LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. [0H3-1.5-2] [Mức độ 2] Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi trục hoành và 
 đường thẳng d :3x 4y 5 0 là
 A. 8x 4y 5 0 ; 2x 4y 5 0 . B. 8x 4y 5 0 ; 2x 4y 5 0 . 
 C. 3x y 5 0 ; 3x 9y 5 0 . D. 3x y 5 0 ; 3x 9y 5 0 . 
 Lời giải
 FB tác giả: Nguyễn Anh Chương 
 Gọi M x; y là điểm thuộc đường phân giác của góc tạo bởi trục hoành và đường thẳng 
 3x 4y 5
 d :3x 4y 5 0 . Khi đó ta có: d M ;d d M ;Ox y .
 32 42
 3x 4y 5 5y 3x y 5 0
 3x 4y 5 5 y .
 3x 4y 5 5y 3x 9y 5 0
Câu 2. [0H3-1.5-2] [Mức độ 2] Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi trục tung và đường 
 thẳng d :3x 4y 5 0 là
 A. 3x 9y 5 0 ; 3x y 5 0 . B. 3x 9y 5 0 ;3x y 5 0 . 
 C. 2x 4y 5 0 ; 8x 4y 5 0 . D. 2x 4y 5 0; 8x 4y 5 0 . 
 Lời giải
 FB tác giả: Nguyễn Anh Chương 
 Gọi M x; y là điểm thuộc đường phân giác của góc tạo bởi trục tung và đường thẳng 
 3x 4y 5
 d :3x 4y 5 0 . Khi đó ta có: d M ;d d M ;Oy x .
 9 16
 3x 4y 5 5x 2x 4y 5 0 2x 4y 5 0
 3x 4y 5 5 x .
 3x 4y 5 5x 8x 4y 5 0 8x 4y 5 0
Câu 3. [0H3-1.5-2] [Mức độ 2] Phương trình các đường phân giác các góc tạo bởi hai đường thẳng 
 : x 3 và : 6x 8y 1 0 là
 A. 2x 3y 3 0 ;3x 2y 17 0 . B. 2x 8y 13 0 ;16x 8y 67 0 . 
 C. 4x 8y 31 0 ;16x 8y 29 0 . D. 7x 3y 9 0 ;3x 7y 12 0 . 
 Lời giải
 FB tác giả: Tiến Hùng Phạm 
 Gọi M x; y là điểm thuộc đường phân giác góc tạo bởi hai đường thẳng : x 3 và 
Trang 6 TỔ 12 ĐỢT 19
 6x 8y 1
 : 6x 8y 1 0 . Khi đó ta có: d M ; d M ; x 3 .
 62 82
 10x 30 6x 8y 1 4x 8y 31 0
 10 x 3 6x 8y 1 .
 10x 30 6x 8y 1 16x 8y 29 0
Câu 4. [0H3-1.5-2] [Mức độ 2] Phương trình đường thẳng nào sau đây là phương trình đường phân 
 giác góc tạo bởi hai đường thẳng : y 2 và :3x 4y 5 0 ?
 A. 3x y 15 0 . B. 3x y 15 0 . C. x 3y 5 0 . D. x 3y 9 0 .
 Lời giải
 FB tác giả: Tiến Hùng Phạm 
 Ta có : y 2 : y 2 0 .
 Gọi M x; y là điểm thuộc đường phân giác góc tạo bởi hai đường thẳng y 2 và 
 3x 4y 5
 3x 4y 5 0 . Khi đó ta có: d M ; d M ; y 2 .
 32 42
 5y 10 3x 4y 5 3x y 15 0
 5 y 2 3x 4y 5 .
 5y 10 3x 4y 5 3x 9y 5 0
Câu 5. [0H3-1.5-3] [Mức độ 3] Phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng 
 d1 : x y 4 0 và d2 : x 7y 12 0 là
 A. x 3y 8 0 . B. 3x y 4 0. C. 3x y 4 0 . D. x 3y 8 0 .
 Lời giải
 FB tác giả: Hưng Trần
 Ta có M (x; y) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2
 d M ;d1 d M ;d2 .
 x y 4 x 7y 12
 5 x y 4 x 7y 12 .
 2 50
 5x 5y 20 x 7y 12 4x 12y 32 0 x 3y 8 0
 .
 5x 5y 20 x 7y 12 6x 2y 8 0 3x y 4 0
 Do đó phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 là
 p1 : x 3y 8 0 và p2 :3x y 4 0 .
 1.1 1.3 2 1.3 1.1 1
 Ta có: cos d , p và cos d , p .
 1 1 2. 10 5 1 2 2. 10 5
 · ·
 Vì cos d1, p1 cos d1, p2 nên d1, p1 (d1, p2 ) .
 Do đó p1 : x 3y 8 0 là phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d1 và d2 .
Câu 6. [0H3-1.5-3] [Mức độ 3] Phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng 
 d1 : x 2y 3 0 và d2 : x 2y 7 0 là
 A. 2y 5 0 . B. x 2y 5 0 . C. x 2 0. D. x y 2 0 .
 Lời giải
Trang 7 TỔ 12 ĐỢT 19
 FB tác giả: Hưng Trần
 Ta có M (x; y) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2
 d M ;d1 d M ;d2 .
 x 2y 3 x 2y 7
 x 2y 3 x 2y 7 .
 5 5
 x 2y 3 x 2y 7 2y 5 0
 .
 x 2y 3 x 2y 7 x 2 0 
 Do đó phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 là
 p1 : 2y 5 0 và p2 : x 2 0 .
 1.0 2.2 2 1.1 2.0 1
 Ta có: cos(d , p ) và cos(d , p ) .
 1 1 5.2 5 1 2 5.1 5
 · ·
 Vì cos d1, p1 cos d1, p2 nên d1, p1 (d1, p2 ) .
 Do đó p1 : 2y 5 0 là phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d1 và d2 .
Câu 7. [0H3-1.5-3] [Mức độ 3] Cho hai đường thẳng d1 : 3x 4y 10 và d2 : x 2y 0 , biết 
 phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi hai đường thẳng trên có dạng 
 a b x c 2 b y d 0 . Tổng a b c d bằng
 A. 0 . B. 5 .C. 4 .D. 2 .
 Lời giải
 FB tác giả: Thầy Phú
 Gọi là đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 .
  Gọi giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là M . Khi đó tọa độ M thỏa mãn hệ phương 
 trình:
 3x 4y 10 x 2
 M 2;1 . 
 x 2y 0 y 1
  Trên đường thẳng d1 lấy điểm A 2;4 , gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua đường 
 thẳng . 
Trang 8 TỔ 12 ĐỢT 19
 B d 2 B 2b;b .
   
 Ta có MA 4;3 ;MB 2b 2;b 1 .
 MA MB MA2 MB2 . 
 4 2 32 2b 2 2 b 1 2 5b2 10b 5 25 5b2 10b 20 0 . 
 b 1 5
 .
 b 1 5
    
 MB 2 5 ; 5 MA.MB 4 . 2 5 3. 5 5 5
 Khi đó  nên   .
 MB 2 5 ; 5 MA.MB 4 . 2 5 3. 5 5 5
  Vì là đường phân giác góc tù tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 nên đường thẳng có 
       
 một vectơ chỉ phương là u MA MB và MA.MB 0. Khi đó MB 2 5 ; 5 nên 
    
 u MA MB 4 2 5 ;3 5 .
  
  Vậy đường thẳng đi qua M 2;1 nhận vectơ pháp tuyến n 3 5 ;4 2 5 có 
 phương trình là :
 3 5 . x 2 4 2 5 . y 1 0 . 
 3 5 .x 4 2 5 .y 10 0 . 
  Vậy a 3;b 5;c 4;d 10 nên a b c d 2 .
Câu 8. [0H3-1.5-3] [Mức độ 3] Cho hai đường thẳng d2 :4x 3y 23 0 và d1 : y 1, biết đường 
 thẳng d là đường phân giác góc tù tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 . Phương trình đường 
 thẳng d là 
 A. 2x y 9 0 . B. 2x y 9 0 .C. 2x y 9 0 .D. 2x y 9 0.
 Lời giải
 FB tác giả: Thầy Phú
  Gọi giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là M . Khi đó tọa độ M thỏa mãn hệ phương 
 trình:
 4x 3y 23 0 x 5
 M 5;1 .
 y 1 y 1
  Trên đường thẳng d2 lấy điểm B 2;5 , gọi A là điểm đối xứng với điểm B qua đường 
 thẳng d . 
Trang 9 TỔ 12 ĐỢT 19
 A d1 A a;1 .
   
 Vì MA a 5;0 ;MB 3;4 nên MA MB MA2 MB2 
 a 5 2 02 3 2 4 2 a2 10a 25 25 a2 10a 0 
 a 0 A 0;1 
 .
 a 10 A 10;1 
    
 MA 5;0 MA.MB 5 . 3 4.0 15
 Khi đó  nên   .
 MA 5;0 MA.MB 5. 3 4.0 15
  Vì d là đường phân giác góc tù tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 nên đường thẳng d có 
       
 một vectơ chỉ phương là ud MA MB và MA.MB 0. Khi đó MA 5;0 nên 
    
 ud MA MB 2;4 .
  
  Vậy đường thẳng d đi qua M 5;1 và nhận vectơ pháp tuyến n 2; 1 có phương trình 
 d 
 là: 
 2. x 5 1. y 1 0 2x y 9 0 .
Câu 9. [0H3-1.5-3] [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : x y 0 ; 
 2 : x y 8 0 . Gọi l1 , l2 là các đường thẳng đi qua điểm M 1;1 và tạo với hai 
 đường thẳng 1 , 2 một tam giác cân. Tổng bình phương khoảng cách từ điểm O đến 
 l1 , l2 bằng 
 A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
 Lời giải
 FB tác giả: Hoàng Huệ
 Gọi A 1  2 khi đó ta có A 4; 4 .
   
 Theo giả thiết, 1 có VTPT n1 1; 1 nên VTCP của 1 là u1 1;1 .
   
 2 có VTPT n2 1;1 nên VTCP của 2 là u2 1; 1 .
   
 Ta có n1.n2 0 nên 1  2 . Vì vậy, đường thẳng đi qua điểm M 1;1 và tạo với 
 hai đường thẳng 1 ; 2 một tam giác vuông cân tại A 4; 4 .
 Cách 1: 
 Gọi đường thẳng d1 , d2 là các đường phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 , để thỏa 
 yêu cầu bài toán thì l1 , l2 lần lượt vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 .
   
  
 u1 u2
 Ta có VTCP của hai đường thẳng d1 , d2 được xác định bởi công thức ud   . 
 u1 u2
   
 Vậy chọn VTCP của hai đường thẳng d , d lần lượt là u 1;0 hay u 0;1 .
 1 2 d1 d2 
   
 Trường hợp 1: l  d khi đó l đi qua M 1;1 có VTPT n u 1;0 .
 1 1 1 l1 d1 
 Vậy l1 : x 1 0 . Suy ra, d O ; l1 1.
Trang 10