Chuyên đề Số hữu tỉ - Số thực môn Đại số Lớp 7

 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC 
 ĐẠI SỐ 7
 §1. TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 a
1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với ab, , b 0
 b
2. Ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số. Trên chục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ
được gọi là điểm x
3. Với hai số hữu tỉ bất kỳ xy, ta luôn có hoặc xy hoặc xy hoặc xy . Ta có thể so
sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.
• Nếu xy thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y;
• Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm;
• Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. SỬ DỤNG CÁC KÍ HIỆU , ,  , , , .
Phương pháp giải.
 Cần nắm vững ý nghĩa của từng ký hiệu: 
 • Kí hiệu đọc là “phần tử của” hoặc “thuộc”.
 • Kí hiệu đọc là “không phải là phần tử của” hoặc “khồng thuộc”.
 • Kí hiệu  đọc là “là tập hợp con của”.
 • Kí hiệu chỉ tập hợp các số tự nhiên.
 • Kí hiệu chỉ tập hợp các số nguyên.
 • Kí hiệu  chỉ tập hợp các số hữu tỉ.
Ví dụ 1. (Bài 1 tr.7 SGK) 
Điền ký hiệu , , thích hợp vào ô trống: 
 -3 ; -3 ; -3 
 2 2
 ;  ; 
 3 3
Giải -3 ; -3 ; -3 
 2 2
 ;  ;   
 3 3
Dạng 2. BIỂU DIỄN SỐ HỮU TỈ 
Phương pháp giải. 
• Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản.
• Khi biểu diến số hữu tỉ trên trục số, ta thường viết số đó dưới dạng phân số tối giản có
mẫu dương. Khi đó mẫu cửa phân số cho biết đoạn thẳng đơn vị cần được chia thành bao
nhiêu phần bằng nhau.
Ví dụ 2. (Bài 2 tr.7 SGK) 
 3
a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ : 
 4
 12 15 24 20 27
 , , , , ? 
 15 20 32 28 36
 3
b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. 
 4
Giải 
 33 
a) Ta có .Rút gọn các phân số đã cho ta được: 
 44
 12 4 15 3 24 3 20 5 27 3
 ; ; ; ; . 
 15 5 20 4 32 4 28 7 36 4
 3 15 24 27
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: ; và 
 4 20 32 36
 3 33 
b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: Ta viết và biểu diễn trên trục số như sau: 
 4 44 Dạng 3. SO SÁNH CÁC SỐ HỮU TỈ 
Phương pháp giải. 
 • Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng một mẫu dương;
 • So sánh các tử, phân số nào tử nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
 • Có thể sử dụng tính chất sau để so sánh: Nếu abc, , và ab thì acbc .
Ví dụ 3. (Bài 3 tr.8 SGK) 
So sánh các số hữu tỉ: 
 2 3
 a) x và y ;
 7 11
 213 18
 b) x và y ; 
 300 25
 3
 c) x 0, 75 và y ;
 4
Giải 
 2 2 22 3 21
 a) xy ; . 
 7 7 77 11 77
 22 21 23 
 22 21và 77 0 nên hay (xy ). 
 77 77 7 11
 213 18 18 216
 b) xy ; . 
 300 25 25 300
 213 216 213 18
 Ta có: hay (xy ). 
 300 300 300 25
Ví dụ 4. (Bài 4 tr.8 SGK) 
 a
So sánh số hữu tỉ (ab , , b 0 )với số 0 khi ab, cùng dấu và khi ab, khác dấu. 
 b
Giải 
Nhờ tính chất cơ bản của phân số, ta luôn có thể viết một phân số có mẫu âm thành một phân số 
 a
bằng nó và có mẫu dương. Vì vậy, ta chỉ cần nhận xét số hữu tỉ (ab , , b 0 ).
 b
 a 0 a
Nếu cùng dấu thì ta có a 0.Do đó hay 0.
 bb b
 a 0 a
Nếu ab, khác dấu thì ta có a 0.Do đó hay 0.
 bb b
 a
 Nhận xét: Số hữu tỉ (ab , , b 0 )là số dương nếu ab, cùng dấu, là số âm nếu ab,
 b
khác dấu, bằng 0 nếu a 0. 
Ví dụ 5. (Bài 5 tr.8 SGK) ab
Giả sử x , y abm , , , m 0 và xy .
 mm 
 ab 
Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn z thì ta có xzy . 
 2m
Hướng dẫn: Sử dụng tính chất: Nếu abc, , thì ab thì acbc . 
Giải 
 ab
Theo đề bài x , y abm , , , m 0 .Vì xy nên ab . 
 mm
 a b ab 
Ta có xyz , , 
 mm2 m
 ab nên aaab hay 2aab (1)
 ab nên abbb hay ab 2 b (2)
 22a ab b
Từ (1) và (2) ta có: 22aab b.Suy ra: hay xyz . 
 222mmm
Nhận xét: Bài toán này cho thấy hai số hữu tỉ khác nhau bất kỳ bao giờ cũng có ít nhất một số 
hữu tỉ nữa. Do đó có vô số số hữu tỉ. 
C. LUYỆN TẬP
1.1 Dạng 1. Điền ký hiệu , , thích hợp vào ô trống:
 -5 ; -5 ; -5 
 6 6
 ;  ; 
 7 7
 2
1.2 Dạng 2. Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ : 
 5
 6 4 14 4 17
 ; ; ; ; . 
 15 12 35 10 40
1.3 Dạng 3. So sánh số hữu tỉ: 
 1 1
 a) x và y ; 
 2 3
 2
 b) x và y 0; 
 3
 1
 c) x 0, 125và y .
 8
1.4 Dạng 1. Điền các ký hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có 
thể): 
 2 3
 3 ; 10 ; ; ; 
 9 7
1.5 Dạng 3. Các số hữu tỉ sau đây có bằng nhau không: 1 5 5 1
 a) x và y ; b) x và y ? 
 7 25 19 4
 ac ac
1.6 Cho hai số hữu tỉ , bd 00 , .Chứng minh rằng nếu ab bc và ngược lại. 
 bd bd
 a
1.7. Cho abc, , là những số nguyên, b 0.Hãy so sánh hai số hữu tỉ và c. 
 b
 ac a ac c
1.8 Chứng minh rằng nếu bd00, thì: .
 bd b bd d
1.9 Viết ba số hữu tỉ xen giữa các số hữu tỉ sau: 
 1 1 1 1
 a) và ; b) và . 
 3 4 100 100
 a an 
1.10 Cho abbn , , 0, *.Hãy so sánh hai số hữu tỉ và .
 b bn 
1.11 So sánh các số hữu tỉ sau: 
 3 11 11 8
 a) và ; b) và ; 
 7 5 6 9
 297 306 265 83
 c) và ; d) và . 
 16 25 317 111
1.12 So sánh các số hữu tỉ sau: 
 2002 14 27 1 33 34
 a) và ; b) và ; c) và . 
 2003 13 463 3 37 35
1.13 Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự giảm dần: 
 12 3 16 1 11 14 9
 a) , , , , , , ; 
 17 17 17 17 17 17 17
 5555555
 b) , , , , , , ;
 97248311
 9 2 3 18 27
 c) , , , , . 
 8 3 4 19 28
 a 3
1.14 Cho số hữu tỉ x .Với giá trị nào của a thì: 
 2
 a) x là số dương;
 b) x là số âm;
 c) x không là số dương và cũng không là số âm.
 21a 
1.15 Cho số hữu tỉ y .Với giá trị nào của a thì: 
 3
 a) y là số dương;
 b) y là số âm; c) y không là số dương và cũng không là số âm.
 a 5
1.16 Cho số hữu tỉ xa 0 .Với giá trị nguyên nào của a thì x là số nguyên? 
 a
 a 3
1.17 Cho số hữu tỉ xa 0 .Với giá trị nguyên nào của a thì x là số nguyên? 
 2a
 --------------------------------------------------------- §2. CỘNG TRỪ SỐ HỮU TỈ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ.
• Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ xy, bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số có
cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.
• Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: Giao hoán, kết hợp, cộng
với số 0. Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối.
2. Quy tắc “chuyển vế”.
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đối dấu số hạng
đó.
Với mọi xyz, ,  : x y z x z y. 
3. Chú ý.
Trong , ta cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu 
ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong . 
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. CỘNG TRỪ HAI SỐ HỮU TỈ
Phương pháp giải.
• Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương (bằng cách quy đồng
mẫu của chúng);
• Cộng, trừ hai tử số, mẫu chung giữ nguyên;
• Rút gọn kết quả (nếu có thể).
Ví dụ 1. (Bài 6 tr.10 SGK) 
 Tính: 
 11 8 15 5 2
a) ; b) ; c) 0,; 75 d) 35,; 
 21 28 18 27 12 7 
Hướng dẫn 
 1143 4 () 3 7 1
 a) 
 21 28 84 84 84 84 12
 b) Nên rút gọn các phân số trước khi trừ:
 8 15 4 5() 4 5 9
 1 
 18 27 9 9 9 9 1
 c) Đáp số: 
 3
 53 11
 d) Đáp số: 3
 14 14
Dạng 2. VIẾT MỘT SỐ HỮU TỈ DƯỚI DẠNG TỔNG HOẶC HIỆU CỦA HAI SỐ HỮU 
TỈ. 
Phương pháp giải. 
 Một trong các phương pháp giải có thể là: 
 • Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.
 • Viết tử của phân số thành tổng hoặc hiệu của hai số nguyên.
 • “Tách” ra hai phân số có tử là các số nguyên vừa tìm được.
 • Rút gọn phân số (nếu có thể).
Ví dụ 2. (Bài 7 tr.10 SGK) 
 5
Ta có thể viết số hữu tỉ dưới các dạng sau đây: 
 16
 5 5 13
 a) là tổng của hai số hữu tỉ âm. Ví dụ: 
 16 16 8 16
 5 5 21
 b) là hiệu của hai số hữu tỉ dương. Ví dụ: 1
 16 16 16
 Với mỗi câu, em hãy lấy thêm ví dụ. 
 Giải. 
 5( 1 )( 4 ) 1 4 11
 a) Ta có thể viết: 
 16 16 16 16 16 4
 5101919 ( )( ) 
 16 32 32 32 32
 5103737 ( )( ) 
 ;.... 
 16 32 32 32 32
 5 6 11 6 11 3 11
 b) 
 16 16 16 16 8 16 5 7 12 7 12 7 3
 16 16 16 16 16 4
 Dạng 3. TÍNH TỔNG HOẶC HIỆU CỦA NHIỀU SỐ HỮU TỈ 
 Phương pháp giải. 
 • Áp dụng quy tắc “dấu ngoặc” đối với các số hữu tỉ:
 Với mọi xy,  :( x y ) x y
 • Nếu có các dấu ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn thì làm theo thứ tự trước hết tính
 trong ngoặc tròn rồi đến ngoặc vuông, cuối cùng là ngoặc ngọn.
 • Có thể bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng một cách thích hợp.
 Ví dụ 3. (Bài 8 tr.10 SGK) 
 Tính: 
 35 3 4 27
 a) c) 
 72 5 5 7 10
 423 2 7 13 
 b) 
 d) 
 352 3 4 28 
Giải. 
 3 5 3 3 5 3 30 175 42 187 47
 a) 2
 7 2 5 7 2 5 70 70 70 70 70
 97 7
 b) Đáp số: 3
 30 30
 27
 c) Đáp số: 
 70
 2 71327432772147 
 d) 
 3 4283488348388 
 2 21 16 63 79 7
 3
 3 8 24 24 24 24
 Dạng 4. TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT TRONG MỘT TỔNG HOẶC MỘT HIỆU 
 Phương pháp giải Áp dụng quy tắc “chuyển vế” 
 Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng 
 đó. 
Ví dụ 4. (Bài 9 tr.10 SGK) 
 Tìm x, biết: 
 13 26
 a) x c) x 
 34 37
 25 41
 b) x d) x
 57 73
Giải 
 26 41
 c) x d) x
 37 73
 62 41
 x x
 73 73
 18 14 12 7
 x x
 21 21 21 21
 5 39 4
 Vậy x Vậy x 1
 12 35 35
 5 39 4
 a) Đáp số: x b) Đáp số: x 1
 12 35 35