Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Chương 2 - Bài 1: Tổng ba góc trong một tam giác

 CHƯƠNG 2: TAM GIÁC 
 BÀI 1. TỔNG BA GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được các định lí tổng ba góc trong một tam giác. 
 + Nhận biết được tam giác vuông và nắm được tính chất về góc trong tam giác vuông. 
 + Nhận biết được góc ngoài của một tam giác và nắm được định lí về tính chất góc ngoài của tam 
 giác. 
  Kĩ năng 
 + Vận dụng các định lí trong bài để tính số đo các góc trong và ngoài tam giác. 
 + Vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán trong thực tiễn. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Định lí tổng ba góc của một tam giác 
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o. 
 ∆ABC có A B C 180  
Áp dụng vào tam giác vuông 
Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông. 
Định lý: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau. Tam giác ABC vuông tại A nên B C 90  . 
Khi đó, hai góc nhọn được gọi là phụ nhau. 
 ∆ABC vuông tại A B C 90  
Góc ngoài của tam giác 
Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy. 
Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. 
 ∆ABC có ACx là góc ngoài đỉnh C ACx  A B 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
 ∆ABC, A 90  
 B C 90  
 ∆ABC luôn có 
 A B C 180  
 ∆ABC có ACx là góc ngoài tại C 
 ACx  A B 
 Trang 2 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Tính số đo của một góc, so sánh các góc 
 Phương pháp giải 
1. Sử dụng định lí tổng ba góc trong một tam Ví dụ: Tính số đo x, y trong các hình vẽ sau: 
giác và các định lý về góc khác. 
2. Lưu ý cách giải của một số dạng toán quen 
thuộc như tổng - hiệu, tổng - tỷ, tính chất của tỷ 
lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. 
 Hướng dẫn giải 
 a) Xét ∆ABC có A B C 180  
a) Áp dụng định lí về tổng ba góc của một tam 
 65 60  C 180  
giác. 
 C 180  65  60  55  
b) Áp dụng định lí về góc ngoài của tam giác. b) Xét ∆ABC có y là góc ngoài tại đỉnh C. 
 Suy ra y  A B 85  55  140  . 
 Lại có x B 180  (hai góc kề bù). 
 Suy ra x 180  B 180  55  125  . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A 80  và B C 20  . 
a) Tính số đo các góc B, C của ∆ABC. 
b) Gọi AD là tia phân giác của A . Tính số đo của ADB . 
Hướng dẫn giải 
a) Xét ∆ABC có A B C 180 . 
Theo giả thiết A 80  nên B C 100  . 
Mặt khác B C 20  (giả thiết). 
 Trang 3 
 100 20 
Suy ra: B 60 . 
 2
 C B 20  60  20  40  . 
 1 1
b) Do AD là tia phân giác góc A nên BAD DAC  A .80   40 . 
 2 2
Xét ∆ACD có ADB là góc ngoài đỉnh D nên ADB DAC ACD   40 40 80 
Ví dụ 2. Cho ∆ABC có B 20  , C 40 . 
a) Tam giác ABC là tam giác gì? 
b) Gọi AD là tia nằm giữa hai tia AB và AC . Biết CAD 2. BAD . 
Tính số đo của CDA . 
Hướng dẫn giải 
a) Xét ∆ABC có A B C 180  
 A180  BC  180  20   40 120 . 
Do A 90  nên tam giác ABC là tam giác có một góc tù. 
b) Theo giả thiết, ta có CAD 2. BAD 
 BAD 1 BAD 1 BAD 1 1 1
 BAD  A .120   40 . 
 CAD 2 BADCAD 1 2 A 3 3 3
Xét ∆ADB có ADC là góc ngoài đỉnh D nên ADC BAD ABD ADC   40 20 60 . 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Tam giác ABC có số đo A 75 , B  45 . Góc C có số đo bằng 
 A. C 90 . B. C 60 . C. C 45  . D. C 75 . 
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại B. Kết luận nào sau đây là sai? 
 A. ABC 90  . B. A C 90  . C. B C 90  . D. C 90   A . 
Câu 3: Cho tam giác MNP có M 80  . Biết N P 40 . Số đo của N bằng 
 A. N 75  . B. N 45  . C. N 70  . D. N 60  . 
Câu 4: Kết luận nào sau đây là đúng? 
 A. Một tam giác chỉ có tối đa hai góc nhọn. 
 B. Một tam giác chỉ có nhiều nhất một góc tù. 
 Trang 4 
 C. Trong một tam giác, có ít nhất hai góc có số đo nhỏ hơn 60°. 
 D. Trong một tam giác, số đo của mỗi góc luôn nhỏ hơn tổng số đo các góc còn lại. 
Câu 5: Cho tam giác ABC có A 75  và B 2. C . Số đo của góc C bằng 
 A. C 70 . B. C 35  . C. C 40  . D. C 50 . 
Câu 6: Cho tam giác ABC có A 75  . Biết góc B có số đo lớn hơn số đo góc C là 15o. 
a) Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC. 
b) Gọi BD là tia phân giác của ABC với D AC . Tính số đo của ADB . 
Câu 7: Cho tam giác ABC có AD, BE lần lượt là tia phân giác trong các góc AB, D BCE ; CA . 
Biết AD cắt BE tại K và AKB 110 , KAC  30 . Tính số đo các góc A, B, C của tam giác ABC. 
Câu 8: Cho tam giác ABC. Tính số đo các góc còn lại của tam giác biết 
 A. A 96  và C 32  . B. A: B : C 2 : 7 :1. 
 C. B 75  và A: C 3 : 2 
Dạng 2: Các bài toán chứng minh góc 
 Phương pháp giải 
Sử dụng linh hoạt các tính chất về góc của một tam Ví dụ: Cho tam giác MNP. Các đường phân giác 
giác, góc ngoài tại một đỉnh hay tính chất tia phân trong các góc M, P cắt nhau tại I. 
giác của góc. MNP 
 Chứng minh rằng: MIP 90  
 2
 Hướng dẫn giải 
 Xét ∆MIP có MIP IMP IPM 180 
Bước 1. Áp dụng tính chất tổng ba góc trong tam 
giác, tính góc trong yêu cầu của bài toán. MIP  180 IMP IPM 
 Lại có: 
Bước 2. Kết hợp tính chất đường phân giác để 1
 IMP NMP (do MI là phân giác của NMP ). 
chứng minh hệ thức. 2
 1
 IPM NPM (do PI là phân giác của NPM ). 
 2
 Trang 5 
 1
 Suy ra MIP  180 . NMP NPM . (1) 
 2 
 Mặt khác, xét ∆MNP có 
 MNP NMP NPM 180 
 NMP NPM  180 MNP (2) 
 Thế (2) vào (1), ta được 
 1
 MIP 180  . 180  MNP 
 2 
 1
 MIP 180  90 . MNP 
 2
 MNP 
 MIP 90  (điều phải chứng minh) 
 2
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A và AH BCH BC . 
a) Chứng minh BAH BCA . 
b) Tia phân giác của CAH cắt CH tại K. Chứng minh AKB BAK 
Hướng dẫn giải 
a) Xét ∆ABC có BAC  90 ABC ACB  90 . 
Xét ∆ABH có AHB  90 ABH BAH  90 . 
Suy ra ABC ACB ABH BAH 90 
 ACB BAH (điều phải chứng minh). 
 1
b) Ta có AK là tia phân giác của CAH nên CAK KAH CAH . 
 2
Mà ACB BAH (chứng minh câu a) nên suy ra 
 ACB CAK BAH KAH 
 ACB CAK BAK (1). 
Mặt khác AKB là góc ngoài đỉnh K của ∆AKC nên 
 Trang 6 
 AKB ACK CAK hay AKB ACB CAK (2) 
Từ (1) và (2) ta có AKB BAK (điều phải chứng minh) 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ AH vuông góc với BC H BC . Các tia phân giác góc ABC 
và góc HAC cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AIB 90  . 
Câu 2: Cho tam giác ABC có BD , CE lần lượt là tia phân giác các góc B, C. Gọi I là giao điểm của BD 
và CE. 
 A
a) Chứng minh rằng BIC 90  . 
 2
b) Biết BAC 60  . Tính số đo của BIE . 
c) Tính số đo của BIC biết số đo góc BAC là trung bình cộng của hai góc ABC, ACB . 
Câu 3: Cho tam giác ABC và đường cao AH H BC . Biết rằng BAH BCA . 
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. 
b) Biết rằng số đo góc ABC bằng trung bình cộng của hai góc BAC , ACB . Tính số đo các góc của tam 
giác ABC. 
 Trang 7 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Tính số đo của một góc, so sánh các góc 
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 
 1-B 2-C 3-C 4-B 5-B 
Câu 1: Xét ∆ABC có ABC   180  C 180   AB  180  75    45 60 . 
Câu 2: Vì tam giác ABC vuông tại B nên B 90  (A đúng); A C 90  (B và D đúng). 
C. B C 90  sai vì B 90  nên B C 90 . 
Câu 3: Xét ∆MNP có MNP   180  NP  180  M 180   80 100 . 
 100 40 
Mặt khác N P 40 . Suy ra N 70 . 
 2
Câu 4: 
A. Sai vì luôn tồn tại tam giác có ba góc nhọn. Ví dụ tam giác có ba góc bằng 60°. 
B. Đúng. Giả sử tam giác có nhiều hơn 1 góc tù. Khi đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180° (mâu 
thuẫn với định lí tổng 3 góc trong tam giác).Vậy trong tam giác có nhiều nhất một góc tù. 
C. Sai. Thật vậy xét tam giác ABC có A 60 , B  60 , C  60 . Khi đó A B C 180  (mâu thuẫn 
với định lí tổng 3 góc trong tam giác). 
D. Sai. Thậy vậy, xét ∆ABC có A tù. Khi đó góc ngoài A1 tại A là góc nhọn. Ta có A BC   A1 (mâu 
thuẫn vì góc tù luôn lớn hơn góc nhọn). 
Câu 5: ∆ABC có ABC   180  BC  180   A 180   75 105 . 
Mặt khác B 2. C nên 2CC  105  3 C 105   C 35 . 
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Câu 6: 
a) Xét ∆ABC có ABC   180  BC  180   A 180   75 105 . 
 105 15 
Mà B C 15  (giả thiết) nên B    60 , C 105 60 45 . 
 2
 1 1
b) Do BD là tia phân giác góc ABC nên ABD DBC ABC .60   30 . 
 2 2
Xét ∆BCD có ADB là góc ngoài đỉnh D nên ADB DBC DCB   30 45 75 . 
 Trang 8 
Câu 7: 
Ta có KAC 30  
Do AK là phân giác của BAC nên KAB KAC 30 và BAC 2. KAC 2.30   60 . 
Xét ∆ABK có KABKBAAKB 180   30 KBA 110  180  KBA 180  30  110   40 
Mà BK là phân giác của ABC nên ABC 2. ABK 2.40   80 . 
Xét ∆ABC có ABC   180  60  80  C 180  C 180  60  80  40  . 
Vậy ∆ABC có A 60 , B  80 , C  40 . 
Câu 8: Xét ∆ABC có A B C 180 . 
a) Có A 96 , C  32 nên B 180   AC  180  96   32 52  . 
 A B C
b) Theo giả thiết A: B : C 2 : 7 :1 . 
 2 7 1
 A BC   ABC   180 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 18 
 2 7 1 2 7 1 10
Suy ra A 2.18   36 ; B 7.18  126  ; C 1.18   18 . 
c) Do B 75  nên ta có A C 180  75  105  . 
 A C
Từ giả thiết A: C 3 : 2 . 
 3 2
 A C  AC  105 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 21 
 3 2 3 2 5
Suy ra A 3.21   63 ; C 2.21   42 . 
Dạng 2. Các bài toán chứng minh góc 
Câu 1: 
 Trang 9 
Xét ∆ABC vuông tại A có ABC ACB 90 . (1) 
Xét ∆AHC vuông tại H có HAC ACH 90 . (2) 
Từ (1) và (2), ta có HAC ACH ABC ACB  90 HAC ABC . 
 1 1
Lại có ABI ABC (do BI là phân giác của ABC ); HAI HAC (do AI là phân giác của HAC ). 
 2 2
 1 1
Suy ra ABI HAI ABC HAC HAC (do HAC ABC ). 
 2 2
Xét ∆ABI có: ABI IAB ABI IAH HAB HAC HAB BAC 90 . 
Mà ABI IAB AIB 180 . 
Suy ra AIB 180  ABI IAB 180    90 90 (điều phải chứng minh). 
Câu 2: 
 1 1
a) Ta có IBA IBC B (do BI là tia phân giác B ), ICA ICB C (do CI là tia phân giác C ). 
 2 2
Xét ∆IBC có BIC IBC ICB 180 . 
 1 1 1
Suy ra BIC  180 IBCICB  180 BC   180 BC  (1) 
 2 2 2
Xét ∆ABC có ABC   180  BC  180   A (2) 
Thế (2) vào (1) ta có: 
 1 1 1
 BIC 180 180   A 180   90 A  90  A (điều phải chứng minh). 
 2 2 2
 1 1
b) Từ chứng minh câu a, ta có: BIC  90 BAC  90 .60  120  . 
 2 2
Mà ta có BIE BIC 180  (hai góc kề bù). Suy ra BIE 180  BIC 180  120   60 . 
c) Do BAC có số đo là trung bình cộng số đo của ABC và ACB nên 
 Trang 10