Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Chương 1 - Bài 1: Tập hợp số hữu tỉ

 CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC 
 BÀI 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được định nghĩa số hữu tỉ, mối quan hệ giữa các tập hợp số đã học với tập số hữu tỉ. 
 + Nắm được cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. 
 + Nắm được phương pháp so sánh hai số hữu tỉ; khái niệm số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương. 
  Kĩ năng 
 + Nhận biết số hữu tỉ và biểu diễn được số hữu tỉ trên trục số. 
 + Biểu diễn được số hữu tỉ thành nhiều phân số bằng nhau. 
 + Biết cách so sánh các số hữu tỉ với nhau. 
 + Nhận biết được số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương và tìm điều kiện để số hữu tỉ là số âm (dương) 
 hoặc số nguyên. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Định nghĩa Ở Pháp vào mùa đông, nhiệt độ có khi là 
 a âm: 3 C hoặc 10 C , có khi là dương 
Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với 
 b
 2 C . 
 a, b ; b 0 
 Các số 3; 10; 2 là các số hữu tỉ thể hiện 
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là . 
  nhiệt độ không khí. 
 1 3
 Các số 0; 2; ;2 đều là các số hữu tỉ. 
 2 2
 a
 Thật vậy, các số đều được viết dưới dạng 
 b
 0 4 1 2 3 7
 như sau: 0 ...; 2 ; ;2 . 
 1 2 2 4 2 2
Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số Trên trục số, ta biểu diễn các điểm: 
Bất kì số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn trên trục số dưới 3 1 5
 1; ; ;1; 
dạng phân số có mẫu dương. 4 3 3
Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x. 
So sánh hai số hữu tỉ 
Với hai số hữu tỉ x, y ta luôn có hoặc x y hoặc x y hoặc 
 x y . Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng 
dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó. 
 Nếu x y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y. 
 số hữu tỉ âm số hữu tỉ dương 
 Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương; 
 Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm. 
Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm. 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
 SỐ HỮU TỈ 
 a
 a, b ; b 0 
 b 
 Số hữu tỉ âm < 0 < Số hữu tỉ dương 
 Trang 2 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số 
 Phương pháp giải 
Mối quan hệ giữa các tập hợp số đã biết với tập hợp 
số hữu tỉ:    . 
Sử dụng các kí hiệu ,,,,,,   để biểu diễn Ví dụ. Điền các kí hiệu thích hợp 
mối quan hệ giữa số và tập hợp hoặc giữa các tập ,,,,,,   vào ô trống: 
hợp với nhau. 1
 3 ;
 2 
 7
 ;  .
 9 
 Hướng dẫn giải 
 1
 3 ;
 2 
 7
 ;  .
 9  
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Điền các kí hiệu thích hợp ,,,,,,   vào ô trống: 
 10 3
1 ; 1 ; ; ;
 2 8 
 4 1 2
 ; ; ;  .
 9 4 5 
Hướng dẫn giải 
 10 10
1 ; 1 ; do = 5 ; 
 2 2 
 3 4 1 2
 ; ; , ; ;  ; .
 8 9 4 5   
Chú ý: 
 - Kí hiệu là “thuộc”. 
 - Kí hiệu là “không thuộc”. 
 - Kí hiệu  là “tập hợp con”. 
 - Kí hiệu  là “chứa trong” hoặc “chứa”. 
 - Kí hiệu là “tập hợp các số tự nhiên”. 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Điền kí hiệu ,, thích hợp và ô trống: 
 Trang 3 
 5 2
 4 ; ; 8 ; ;
 3  9 
 1 2 2
 ; ; ; .
 11 7  19 
Câu 2: Điền các kí hiệu ; ;  thích hợp vào ô trống (điền tất cả các khả năng có thể): 
 2
 6 ; 22 ; ;  ;
 23 
 5 3
 ; ; 21 ;; 1 .
 7 4
Câu 3: Khẳng định nào dưới đây sai? 
 A. Số 19 là một số tự nhiên. B. Số 5 là một số nguyên âm. 
 15
 C. Số là một số hữu tỉ. D. Số 0 là một số hữu tỉ dương. 
 19
Câu 4: Viết Đ vào ô có khẳng định đúng và S vào ô có khẳng định sai: 
 1. Số nguyên là số hữu tỉ; 
 2. Số nguyên âm không là số hữu tỉ âm; 
 3. Tập hợp  gồm các số hữu tỉ âm và các số hữu tỉ dương; 
 1
 4. Số 1 là số hữu tỉ; 
 2
 1
 5. Số không là số hữu tỉ. 
 5
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ 
Bài toán 1: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số 
 Phương pháp giải 
Để biểu diễn một số hữu tỉ trên trục số, ta thường 2
 Biểu diễn phân số trên trục số. 
làm như sau: 3
Bước 1. Ta viết số đó dưới dạng phân số có mẫu Bước 1. Chia các đoạn thẳng đơn vị làm 3 phần bằng 
dương. Khi đó mẫu của phân số sẽ cho ta biết nhau. 
đoạn thẳng đơn vị được chia thành bao nhiêu 
phần bằng nhau. 
Bước 2. Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị. 1
 Bước 2. Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng 
 3
 đơn vị cũ). 
Bước 3. Số hữu tỉ dương (âm) nằm bên phải (trái) Bước 3. Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 
điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng giá trị một đoạn bằng 2 đơn vị mới. 
tuyệt đối của số hữu tỉ đó. Điểm vừa lấy là điểm phải tìm. 
 Trang 4 
 Ví dụ mẫu 
 3
Ví dụ 1. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. 
 4
Hướng dẫn giải 
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 4 phần bằng nhau. 
 1
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng đơn vị cũ). 
 4
Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới. 
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm. 
 3
Ví dụ 2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. 
 5
Hướng dẫn giải 
 3 3
Ta có 
 5 5
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 5 phần bằng nhau. 
 1
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng đơn vị cũ). 
 5
Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới. 
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm. 
Bài toán 2: Biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng các phân số bằng nhau 
 Phương pháp giải 
Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số Ví dụ: 
 a 1 1 2 3
tối giản với a, b ; b 0 . ...
 b 2 2 4 6
 1 2 3
 1 ... 
 1 2 3
 2 5 10
 1 ...
 3 3 6
 Ví dụ mẫu 
 6 4 4 20
Ví dụ. Cho các phân số sau: ; ; ; 
 15 12 10 8
 2
Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? 
 5
Hướng dẫn giải 
 Trang 5 
 2 2 6 2 4 1 4 2 20 5
Ta có . Rút gọn các phân số đã cho ta được: ; ; ; 
 5 5 15 5 12 3 10 5 8 2
 2 6 4
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: và . 
 5 15 10
 Bài tập tự luyện dạng 2 
 3 1 1
Câu 1: Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: ; ; 
 2 3 4
 9 14 4 12 2
Câu 2: Cho các phân số sau ; ; ; . Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? 
 6 21 6 20 3
Câu 3: 
 21 14 42 35 5 28 7
a) Cho các phân số ; ; ; ;; . Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ? 
 27 19 54 45 7 36 9
 7
b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số. 
 9
 3
Câu 4: Trong các phân số sau, phân số nào không bằng phân số ? 
 5
 6 9 6 3
 A. B. C. D. 
 11 15 10 5
 1 25 5
Câu 5: Biểu diễn các số: ;0,25; ; bởi các điểm trên cùng một trục số ta được bao nhiêu điểm 
 4 100 20
phân biệt? 
 A. Một điểm. B. Hai điểm. C. Ba điểm. D. Bốn điểm. 
 14 24 26 28 72 12
Câu 6: Trong các phân số ;; ; ; có bao nhiêu phân số bằng phân số ? 
 18 26 28 30 78 13
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Dạng 3: So sánh hai số hữu tỉ 
 Phương pháp giải 
Để so sánh hai số hữu tỉ ta thường thực hiện các bước 11 8
 Ví dụ. So sánh các số hữu tỉ sau: và . 
sau: 6 9
 Hướng dẫn giải 
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương. 8 8
 9 9
Bước 2. Đưa các phân số ở bước một về cùng mẫu số 11 33 8 8 16
 Ta có: ; 
(quy đồng). 6 18 9 9 18
Bước 3. So sánh các tử của các phân số ở bước hai, phân 33 16 11 8
 Vì 33 16 nên hay 
số nào có tử lớn hơn thì sẽ lớn hơn. 18 18 6 9
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. So sánh các số sau: 
 25 20 15 21 19 23
a) và ; b) và ; c) và . 
 20 25 21 49 49 47
Hướng dẫn giải 
 Trang 6 
 25 20 25 20
 a) Ta có 0 và 0 nên . 
 20 25 20 25
 15 5 21 3 5 3 15 21
 b) Ta có ; . Vì nên 
 21 7 49 7 7 7 21 49
 19 23 23 23 19 23
 c) Ta có: và . Do đó 
 49 49 49 47 49 47
Ví dụ 2. So sánh các số hữu tỉ sau: 
 998 999 315 316 2020 2018
a) và ; b) và ; c) và . 
 555 556 380 381 2019 2019
Hướng dẫn giải 
 a) Ta thấy 998 555 999 556 443 nên ta so sánh hai phân số qua phần bù 
 998 443 999 443
 Ta có 1 ; 1 
 555 555 556 556
 443 443 999 998 999 998
 Vì nên 1 1 hay 
 556 555 556 555 556 555
 b) Ta thấy 380 315 381 316 65 nên ta so sánh hai phân số bằng cách cộng thêm 1. 
 315 65 316 65
 Ta có 1 ; 1 
 380 380 381 381
 65 65 315 316 315 316
 Vì nên 1 1 hay . 
 380 381 380 381 380 381
 2020
 c) Ta có 2020 2019 nên 1 
 2019
 2018
 Lại có 2018 2019 nên 1 
 2019
 2020 2018
 Do đó . 
 2019 2019
Chú ý: 
Ngoài phương pháp so sánh bằng cách quy đồng mẫu số, ta có thể sử dụng các phương pháp khác như: 
 So sánh qua một phân số trung gian. 
 So sánh qua phần bù. 
 Đưa về so sánh hai phân số có cùng tử số. 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1: So sánh các số hữu tỉ sau: 
 7 11 5 7 24 19 9 27
a) và ; b) và ; c) và ; d) và . 
 8 12 8 10 35 30 21 63
Câu 2: So sánh các số hữu tỉ sau: 
 9 5 4 15 13 9 9 20
a) và ; b) và ; c) và ; d) và . 
 70 42 27 63 15 11 17 21
 Trang 7 
 12 3 16 1 11 14 9
Câu 3: Sắp xếp các số hữu tỉ ;; ;; ; ; theo thứ tự giảm dần. 
 19 19 19 19 19 19 19
 16 16 19
Câu 4: Sắp xếp các số hữu tỉ ; ; theo thứ tự tăng dần. 
 27 29 27
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số hữu tỉ là số âm (dương) hay số nguyên 
 Phương pháp giải 
- Số hữu tỉ âm là những số hữu tỉ nhỏ hơn 0. 2a 1
 Ví dụ. Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào 
- Số hữu tỉ dương là những số hữu tỉ lớn hơn 0. 2
 của a thì: 
- Số 0 không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ 
dương. a) x là số hữu tỉ dương? 
 b) x là số hữu tỉ âm? 
 c) x không là số hữu tỉ dương cũng không là số 
 hữu tỉ âm? 
 d) x là số nguyên? 
 Hướng dẫn giải 
 a 2a 1
- Số hữu tỉ là số hữu tỉ dương khi a, b cùng dấu. a) Để x là số dương thì 0 
 b 2
 1
 Mà 2 0 nên 2a 1 0 a 
 2
 1
 Vậy a thì x là số hữu tỉ dương. 
 2
 a 2a 1
- Số hữu tỉ là số hữu tỉ âm khi a, b khác dấu. b) Để x là số âm thì 0 
 b 2
 1
 Mà 2 0 nên 2a 1 0 a 
 2
 1
 Vậy a thì x là số hữu tỉ âm. 
 2
 a c) Để x không là số dương cũng không là số âm 
- Số hữu tỉ bằng 0 khi a 0 và b 0 . 
 b 2a 1
 thì 0 
Chú ý: 0 không là số âm cũng không là số dương. 2
 1
 Mà 2 0 nên 2a 1 0 a 
 2
 1
 Vậy a thì x không là số hữu tỉ dương, cũng 
 2
 không là số hữu tỉ âm. 
 a d) Để x là số nguyên thì 2a 1 2 . Suy ra: 
- Số hữu tỉ là số nguyên khi a b hay b là ước của a. 
 b 
 2a 1 2 kk , 
 1 
 2ak 2 1 ak , k 
 2 
 1
 Vậy ak , k thì x là số nguyên. 
 2 
 Ví dụ mẫu 
 Trang 8 
 a
Ví dụ 1. Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào của a thì 
 a2 1
a) x là số hữu tỉ âm? 
b) x không là số hữu tỉ âm, x cũng không là số hữu tỉ dương? 
Hướng dẫn giải 
Ta có a2 0,  a nên a2 1 1 0 hay a2 1 0  a . Do đó: 
 a
a) x là số hữu tỉ nếu 0, suy ra a 0 
 a2 1
 a
b) x không là số hữu tỉ âm, x cũng không là số hữu tỉ dương nếu 0 , suy ra a 0 . 
 a2 1
 7
Ví dụ 2. Cho số hữu tỉ x . Xác định số nguyên a để x là số nguyên dương. 
 a 1
Hướng dẫn giải 
Để x thì 7 a 1 hay a 1 ¦ 7 7; 1;1;7 . Ta có bảng sau: 
 a 1 7 1 1 7 
 a 8 2 0 6 
 7
Mà x là số nguyên dương nên 0 
 a 1
Mà 7 0 nên a 1 0 a 1 a 0;6 
 7
Với a 0 ta có x 7 
 0 1
 7
Với a 6 ta có x 1 
 6 1
Vậy a 0;6 thì x là số nguyên dương. 
 Bài tập tự luyện dạng 4 
 3a 7
Câu 1: Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào của a thì 
 5
a) x là số hữu tỉ dương? 
b) x là số hữu tỉ âm? 
c) x không là số hữu tỉ dương và cũng không là số hữu tỉ âm? 
 3n 1
Câu 2: Cho số hữu tỉ x . Với giá trị nào của a thì 
 4
a) x là số hữu tỉ dương? 
b) x là số hữu tỉ âm? 
c) x không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm? 
 7
Câu 3: Cho số hữu tỉ x . Tìm số nguyên n để x nhận giá trị là số nguyên. 
 n 1
 ĐÁP ÁN 
 Dạng 1. Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số 
 Trang 9 
Câu 1. 
 5 2
 4 ; ; 8 ; ;
 3  9 
 1 2 2
 ; ; ;  .
 11 7  19 
Câu 2. 
 2
 6 ; ; 22 ; ; ; ;  ; ;
  23  
 5 3
 ; ; ; 21 ; 1 ; .
 7 4 
Câu 3. Chọn D. 
Vì số 0 không là số hữu tỉ âm, cũng không là số hữu tỉ dương. 
Câu 4. 
1. Đ 2. S 3. S 4. Đ 5. S 
 Dạng 2. Biểu diễn số hữu tỉ 
Câu 1. 
 3 1 1
Biểu diễn các số hữu tỉ ; ; trên trục số như sau: 
 2 3 4
Câu 2. 
 2 2
Ta có: . 
 3 3
 9 3 14 2 4 2 12 3
Rút gọn các phân số đã cho ta được: ; ; ; 
 6 2 21 3 6 3 20 5
 2 14 4
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: và . 
 3 21 6
Câu 3. 
 21 7 28 7 35 35 7
a) Ta có: ; ; 
 27 9 36 9 45 45 9
 7 21 28 35
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: ; và . 
 9 27 36 45
 7
b) Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số như sau: 
 9
Câu 4. Chọn A. 
 Trang 10