Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 6: Tỉ lệ thức. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

 BÀI 6. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được định nghĩa tỉ lệ thức, các thành phần và các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức. 
 + Nắm được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. 
  Kĩ năng 
 + Dựa vào định nghĩa tỉ lệ thức, thành lập được các tỉ lệ thức từ các số, tỉ số đã cho. 
 + Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để thành lập các tỉ lệ thức mới từ tỉ lệ thức hoặc đẳng 
 thức đã cho. 
 + Vận dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để xác định các thành phần chưa 
 biết. 
 + Chứng minh đẳng thức, tỉ lệ thức. 
 + Giải được một số bài toán lời văn chia theo tỉ lệ đơn giản. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
1. Tỉ lệ thức 
Định nghĩa 
 a c 12 6
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số hay a: b c : d . Ví dụ. Đẳng thức là một tỉ lệ thức. 
 b d 14 7
Các thành phần của tỉ lệ thức 
a, b, c, d là các số hạng, trong đó Trong tỉ lệ thức trên: 
a, d: Số hạng ngoại tỉ; 12 và 7 là số hạng ngoại tỉ; 
b, c: Số hạng trung tỉ. 14 và 6 là số hạng trung tỉ. 
Tính chất 
 a c 12 6
 Nếu thì ad bc . Từ suy ra 12.7 14.6 . 
 b d 14 7
 Nếu ad bc và a, b , c , d 0 thì Nếu 12.7 14.6 thì 
 a c b d a b c d 12 6 14 7 12 14 6 7
 ; ; ; . ; ; ; 
 b d a c c d a b 14 7 12 6 6 7 12 14
2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
 a c a c ac ac 12 6
Cho . Khi đó: b d . Từ tỉ lệ thức , ta có: 
 b d b d b d b d 14 7
Mở rộng 12 6 12 6 18
 . 
 14 7 14 7 21
a c ma nc ma nc
 ;
b d mb nd mb nd
ac e ace ace 
bd f bdf bdf 
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 
TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
 Tỉ lệ thức là đẳng thức 
 a c
 a c Nếu thì ad bc . 
 của hai tỉ số . b d
 b d
 Nếu ad bc và a, b , c , d 0 thì 
 a c b d a b c d
 ; ; ; . 
 b d a c c d a b
 a c ma nc
 b d mb nd
 a c
 Cho tỉ lệ thức . Khi đó: 
 b d
 a c ac ac e ace ace 
 b d; b d . 
 b d b d bd f bdf bdf 
 Trang 2 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên 
 Phương pháp giải 
Bước 1. Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số tối giản. 3 4 3 1
 Ví dụ: : : 
 5 12 5 3
Bước 2. Thực hiện phép chia phân số. 3 3 9
 . 9 : 5 
 5 1 5
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: 
 2 20 6
 a) : b) 2,4 : 3,2 c) 0,4: 
 7 28 22
Hướng dẫn giải 
 2 20 2 5 2 7 2
a) : : . 2 : 5 
 7 28 7 7 7 5 5
 2 20
Vậy : 2 : 5 . 
 7 28
 24 32 24 3
b) 2,4:3,2 : 3:4 
 10 10 32 4
Vậy 2,4 : 3,2 3: 4 . 
 6 4 3 2 11 22
c) 0,4 : : . 22 :15 
 22 10 11 5 3 15
 6
Vậy 0,4 : 22 :15. 
 22
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: 
 3 15 5
 a) : b) 1,5:8,25 c) : 0,75 
 5 6 8
Câu 2: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: 
 1 5 3
 a) 1,2 : 3,36 b) 3 : 2 c) : 0,54 
 7 14 8
Dạng 2: Lập các tỉ lệ thức 
Bài toán 1. Lập các tỉ lệ thức từ các số đã cho 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ. Cho bốn số 2, 4, 7, 14, hãy lập thành tỉ lệ 
 thức từ các số đã cho. 
 Hướng dẫn giải 
Bước 1. Từ các số đã cho, ta thiết lập tích hai số để Bước 1. Ta có: 2.14 4.7 . 
được hai tích bằng nhau dạng ad bc . 
 Trang 3 
Bước 2. Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để thiết Bước 2. Suy ra các tỉ lệ thức sau: 
lập tỉ lệ thức. 2 7 2 4 4 14 7 14
 ; ; ; 
 4 14 7 14 2 7 2 4
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ bốn số sau: 12; 3;40; 10 
Hướng dẫn giải 
 12 3 10 3 40 10 40 12
Ta có 12. 10 40. 3 . Suy ra: ;;;. 
 40 10 40 12 12 3 10 3
Bài toán 2. Kiểm tra tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức hay không? 
 Phương pháp giải 
Để kiểm tra các tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức Ví dụ: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không: 
hay không, ta thường làm như sau: 3 4
 : 6 và :8 ? 
 5 5
 Hướng dẫn giải 
Bước 1. Thay tỉ số giữa hai số hữu tỉ thành phân 3 3 1 1 4 4 1 1
 Bước 1. : 6 . ; : 8 . 
số: Thường đưa hai tỉ số về dạng hai phân số cùng 5 5 6 10 5 5 8 10
mẫu. 
Bước 2. Áp dụng định nghĩa tỉ lệ thức: Nếu giá trị Bước 2. 
hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành tỉ lệ thức. 3 4 3 4
 Suy ra : 6 :8 nên : 6 và : 8 lập thành tỉ lệ 
 5 5 5 5
 thức. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không? 
 2 4
a) :8 và :16 . 
 5 5
 1 2
b) 4 :8 và 3 :13. 
 3 3
 1 1
c) 2 : 7 và 3 :13 . 
 3 4
Hướng dẫn giải 
 2 2 1 1 4 4 1 1
a) :8 . và :16 . . 
 5 5 8 20 5 5 16 20
 2 4
Do đó :8 và :16 lập thành tỉ lệ thức. 
 5 5
 1 13 1 13 2 11 1 11
b) 4 :8 . và 3 :13 . . 
 3 3 8 24 3 3 13 39
 13 11 1 2
Do nên 4 :8 và 3 :13 không lập thành tỉ lệ thức. 
 24 39 3 3
 Trang 4 
 1 7 1 1 1 13 1 1
c) Ta có 2 : 7 . và 3 :13 . . 
 3 3 7 3 4 4 13 4
 1 1 1 1
Do nên 2 : 7 và 3 :13 không lập thành tỉ lệ thức. 
 3 4 3 4
Bài toán 3. Lập tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức đã cho 
 Phương pháp giải 
 a c 3 9
Từ tỉ lệ thức , ta có thể lập được ba tỉ lệ thức khác bằng cách: Ví dụ: Cho tỉ lệ thức . Các 
 b d 5 15
 tỉ lệ thức được lập từ tỉ lệ thức 
 ban đầu là: 
 a b 3 9 3 5
Giữ nguyên ngoại tỉ a, d và đổi chỗ các trung tỉ b, c ta được: . . 
 c d 5 15 9 15
 d c 3 9 15 9
Giữ nguyên trung tỉ b, c và đổi chỗ các ngoại tỉ a, d ta được: . . 
 b a 5 15 5 3
 d b 3 9 15 5
Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau, ta được . . 
 c a 5 15 9 3
 Ví dụ mẫu 
 5 1,2
Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ tỉ lệ thức sau: . 
 15 3,6
Hướng dẫn giải 
 5 1,2 3,6 1,2 15 5 15 3,6
Vì nên ta lập được các tỉ lệ thức sau: ;;. 
 15 3,6 15 5 3,6 1,2 5 1,2
Bài toán 4. Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức đã cho 
 Phương pháp giải 
Áp dụng tính chất: Ví dụ: Cho đẳng thức 3.4 6.2 , hãy lập tỉ lệ thức 
Nếu ad bc và a, b , c , d 0 thì ta có các tỉ lệ thức từ đẳng thức đã cho. 
 a c a b d c d b Ta có 3.4 6.2 nên ta có các tỉ lệ thức sau: 
sau: ; ; ; . 
 b d c d b a c a 3 6 3 2 4 2 6 4
 ;;;. 
 2 4 6 4 6 3 3 2
 Chú ý: 
 Luôn đảm bảo các cặp số 3 và 4; 2 và 6 nằm ở vị trí 
 chéo nhau. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau: 
 a) 14.15 10.21 b) 5.8 20. 2 
Hướng dẫn giải 
 14 21 15 21 10 15 10 14
a) Vì 14.15 10.21 nên ta có các tỉ lệ thức sau: ;;;. 
 10 15 10 14 14 21 15 21
 Trang 5 
 5 2 5 20 2 8 20 8
b) Vì 5.8 20. 2 nên ta có các tỉ lệ thức sau: ;;;. 
 20 8 2 8 5 20 5 2
Ví dụ 2. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau: 
 a) AB. CD 2.3 b) 4.AB 5. MN 
Hướng dẫn giải 
 AB3 CD 3 2 AB 2 CD
a) Vì AB. CD 2.3 nên ta có các tỉ lệ thức sau: ;;;. 
 2CD 2 ABCD 3 AB 3
 AB MN4 MN 5 4 5 AB
b) Vì 4.AB 5. MN nên ta có các tỉ lệ thức sau: ;;;. 
 5 4 5AB AB MN 4 MN
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 4. 
Câu 1: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức? 
 3 5 3 4 4 2 1 7 3 2 3 3
 a) : và : . b) : và : . c) 0,3: và : . d) 1,2: và 1,6 :10 . 
 8 2 5 3 7 9 3 2 8 5 6 8
 14 21
Câu 2: Tỉ lệ thức nào sau đây không được lập từ tỉ lệ thức ? 
 8 12
 14 8 21 12 21 14 12 8
 A. B. C. D. 
 21 12 14 8 8 12 21 14
 5
Câu 3: Điền số vào ô trống để được tỉ lệ thức đúng: . 
 125 100
Số cần điền là: 
 A. 4. B. 4. C. 2. D. 8. 
Câu 4: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức? 
 3 5 3 4 4 2 1 7 3 1 7 4
 A. : và : . B. : và : . C. 2 : 5 và : 2 . D. 1,2 : 2,4 và 4 :10 . 
 8 2 5 3 7 9 3 2 4 2 5 5
Câu 5: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức hay không? 
 4 1 2
 a) 3,6 : 4,8 và 0,6: . b) 4 :8 và 3 :13. 
 5 3 3
Câu 6: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các đẳng thức 2 .15 3. 10 
Câu 7: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số: 3;9;27;81. 
Câu 8: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số: 5;2;8;20 . 
Dạng 3: Tìm thành phần chưa biết 
Bài toán 1: Tìm số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức 
 Phương pháp giải 
Ta sử dụng tính chất x 4
 Ví dụ: Tìm x biết: . 
 a c bc ad ad bc 2 7
Nếu thì a ; b ; c ; d 
 b d d c b a Hướng dẫn giải 
Cách ghi nhớ: Để tìm x trong tỉ lệ thức ta áp dụng x 4 2.4 8
 Vì nên x . 
quy tắc “nhân chéo, chia ngang”. 2 7 7 7
 Trang 6 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Tìm x trong các đẳng thức sau: 
a)12 : 5 x :1,5 b) 3,75: x 4,8 : 2,5 
Hướng dẫn giải 
a)12 : 5 x :1,5 b) 3,75: x 4,8 : 2,5
 12 x 3,75 4,8
 5 1,5 x 2,5
 12.1,5 3,75.2,5 
 x x 
 5 4,8
 18 125
 x x 
 5 64
 18 125
Vậy x . Vậy x . 
 5 64
Ví dụ 2. Tìm x biết: 
 x 60 2 x 3 x 1
a) b) 
 15 x 4 3
Hướng dẫn giải 
 x 60 2 x 3 x 1
a) b) 
 15 x 4 3
 x 2 15.60 3 2 x 4 3 x 1 
 x 2 900 6 3x 12 x 4
 2 2 3x 12 x 4 6
Mà 900 30 30 nên x 30 . 
 9x 2
Vậy x 30 2
 x 
 9
 2
 Vậy x . 
 9
Bài toán 2. Tìm nhiều thành phần chưa biết (x, y, z, ) thỏa mãn điều kiện cho trước 
 Phương pháp giải 
 x y
 Ví dụ: Cho và x y 10 . Tìm x, y. 
 2 3
 Hướng dẫn giải 
Cách 1: x y
 Cách 1: Ta có . 
Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, biến đổi 2 3
để xuất hiện điều kiện đã cho của đề bài. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
 x y xy 10
Từ đó tính được giá trị của dãy tỉ số bằng nhau. 2 . 
 2 3 2 3 5
 Suy ra x 2.2 4 và y 2.3 6 . 
 x y z Cách 2: 
Cách 2: Đặt k . 
 a b c
 Trang 7 
- Suy ra x aky.;.;. bkz ck . x y
 Đặt k x2 ky ; 3 k 
 2 3
- Thay các giá trị trên của x, y, z vào điều kiện đã cho 
 Vì x y 10 nên 2kk 3 10 5 k 10 k 2 
của đề bài, tìm được giá trị của k. 
- Tính giá trị của x, y, z từ giá trị k vừa tìm được. Vậy x 2 k 2.2 4 và y 3 k 3.2 6 . 
 Ví dụ mẫu 
 x y
Ví dụ 1. Cho . Tìm x, y biết: 
 3 6
 a) x y 90 b) 4x y 42 . 
Hướng dẫn giải 
 x y
a) Ta có: . 
 3 6
 x y xy 90
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 10x 3.10 30; y 6.10 60. 
 3 6 3 6 9
Vậy x 30 và y 60 . 
 x y 4x y
b) Từ suy ra . 
 3 6 12 6
 4xy 4 xy 42
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 7 . 
 12 6 12 6 6
Suy ra 4x 12.7 84; y 6.7 42 . 
Suy ra x 21; y 42 . 
Vậy x 21 và y 42 . 
 x y z
Ví dụ 2. Cho . Tìm x, y, z biết: 
 2 3 5
 a) x y z 30 b) x 2 y 3 z 33 . 
Hướng dẫn giải 
 x y z
a) Ta có: . 
 2 3 5
 x yz xyz 30
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 3 
 2 3 5 2 3 5 10
 x2.3 6; y 3.3 9; z 5.3 15
Vậy x 6; y 9; z 15 . 
 x y z x2 y 3 z
b) Từ suy ra . 
 2 3 5 2 6 15
 x2 y 3 zxyz 2 3 33
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 3 
 2 6 15 2 6 15 11
 x3.2 6; 2 y 3.6 18; 3 z 3.15 45
 x6; y 9; z 15.
Vậy x 6; y 9; z 15. 
 Trang 8 
Ví dụ 3*. Cho 2x 3 yz 42 . Tìm x, y, z biết: 
 x 1 y 2 z 1 x yy z
 a) . b) ; . 
 3 4 13 3 5 2 7
Hướng dẫn giải 
 xyz 1 2 1 2 x 2 3 yz 6 1
a) . 
 3 4 13 6 12 13
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
2x 2 3 yz 6 1 2 x 2 3 yz 6 1 2 xyz 3 7 42 7 49
 7
 6 12 13 6 12 13 7 7 7
 2x 2 6.7 42 2 xx 40 20 
 3y 6 7.12 84 3 yy 90 30
 z 1 13.7 91 zz 92 92
Vậy x 20; y 30; z 92. 
 x y x y yz y z
b) Ta có nên và . 
 3 5 6 10 2 7 10 35
 x y z
Suy ra . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
 6 10 35
x y z2 xyz 3 42 6 36 60 210
 x;;. y z 
6 10 35 12 30 35 77 11 11 11 11
 36 60 210
Vậy x ;;. y z 
 11 11 11
 Bài tập tự luyện dạng 3 
 Chọn đáp án đúng nhất trong mỗi câu (Câu 1 đến câu 5) 
 x y
Câu 1: Cho và x y 24 . Giá trị của 3x 5 y là: 
 3 5
 A. 132. B. 80. C. 102. D. 78. 
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây là đúng? 
 xy2 x 3 y xy2 x 4 y xyx 3 y xy2 xy 
 A. . B. C. D. 
 3 5 15 4 5 28 3 7 25 5 6 15
 x 1 9
Câu 3: Cho và x 0 . Giá trị của x là: 
 4x 1
 A. 5 . B. 6. C. 6 . D. 5. 
Câu 4: Biểu thức nào dưới đây là đúng? 
 xy3 x 4 y xy2 x 4 y xyx 3 y x y xy 
 A. B. C. D. 
 4 7 40 4 5 12 5 7 28 5 6 10
 x 3 27
Câu 5: Cho . Giá trị của x là: 
 8 4
 A. 54. B. 56. C. 57. D. 58. 
Câu 6: Tìm x biết: 
 4 8 2x 3 3 x 1 13x 2 76
 a) 3 : 0,25: x . b) . c) . 
 5 5 24 32 2x 5 17
 Trang 9 
Câu 7: Tìm các số x, y biết: 
 x 6
a) và x y 121. 
 y 5
b) 4x 5 y và 2x 5 y 40 . 
Câu 8: Tìm các số x, y, z biết: 
 x y z
a) và x y z 52 . 
 3 4 6
 x y z
b) và 2xy 3 z 110 . 
 3 5 7
Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ thức 
 Phương pháp giải 
 a c Ví dụ: Chứng minh rằng: 
Để chứng minh tỉ lệ thức , ta thường sử dụng một 
 b d a c a b c d
 Nếu thì . 
trong ba cách sau: b d b d
 Hướng dẫn giải 
Cách 1. Chứng tỏ ad bc. a c
 Cách 1. Do nên ad bc. 
 b d
 a b c d
 Xét 
 b d
 d a b b c d 
 ad bd bc bd
 ad bc (đúng). 
 a b c d
 Vậy . 
 b d
 a c a c
Cách 2. Chứng tỏ và có cùng giá trị. Cách 2. Đặt t . Khi đó a bt và c dt . 
 b d b d
 a b bt b b t 1 
 Do đó t 1 
 b b b
 c d dt d d t 1 
 t 1
 d d d
 a b c d
 Vậy . 
 b d
Cách 3. Dùng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số a c a b
 Cách 3. Ta có: . 
bằng nhau. b d c d
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
 a b a b b a b
 . 
 c d c d d c d
 a b c d
 (điều phải chứng minh). 
 b d
 Ví dụ mẫu 
 Trang 10