Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc - cạnh - góc (g.c.g)

 BÀI 5. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC 
 GÓC – CẠNH – GÓC (G.C.G) 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được cách vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề. 
 + Phát biểu và hiểu được trường hợp bằng nhau góc - cạnh – góc. 
 + Phát biểu và nắm được các hệ quả của trường hợp góc - cạnh - góc trong tam giác vuông. 
  Kĩ năng 
 + Vẽ thành thạo một tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề. 
 + Phát hiện và chứng minh được hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh – góc. 
 + Biết vận dụng một cách linh hoạt giữa các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng 
 minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng (góc) bằng nhau. 
 + Biết trình bày và lập luận chặt chẽ trong bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai góc 
 (đoạn thẳng) bằng nhau. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc 
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng 
một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam 
giác đó bằng nhau. 
 Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có 
 B B 
 BC BC 
 C C 
 Suy ra ABC A B' C (..) g c g 
Hệ quả 
Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc 
nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một 
cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của 
tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng 
nhau. Xét ABC  A 90 và ABC  A 90 có 
 AB AB 
 B B 
 Suy ra ABC ABC ' (cạnh góc vuông – góc 
 nhọn kề). 
Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của 
tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc 
nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông 
đó bằng nhau. Xét ABC  A 90 và ABC  A 90 có 
 BC BC 
 B B 
 Suy ra ABC ABC ' (cạnh huyền – góc nhọn) 
 Trang 2 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG 
 Định nghĩa 
 AB AB ', BC BC , CA CA 
 ABC ABC ' nếu 
 A  AB ; BCC ;   
 HAI TAM 
 GIÁC BẰNG 
 NHAU 
 Trường hợp 1: Cạnh – cạnh - cạnh 
 Nếu ∆ABC và ∆A’B’C’có 
 AB AB',, BC BCCA CA 
 Trường hợp 2: Cạnh – góc - cạnh 
 thì ABC ABC 
 Nếu ∆ABC và ∆A’B’C’có 
 AB AB',, B B BC BC 
 thì ABC ABC 
 Trường hợp 3: Góc – cạnh – góc 
 Nếu ∆ABC và ∆A’B’C’có 
 Trường hợp trong tam giác vuông 
 B BBC ,, BCC  C 
 Cạnh góc vuông – cạnh góc vuông 
 thì ABC ABC 
 Trường hợp trong tam giác vuông 
 * Cạnh góc vuông - góc nhọn kề 
 * Cạnh huyền – góc nhọn 
 Trang 3 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề 
 Phương pháp giải 
Vẽ ∆ABC biết A ,, AB aB  
 Bước 1. 
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB a 
 Bước 2. 
Bước 2. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa AB vẽ 
hai tia Ax và By thỏa mãn A , B  
 Bước 3. 
Bước 3. Xác định vị trí của đỉnh C: Giao của hai tia 
vừa vẽ. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Vẽ ∆ABC biết AC 3 cmA ,   90 , C 30 . 
Hướng dẫn giải 
- Vẽ đoạn thẳng AC 3 cm . 
- Trên một nửa mặt phẳng bờ AC: 
+ Vẽ tia Ax vuông góc với AC tại A 
+ Vẽ tia Cy sao cho ACy 30  . 
- Ax và Cy cắt nhau tại B 
Ta được ∆ABC cần vẽ 
 Trang 4 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Vẽ ∆ABC có B 70 , BC 4 cmC ,  60 
Câu 2: Vẽ ∆ABC có B 30 , BC 3 cmC ,  60 
Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Cho hình vẽ sau: 
 Chứng minh rằng ABC ABD 
 Hướng dẫn giải 
Bước 1. Xét hai tam giác cần chứng minh 
 Xét ∆ABC và ∆ABD ta có 
Bước 2. Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau: góc - 
 A  A (giả thiết) 
cạnh – góc. 1 2
Chú ý: Hai góc kề cùng một cạnh. AB là cạnh chung 
Bước 3. Kết luận hai tam giác bằng nhau. B1 B 2 (giả thiết). 
 Do đó ABC ABD g.. c g 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho hình vẽ sau đây, chứng minh rằng ABD ACE 
Hướng dẫn giải 
Ta có BB1  2180 , CC 1  2 180 (hai góc kề bù). Mà B1 C 1 nên B2 C 2 
Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có 
 D E (giả thiết) 
 Trang 5 
 BD CE (giả thiết) 
 B2 C 2 (chứng minh trên) 
Do đó ABD ACE g.. c g 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Trong hình sau có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao? 
Câu 2: Cho hình vẽ sau biết AB AC . Chứng minh ABK ACD 
Dạng 3. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Cho hình vẽ sau với AB// CD , AD // BC 
 Chứng minh rằng AB CD và AD BC 
 Hướng dẫn giải 
 Xét ∆ACD và ∆CAB ta có 
Bước 1. Chọn hai tam giác có cạnh là hai đoạn 
 A C (hai góc so le trong và AD// BC ) 
thẳng cần chứng minh bằng nhau. 1 1
 Trang 6 
Bước 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo AC là cạnh chung 
một trong ba trường hợp bằng nhau. 
 A2 C 2 (hai góc so le trong và AB// DC ) 
 Do đó ACD CAB (g.c.g) 
 AB CD
Bước 3. Suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau Suy ra: (hai cặp cạnh tương ứng) 
 AD BC
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho cặp đoạn thẳng song song AD, BC bị chắn bởi hai đường thẳng song song AB, CD. Qua giao 
điểm M của AC và BD, kẻ đường thẳng bất kì cắt AD, BC theo thứ tự ở K, E. Chứng minh rằng: 
a) MA MC 
b) MK ME 
Hướng dẫn giải 
a) Vì AD// BC nên A1 CD 1;  1 B 1 (hai góc so le trong) 
Vì AB// CD nên A2 C 2 (hai góc so le trong). 
Xét ∆ACD và ∆CAB, ta có 
 A1 C 1 (chứng minh trên) 
AC là cạnh chung 
 A2 C 2 (chứng minh trên) 
Do đó ACD CABgcg .. AD BC (hai cạnh tương ứng) 
Xét ∆MAD và ∆MCB, ta có 
 A1 C 1 (chứng minh trên) 
 AD BC (chứng minh trên) 
 D1 B 1 (chứng minh trên) 
Do đó MAD MCB g.. c g MA MC (hai cạnh tương ứng) 
Sơ đồ chứng minh. 
Vận dụng tính chất song song AD// BC , AB // CD Chứng minh ACD CAB g.. c g 
 Chứng minh AD BC Chứng minh MAD MCB g.. c g Chứng minh MA MC 
 Trang 7 
b) Xét ∆MAK và ∆MCE, ta có 
 M1 M 2 (hai góc đối đỉnh) 
 MA MC ( chứng minh trên) 
 A1 C 1 (chứng minh trên) 
Do đó MAK MCE g.. c g MK ME (hai cạnh tương ứng) 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1: Cho ∆ABC có AB AC  A 90 . Kẻ BD vuông góc với AC D AC . Kẻ CE vuông góc với 
AB E AB . Chứng minh rằng: BD CE 
Câu 2: Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh BC. Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt AC ở D. 
Đường thẳng đi qua M và song song với AC cắt AB ở E. Chứng minh rằng AD ME 
Dạng 4: Sử dụng nhiều trường hợp bằng nhau của tam giác 
 Phương pháp giải 
Sử dụng nhiều trường hợp bằng nhau của hai tam giác đã học: 
+) Cạnh - cạnh - cạnh. 
+) Cạnh - góc - cạnh. 
+) Góc - cạnh – góc. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho ∆ABC có AB AC . Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm D, E sao cho AD AE . 
Chứng minh rằng 
a) BE DC 
b) Gọi F là giao điểm của EB và DC. Chứng minh FD FE 
Hướng dẫn giải 
a) Xét ∆ADC và ∆AEB, ta có 
 AD AE (giả thiết) 
 A là góc chung 
 AB AC (giả thiết) 
Do đó ADC AEB cgc.. 
 DC EB (hai cạnh tương ứng) 
 Trang 8 
b) Theo câu a ta có ADC AEB B1 CE 1;  2 D 2 (hai góc tương ứng). 
Vì E2 D 2 nên E1 D 1 (hai góc kề bù với hai góc bằng nhau) 
Lại có AB AC và AD AE AB AD AC AE DB CE 
Xét ∆DFB và ∆EFC, ta có 
 B C
 1 1
 BD CE (chứng minh trên) 
 D1 E 1
Do đó DFB EFCgcg .. DF EF ( hai cạnh tương ứng). 
Sơ đồ chứng minh câu b 
Sử dụng kết quả câu a 
 Chứng minh B1 C 1; BD CED ;  1 E 1 
 Chứng minh DFB EFC g.. c g 
 Chứng minh DF EF 
Ví dụ 2. Cho ∆ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD AB . Trên tia đối của tia AC lấy 
điểm E sao cho AE AC . Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh DE và BC theo thứ tự ở M và N. 
Chứng minh rằng AM AN 
Hướng dẫn giải 
Xét ∆AED và ∆ACB, ta có 
 AE AC (giả thiết) 
 EAD CAB (hai góc đối đỉnh) 
 AD AB (giả thiết) 
Do đó AED ACBcgc .. E C (hai góc tương ứng) 
Xét ∆AME và ∆ANC, ta có 
 Trang 9 
 A1  A 2 (hai góc đối đỉnh) 
 AE AC (giả thiết) 
 E C (chứng minh trên) 
Do đó AME ANCgcg .. AM AN (hai cạnh tương ứng) 
Sơ đồ chứng minh 
Chứng minh AED ACB cgc.. 
 Chứng minh E C 
 Chứng minh AME ANC g.. c g 
 Chứng minh AM AN 
 Bài tập tự luyện dạng 4 
Câu 1: Cho ∆ABC AB AC . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD AB . Trên tia đối của 
tia AB lấy điểm E sao cho AE AC . Gọi O là giao điểm của BC và DE. Chứng minh rằng 
a) ADE ABC 
b) OD OB 
c) OA là tia phân giác của COE 
Câu 2: Cho ∆ABC có AB AC . Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho AD AE . Gọi K 
là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng 
a) BE CD 
b) KBC KCB 
Câu 3: Cho ∆ABC có A 60  . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D, tia phân giác của góc C cắt AB ở E. 
Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ID IE 
 Trang 10