Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh - góc - cạnh (c.g.c)

 BÀI 4. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC 
 CẠNH – GÓC - CẠNH (C.G.C) 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Nắm được cách vẽ tam giác biết hai cạnh và một góc xen giữa. 
 + Phát biểu và hiểu được trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh. 
 + Phát biểu và nắm được hệ quả của trường hợp cạnh - góc - cạnh trong tam giác vuông. 
  Kĩ năng 
 + Vẽ thành thạo một tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa. 
 + Phát hiện và chứng minh được hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. 
 + Chứng minh hai góc tương ứng bằng nhau thông qua chứng minh hai tam giác bằng nhau thông 
 qua chứng minh hai tam giác bằng nhau. 
 + Biết trình bày và lập luận chặt chẽ trong bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai góc 
 (đoạn thẳng) bằng nhau. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh 
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này 
bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì 
hai tam giác đó bằng nhau. Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có 
 AB AB 
 B B 
 BC BC' 
 Suy ra ABC ABC cgc.. 
Hệ quả 
Trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông 
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này 
 Xét ABC A 90 và ABC  A 90 có 
bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia 
thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. AB AB' 
 AC AC . 
 Suy ra ABC ABC (hai cạnh góc vuông). 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Vẽ một tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa 
 Phương pháp giải 
Vẽ ∆ABC biết độ dài hai cạnh AB a, BC b và 
 Bước 1. 
 B 
Bước 1. Vẽ góc xBy . 
 Bước 2. 
Bước 2. Xác định vị trí hai đỉnh còn lại của tam 
giác. 
- Trên tia Bx lấy điểm A sao cho AB a ; 
- Trên tia By, lấy điểm C sao cho BC b . 
 Trang 2 
Bước 3. Nối đoạn thẳng AC, ta được ∆ABC. Bước 3. 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Vẽ tam giác ABC có A 60 , AB AC 4 cm . Xác định độ dài cạnh BC. 
Hướng dẫn giải 
- Vẽ góc xAy 60  . 
- Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB 4 cm. 
- Trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC 4 cm . 
- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC. 
Dùng thước đo độ dài, ta đo được BC 4 cm . 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Vẽ tam giác ABC biết A  90 , AB 3 cmAC , 4 cm . 
Câu 2: Vẽ tam giác MNP biết MN 4 cm , MP 5 cm , M  45 . 
Câu 3: Vẽ tam giác ABC có C 50 , CACB 3 cm . 
Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh 
 Phương pháp giải 
 Ví dụ: Cho ∆ABC và ∆ABD như hình vẽ. 
 Chứng minh ABC ABD . 
 Trang 3 
Bước 1. Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau: cạnh - Hướng dẫn giải 
góc - cạnh. Xét ∆ABC và ∆ABD có 
Chú ý: Góc xen giữa hai cạnh AC AD (giả thiết), 
Bước 2. Kết luận hai tam giác bằng nhau. 
 A1  A 2 (giả thiết), 
 AB là cạnh chung. 
 Suy ra ABC ABD cgc.. . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, vẽ các đoạn thẳng AC, BD bằng 
nhau và vuông góc với AB. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng AMC BMD . 
Hướng dẫn giải 
Vì AC, BD vuông góc với AB nên A B 90  . 
Lại có M là trung điểm của AB nên MA MB . 
Xét ∆AMC và ∆BMD, có 
 AC BD (giả thiết) 
 CAM DBM 90 
 AM BM . 
Suy ra AMC BMD c.. g c . 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Chọn đáp án đúng từ câu 1 đến câu 4 
Câu 1: Cho ∆ABC và ∆A’B’C’ như hình vẽ. 
 Trang 4 
Khẳng định nào sau đây đúng? 
 A. ABC ABC . B. ABC BAC . 
 C. ABC CAB . D. ABC CBA . 
Câu 2: Cho hình vẽ bên. Khẳng định nào đúng? 
 A. AOD BOC . B. AOB COD . 
 C. AOD COD . D. ADB ADC . 
Câu 3: Cho hình vẽ bên. Khẳng định nào sai? 
 A. AHD AHE . B. AHB AHC . 
 C. ABD AEC . D. ADB AEC . 
Câu 4: Cho ∆ABC và ∆MNP có AB NM,, AC NPA N . 
Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định sai 
 A. ABC NMP . B. BAC MNP . 
 C. ABC MNP . D. CAB PNM . 
Câu 5: Cho góc nhọn xAy . Trên tia Ax lấy hai điểm B và E, trên tia Ay lấy hai điểm D và C sao cho 
 AB AD, AE AC . Chứng minh rằng ABC ADE . 
Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau 
 Phương pháp giải 
Để chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng Ví dụ: Cho ∆ABC có AB AC . Tia phân giác của 
nhau, ta có thể chứng minh hai tam giác bằng nhau góc A cắt BC tại D. 
có chứa hai đoạn thẳng hoặc hai góc đó. Chứng minh rằng B C và BD DC . 
 Hướng dẫn giải 
 Trang 5 
 Xét ∆ADB và ∆ADC có 
Bước 1. Chọn hai tam giác có cạnh (hoặc góc) là 
 AB AC (giả thiết) 
hai đoạn thẳng (hoặc hai góc) cần chứng minh bằng 
nhau. A1  A 2 (do AD là tia phân giác) 
Bước 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo AD là cạnh chung. 
trường hợp cạnh - cạnh - cạnh hoặc cạnh - góc - Do đó ADB ADC (c.g.c). 
cạnh (tùy theo giả thiết đề bài cho). Suy ra: 
Bước 3. Suy ra cặp góc (cặp cạnh) tương ứng bằng B C (hai góc tương ứng); 
nhau. BD DC (hai cạnh tương ứng). 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho ∆ABC. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm E sao cho IE IB . 
Chứng minh rằng: 
a) AE BC . 
b) AE// BC . 
Hướng dẫn giải 
Xét ∆AIE và ∆CIB, ta có 
 AI CI (giả thiết); 
 AIE CIB (hai góc đối đỉnh); 
 IE IB (giả thiết). 
Do đó AIE CIB(. c g .) c . 
Suy ra AE BC (hai cạnh tương ứng). 
b) Theo câu a) AIE CIB . 
Suy ra EAI BCI (hai góc tương ứng) hay BCA CAE . 
 Trang 6 
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AE// BC . 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
BÀI TẬP CƠ BẢN 
Câu 1: Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA OB . Gọi K là giao 
điểm của AB với tia phân giác của góc xOy. Chứng minh rằng: 
a) AK KB . 
b) OK AB . 
Câu 2: Cho ∆ABC có A 50  . Vẽ đoạn thẳng AI vuông góc và bằng AB (I và C khác phía đối với AB). 
Vẽ đoạn thẳng AK vuông góc và bằng AC (K và B khác phía đối với AC). Chứng minh rằng: 
a) IC BK . 
b) IC BC . 
Câu 3: Cho đoạn thẳng BC, điểm H nằm giữa B và C. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BC, trên 
đường thẳng đó lấy các điểm A và K sao cho HA HK . Kẻ các đoạn thẳng AB, BK, KC, CA. 
a) Chứng minh rằng BA BK . 
b) Chứng minh rằng BC là tia phân giác của góc ABK. 
c) Kể tên các góc bằng góc BAH. 
d) ∆ABC bằng với tam giác nào? Vì sao? 
BÀI TẬP NÂNG CAO 
Câu 4. Cho đoạn thẳng AB, điểm O nằm giữa A và B. Kẻ tia Ox vuông góc với AB. Trên tia Ox lấy các 
điểm C và D sao cho OC OAOD, OB . Gọi M là trung điểm của AD,N là trung điểm của BC. 
Chứng minh rằng: 
a) AD CB . 
b) OM ON , OM vuông góc với ON. 
Câu 5. Cho ∆ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. 
a) Trên tia đối của tia ED lấy điểm I sao cho EI ED . Chứng minh rằng AI DC . 
 1
b) Chứng minh rằng DE BCDE, // BC . 
 2
 Trang 7 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Vẽ một tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa 
Câu 1: 
- Vẽ góc xAy 90  . 
- Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB 3 cm . 
- Trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC 4 cm . 
- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC. 
Câu 2: 
- Vẽ góc xMy 45  . 
- Trên tia Mx lấy điểm N sao cho MN 4 cm . 
- Trên tia My lấy điểm P sao cho MP 5 cm . 
- Vẽ đoạn thẳng PN ta được tam giác MNP. 
Câu 3: 
- Vẽ góc xCy 50 . 
- Trên tia Cx lấy điểm A sao cho CA 3 cm . 
- Trên tia Cy lấy điểm B sao cho BC 3 cm . 
- Vẽ đoạn thẳng AB ta được tam giác ABC. 
 Trang 8 
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh 
 1-D 2-B 3-C 4-C 
Câu 1: Chọn D 
Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có 
 AB BC 
 A C 
 AC AC . 
Do đó ABC CBA cgc.. . 
Câu 2: Chọn B 
Quan sát hình vẽ, dễ chứng minh được: 
 AOB COD cgc.. (B đúng). 
 AOD COB cgc.. (A và C sai). 
D. ADB DAC sai do BD AC . 
Do đó chỉ có đáp án B đúng. 
Câu 3: 
A. AHD AHE (đúng theo c.g.c). 
B. AHB AHC (đúng theo c.g.c). 
 Trang 9 
C. ABD AEC (sai vì AB AE ). 
D. ADB AEC (đúng theo c.g.c). 
Ở đáp án D, ta cần chỉ ra ADB AEC ; AD AE (điều này được suy ra từ AHD AHE ). 
Câu 4: Chọn C 
Xét ∆ABC và ∆MNP có AB NM,, AC NPA N . Suy ra ABC NMP cgc.. . 
A. ABC NMP (đúng). 
B. BAC MNP (đúng). 
C. ABC MNP (sai do đỉnh A, N không tương ứng). 
D. CAB PNM (đúng). 
Câu 5: 
Xét ∆ABC và ∆ADE ta có 
 AB AD (giả thiết), 
 A chung, 
 AC AE (giả thiết). 
Do đó ABC ADE cgc.. . 
Dạng 3. Chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau 
BÀI TẬP CƠ BẢN 
Câu 1: 
a) Xét ∆AOK và ∆BOK, ta có 
 OA OB (giả thiết), 
 AOK BOK (do AK là tia phân giác của góc O), 
 Trang 10