Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 7 - Bài 2: Hai tam giác bằng nhau

 BÀI 2. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Hiểu được định nghĩa hai tam giác bằng nhau, viết đúng kí hiệu hai tam giác bằng nhau (viết 
 đúng thứ tự đỉnh). 
 + Biết sử dụng định nghĩa hai tam giác bằng nhau để suy ra cặp cạnh (góc) tương ứng bằng nhau. 
  Kĩ năng 
 + Nhận biết hai tam giác bằng nhau. Viết đúng kí hiệu về sự bằng nhau của các tam giác. 
 + Tìm được cặp cạnh (góc) tương ứng bằng nhau từ hai tam giác bằng nhau. 
 Trang 1 
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 
Định nghĩa 
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh 
tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng 
nhau. 
 Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ bằng nhau 
 Kí hiệu: ABC ABC 
Kí hiệu 
 ABC ABC nếu 
Khi kí hiệu sự bằng nhau của hai tam giác, các chữ 
cái chỉ tên các đỉnh tương ứng được viết theo cùng AB AB ,, BC BC CA CA 
thứ tự. A  AB ,, BC  C 
 Khi đó, hai tam giác có: 
 Đỉnh A tương ứng với đỉnh A’. 
 Đỉnh B tương ứng với đỉnh B’. 
 Đỉnh C tương ứng với đỉnh C’. 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác 
 Phương pháp giải 
* Xác định các cặp đỉnh (góc) tương ứng của hai Ví dụ: Cho hai tam giác bằng nhau: tam giác ABC 
tam giác bằng nhau. (không có hai cạnh nào bằng nhau, không có hai 
* Viết kí hiệu bằng nhau theo đúng thứ tự của các góc nào bằng nhau) và tam giác có ba đỉnh là M , 
cặp đỉnh (góc) tương ứng. N, P . Biết AB MN,  A M . Hãy viết kí hiệu về 
 sự bằng nhau của hai tam giác đó. 
 Hướng dẫn giải 
 Theo giả thiết, ta có A M nên đỉnh A, M là hai 
Bước 1. Sử dụng cặp góc bằng nhau để chỉ ra cặp 
 đỉnh tương ứng với nhau trong hai tam giác. 
đỉnh tương ứng với nhau. 
 Mặt khác, ta có AB MN và A , M là hai đỉnh 
Bước 2. Xác định cặp đỉnh tương ứng thông qua 
 tương ứng với nhau nên B và N là hai đỉnh tương 
giả thiết về cạnh (nếu có). 
 ứng. 
 Vậy, hai đỉnh còn lại là C và P là hai đỉnh tương 
 ứng với nhau. 
Bước 3. Viết kí hiệu bằng nhau của hai tam giác. 
 Do đó ABC MNP 
 Ví dụ mẫu 
 Trang 2 
Ví dụ. Cho tam giác ABC và tam giác tạo bởi ba đỉnh M, T, H là hai tam giác bằng nhau. Biết rằng mỗi 
tam giác không có hai cạnh nào bằng nhau, không có hai góc nào bằng nhau. Viết kí hiệu về sự bằng nhau 
của hai tam giác trong các trường hợp sau: 
a) B T và A H . 
b) AB HT và BC MT . 
c) AC MT và C M . 
Hướng dẫn giải 
a) Theo giả thiết B T và A H nên ta có B, T là hai đỉnh tương ứng; A và H là hai đỉnh tương ứng. 
Vậy cặp đỉnh tương ứng còn lại là C và M. 
Do đó ABC HTM . 
b) Ta có AB HT và BC MT nên hai đỉnh chung là B, T là hai đỉnh tương ứng. Từ đó, ta có cặp đỉnh 
A và H tương ứng với nhau; C và M tương ứng với nhau. 
Do đó ABC HTM . 
c) Ta có C M nên C và M là hai đỉnh tương ứng. 
Mặt khác AC MT nên A và T là hai đỉnh tương ứng với nhau. 
Vậy hai đỉnh tương ứng còn lại là B và H. 
Do đó ABC THM . 
Phân tích 
a) Từ hai cặp góc bằng nhau thì ta xác định được hai cặp đỉnh tương ứng. Cặp đỉnh còn lại của hai tam 
giác sẽ là tương ứng với nhau. 
b) Từ hai cặp cạnh bằng nhau, ta xác định được đỉnh chung của hai cặp cạnh đó sẽ là cặp đỉnh tương 
ứng. 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho ABC và tam giác tạo bởi ba đỉnh H, I, K bằng nhau. Biết AC IK, BC HI . Cách viết 
nào sau đây là đúng? 
 A. ABC KHI . B. ABC IKH . 
 C. ABC HKI . D. ABC KIH . 
Câu 2: Hai tam giác trong hình vẽ có bằng nhau không? Nếu có hãy viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai 
tam giác đó. 
 Trang 3 
Câu 3: Hai tam giác ABC và tam giác tạo bởi ba đỉnh M, N, P là hai tam giác bằng nhau. Biết rằng mỗi 
tam giác không có hai cạnh nào bằng nhau, không có hai góc nào bằng nhau. Viết kí hiệu bằng nhau của 
hai tam giác trong các trường hợp sau: 
a) A P và CA PN . 
b) B M và C P . 
c) BC MN và CA NP . 
Dạng 2: Chứng minh các cạnh, các góc tương ứng bằng nhau 
 Phương pháp giải 
Sử dụng tính chất: Hai tam giác bằng nhau thì các Ví dụ: MNP ABC 
cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng MN AB,, NP BC MP AC
bằng nhau M  AN; BP ;  C
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ. Cho DEF OPQ 
a) Tìm cạnh tương ứng với cạnh OP và góc tương ứng với góc E. 
b) Tìm các cạnh bằng nhau, tìm các góc bằng nhau. 
Hướng dẫn giải 
a) Cạnh tương ứng với cạnh OP là cạnh DE và góc tương ứng với góc E là góc P. 
 DE OP,, DF OQ EF PQ
b) DEF OPQ 
 D OE; PF ;  Q
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho tam giác ABC bằng tam giác MNP . Khẳng định nào sau đây là sai? 
 A. AB MN . B. A P . C. MP AC . D. B N . 
Câu 2: Cho HIK HGF . Viết các cặp cạnh bằng nhau và các cặp góc bằng nhau. 
Câu 3: Cho ABC PQR . Biết A 50  và B C 50  . 
a) Chứng minh rằng tam giác PQR là tam giác vuông. 
b) Chỉ ra các cặp cạnh bằng nhau của hai tam giác. 
Dạng 3: Tính độ dài các đoạn thẳng, các số đo góc và chu vi tam giác 
 Phương pháp giải 
Các nội dung cần lưu ý: Ví dụ: Cho ABC MNP có 
+) Tính chất bằng nhau giữa các cạnh tương ứng, A 45 , BC : 2 : 3 . 
các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. 
 Tính các góc còn lại của hai tam giác 
 Trang 4 
+) Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 
180°. 
+) Tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số 
bằng nhau. 
 Hướng dẫn giải 
 Do ABC MNP nên 
Bước 1. Xác định cặp góc tương ứng bằng nhau MA   45 ; NBPC  ;   . 
giữa hai tam giác. 
 Xét ∆ABC có A B C 180  
Bước 2. Sử dụng tính chất về góc để tính số đo góc 
tương ứng. BC  180   A 180  45  135  . 
 B C
 Từ giả thiết, ta có . 
 2 3
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được 
 B C BC  135 
 27 
 2 3 2 3 5
 B 2.27   54 ; C 3.27   81 . 
 Do đó NB  54 ; PC  81 . 
 Ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau. Biết số đo các góc như hình vẽ sau 
Số đo góc MNP bằng 
 A. 60°. B. 45°. C. 30°. D. 75°. 
Hướng dẫn giải 
Xét ∆ABC có 
 ABC   180  B 180   AC  180  75   60 45  
Lại có ABC MNP  B N 45 . 
Chọn B 
 Trang 5 
Ví dụ 2. Cho ABC IHK, AB 5 cmHK , 9 cm và IK 12 cm . Tính chu vi tam giác ABC. 
Hướng dẫn giải 
Do ABC IHK nên ta có 
 BC HK9 cmCA , IK 12 cm 
Vậy chu vi của tam giác ABC là C ABC ABBCCA 5 9 12 26 cm 
Nhận xét: 
+ Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Do đó chu vi của các tam giác này 
cũng bằng nhau. 
+ Bằng việc vận dụng các đặc điểm bằng nhau tương ứng của hai tam giác, ta có thể chỉ ra được nhiều 
thông số (chu vi, diện tích, đường phân giác, trung tuyến, đường cao,...). 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng? 
 A. Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. 
 B. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. 
 C. Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau, các cạnh tương ứng bằng nhau là hai tam giác bằng 
nhau. 
 D. Hai tam giác có chu vi bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. 
Câu 2: Cho ABC IHK . Biết AB 6 cmHK , 5 cmCA , 8 cm . Chu vi của ∆ABC bằng 
 A. 15 cm. B. 17 cm. C. 19 cm. D. 20 cm. 
Câu 3: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 24cm, AB 8 cm và AC: BC 5 : 3. Biết ABC DEF . Độ 
dài cạnh EF bằng 
 A. EF 9 cm. B. EF 6 cm . C. EF 8 cm . D. EF 10 cm . 
Câu 4: Cho hai tam giác ABC và PQR bằng nhau. Biết AB 8 cmBC , 5 cmPR , 2. QR . Chu vi của 
tam giác ABC bằng 
 A. 18 cm. B. 23 cm. C. 20 cm. D. 21 cm. 
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Câu 5: Cho ABC DEG . Biết DE 15 cmE ,  70 và A C 40  . 
a) Tính số đo các góc của hai tam giác. 
b) Tính độ dài cạnh AB. 
 Trang 6 
 2
Câu 6: Cho ABC MNP và BAC GHK . Biết MN 7 cmGK , 9 cmAC , BC . Chỉ ra các 
 3
cạnh bằng nhau của ba tam giác trên. Tính chu vi của mỗi tam giác. 
Câu 7: Cho tam giác ∆ABC và tam giác tạo bởi ba đỉnh H, I, K là hai tam giác bằng nhau biết 
 AC HKBC, IH (trong mỗi tam giác không có bất kỳ hai cạnh nào bằng nhau, không có hai góc nào 
bằng nhau). 
a) Viết kí hiệu bằng nhau của hai tam giác. 
b) Biết rằng I : H : K 2 : 5 : 2 . Tính số đo các góc trong tam giác ABC. 
Câu 8: Cho tam giác ABC và tam giác tạo bởi ba đỉnh K , N, P là hai tam giác bằng nhau (trong mỗi tam 
giác không có hai cạnh nào bằng nhau, không có hai góc nào bằng nhau). Biết AB 6 cmBC , 8 cm , tam 
giác PNK có chu vi bằng 24cm đồng thời độ dài các cạnh PK; KN ; NP lần lượt tỉ lệ với 3 ; 5 ; 4. 
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác PNK. 
b) Viết kí hiệu bằng nhau của hai tam giác nêu trên. 
 Trang 7 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác 
Câu 1: Chọn A. 
Xét ∆ABC và ∆KHI có AC IK, BC HI nên C và I là hai đỉnh tương ứng. 
Suy ra A và K; B và H là hai cặp đỉnh tương ứng còn lại. 
Vậy ABC KHI 
Câu 2: 
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác, ta có: 
+) ∆ABC có C 180   AB  180  60   65 55 . 
+) ∆MNP có M 180  PN  180  60   55 65  . 
 AB MP; BC PN ; AC MN
Xét ∆ABC và ∆MNP có 
 AM  65 ; BP   60 ; CN  55 
Suy ra hai tam giác đã cho bằng nhau. 
Ta có đỉnh A, M tương ứng với nhau; đỉnh B, P tương ứng với nhau và đỉnh C, N tương ứng với nhau. 
Suy ra ABC MPN . 
Câu 3: 
a) Từ giả thiết, ta có 
+) A P nên A và P là hai đỉnh tương ứng với nhau. 
+) CA PN mà A tương ứng với đỉnh P nên hai đỉnh C và N tương ứng với nhau. 
Khi đó B và M là cặp đỉnh tương ứng còn lại. 
Do đó ABC PMN . 
b) Do B M nên B và M là hai đỉnh tương ứng. 
Lại có C P nên C và P là cặp đỉnh tương ứng. 
Suy ra A và N là cặp đỉnh tương ứng còn lại. 
Do đó ABC NMP . 
c) Theo giả thiết ta có BC MN, CA NP . 
 Trang 8 
Mà C là đỉnh chung của cặp cạnh BC, CA; N là đỉnh chung của cặp cạnh MN, NP. Do đó C và N là hai 
đỉnh tương ứng. 
Đồng thời ta có B và M tương ứng với nhau; A và P là cặp đỉnh tương ứng còn lại. 
Do đó ta có kí hiệu ABC PMN . 
Dạng 2 . Chứng minh các cạnh, các góc tương ứng bằng nhau 
Câu 1: Chọn B 
 ABC MNP nên AB MN (A đúng); AC MP (C đúng); A M (B sai) và B N (D đúng) 
Câu 2: 
 HI HG; HK HF ; IK GF
 HIK HGF 
 I GK; F ; IHK GHF 
Câu 3: 
a) Xét ∆ABC có A B C 180 . 
Mà A 50  nên B C 180  50  130 . 
 130 50 
Ta lại có: B C 50  nên B 90 . 
 2
Do ABC PQR nên Q B 90 . 
Vậy ∆PQR có Q 90  nên ∆PQR là tam giác vuông tại Q. 
b) Do ABC PQR nên ta có các cặp cạnh bằng nhau gồm AB PQ,, BC QRCA RP . 
Dạng 3. Tính độ dài các đoạn thẳng, các số đo góc và chu vi tam giác 
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 
 1-C 2-C 3-B 4-B 
Câu 1: Hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau, các cạnh tương ứng bằng nhau là hai tam giác bằng 
nhau. 
Câu 2: Vì ABC IHK nên BC HK 5 cm . 
Chu vi của ∆ABC là ABBCAC 6 5 8 19 cm . 
Câu 3: ∆ABC có chu vi bằng 24 cm nên ABBC AC 24 BC AC 24 AB 24 8 16 . 
 AC BC
Lại có AC: BC 5 : 3 . 
 5 3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có 
 AC BC AC BC 16
 2 
 5 3 8 8
 AC5.2 10; BC 3.2 6 
 Trang 9 
Mà ABC DEF nên EF BC 6 cm . 
Câu 4: 
 ABC PQR AC PRBC; QR . 
Mà PR 2. QR nên AC 2 BC 2.5 10 cm . 
Chu vi tam giác ABC là ABBCAC 8 5 10 23 cm 
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Câu 5: 
a) Do ABC DEG nên B E 70 . 
Mà ∆ABC có A B C 180 nên A C 180  70  110  . 
Do đó ta có A C 40  và A C 110  . 
 40 110 
Suy ra A     75 , CA  40 75 40 35 . 
 2
Vậy DA  75 , BE  70 , GC  35 . 
b) Vì ABC DEG nên ta có AB DE (hai cạnh tương ứng). Mà DE 15 cm nên AB 15 cm . 
Câu 6: 
Theo giả thiết, ta có: BAC GHK ABC HGK . 
Lại có ABC MNP . 
Suy ra ABC MNP HGK . 
Do đó ta có: AB MN HG7, cmBC NP GK 9; cmMP HK CA . 
 2 2
Mặt khác AC BC AC.9 6 cm MPHKCA 6 cm . 
 3 3
Vì các tam giác bằng nhau có cùng chu vi nên chu vi của các tam giác ABC; MNP ; HGK là 
 ABBCCA 7 9 6 22 cm . 
Câu 7: 
a) Theo giả thiết: AC HK, BC IH . 
Mà C là đỉnh chung của cặp cạnh AC, BC và H là đỉnh chung của cặp cạnh HK, IH. Do đó C và H là hai 
đỉnh tương ứng. 
Đồng thời A và K là tương ứng với nhau, B và I là hai đỉnh tương ứng còn lại. 
Vậy ABC KIH . 
b) Xét ∆IHK có I H K 180  (tổng số đo ba góc trong tam giác). 
 I H K
Từ giả thiết, ta có: . 
 2 5 2
 Trang 10