Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
 CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
 PHẦN ĐẠI SỐ
 Chuyền đề 1: Cỏc bài toỏn thực hiện phộp tớnh:
 1. Cỏc kiến thức vận dụng:
 - Tớnh chất của phộp cộng , phộp nhõn
 - Cỏc phộp toỏn về lũy thừa: 
 n m n m+n m n m –n
 a = a.a....a ; a .a = a ; a : a = a ( a 0, m n)
 n
 a an
 (am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; ( )n (b 0)
 b bn
 2 . Một số bài toỏn :
 Bài 1: a) Tớnh tổng : 1+ 2 + 3 + . + n , 1+ 3 + 5 + . + (2n -1)
 b) Tớnh tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..+ n.(n+1)
 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 Với n là số tự nhiờn khỏc khụng.
 HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
 1+ 3+ 5+ + (2n-1) = n2
 b) 1.2+2.3+3.4+ + n(n+1) 
 = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + ..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 + + n( n+1)(n+2)] : 3
 = n(n+ 1)(n+2) :3
 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + + n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quỏt: 
Bài 2: a) Tớnh tổng : S = 1+ a + a2 + ..+ an 
 c c c
 b) Tớnh tổng : A = ...... với a2 – a1 = a3 – a2 = = an – an-1 = k
 a1.a2 a2.a3 an 1.an
 HD: a) S = 1+ a + a2 + ..+ an aS = a + a2 + ..+ an + an+1 
 Ta cú : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1
 Nếu a = 1 S = n
 an 1 1
 Nếu a khỏc 1 , suy ra S = 
 a 1
 c c 1 1
 b) Áp dụng ( ) với b – a = k
 a.b k a b
 c 1 1 c 1 1 c 1 1
 Ta cú : A = ( ) ( ) ..... ( )
 k a1 a2 k a2 a3 k an 1 an
 c 1 1 1 1 1 1
 = ( ...... )
 k a1 a2 a2 a3 an 1 an
 c 1 1
 = ( )
 k a1 an
Bài 3 : a) Tớnh tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2
 b) Tớnh tổng : 13 + 23 + 33 + ..+ n3
 HD : a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
 b) 13 + 23 + 33 + ..+ n3 = ( n(n+1):2)2
 1 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
Bài 3: Thực hiện phép tính:
 1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
 a) A = ( ... )
 4.9 9.14 14.19 44.49 89
 212.35 46.92 510.73 255.492
 b) B 6 3
 22.3 84.35 125.7 59.143
HD : A = 9 ; B = 7 
 28 2
 1 1 1 2 2 2
Bài 4: 1, Tớnh: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004
 5 5 5 3 3 3
 2003 2004 2005 2002 2003 2004
 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
 Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
 3 3 
 0,375 0,3 
 1,5 1 0,75 1890
Bài 5: a) Tính A 11 12 : 115
 5 5 5 2005
 2,5 1,25 0,625 0,5 
 3 11 12 
 1 1 1 1 1 1
 b) Cho B ... 
 3 32 33 34 32004 32005
 1
 Chứng minh rằng B .
 2
 1 5 5 1 3
 13 2 10 . 230 46
Bài 6: a) Tớnh : 4 27 6 25 4
 3 10 1 2 
 1 : 12 14 
 10 3 3 7 
 1 1 1 1
 ... 
 b) Tính P 2 3 4 2012
 2011 2010 2009 1
 ... 
 1 2 3 2011
 HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = .
 2012 2010 1
 MS 1 1 .... 1 2011
 1 2 2011
 2012 2012 1 1 1 1
 2012 .... 2011 = 2012( ...... )
 2 2011 2 3 4 2012
 1 1 1 1 
 (1 2 3 ... 99 100) (63.1,2 21.3,6)
 2 3 7 9
 c) A 
 1 2 3 4 ... 99 100
Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức: 
 11 3 1 2 
 1 . 4 15 6 . 
 31 7 3 19 14 31
 A . 1 .
 5 1 1 93 50
 4 12 5 
 6 6 3 
 2 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
 1 1 1 1 1
 b) Chứng tỏ rằng: B 1 ... 
 22 32 32 20042 2004
Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức:
 2
 4 3
 81,624 : 4 4,505 125
 3 4
 A 
 2
 2 
 11 2 13
 : 0,88 3,53 (2,75)  :
 25 25
  
 b) Chứng minh rằng tổng:
 1 1 1 1 1 1 1
 S ... .... 0,2
 22 24 26 24n 2 24n 22002 22004
 Chuyờn đề 2: Bài toỏn về tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau:
 1. Kiến thức vận dụng :
 a c
 - a.d b.c 
 b d
 a c e a c e a b e
 -Nếu thỡ với gt cỏc tỉ số dều cú nghĩa
 b d f b d f b d f
 a c e
 - Cú = k Thỡ a = bk, c = d k, e = fk
 b d f
 2. Bài tập vận dụng
 Dạng 1 Vận dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức
 a c a2 c2 a
 Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
 c b b2 c2 b
 a c
 HD: Từ suy ra c2 a.b
 c b
 a2 c2 a2 a.b
 khi đú 
 b2 c2 b2 a.b
 a(a b) a
 = 
 b(a b) b
Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả món b2 = ac. Chứng minh rằng:
 a (a 2012b)2
 = 
 c (b 2012c)2
 HD: Ta cú (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac
 = a( a + 2.2012.b + 20122.c)
 (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
 = c( a + 2.2012.b + 20122.c)
 a (a 2012b)2
Suy ra : = 
 c (b 2012c)2
 a c 5a 3b 5c 3d
Bài 3: Chứng minh rằng nếu thì 
 b d 5a 3b 5c 3d
 a c
 HD : Đặt k a = kb, c = kd . 
 b d
 5a 3b b(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3
 Suy ra : và 
 5a 3b b(5k 3) 5k 3 5c 3d d(5k 3) 5k 3
 3 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
 5a 3b 5c 3d
 Vậy 
 5a 3b 5c 3d
 a2 b2 ab
Bài 4: Biết với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :
 c2 d 2 cd
 a c a d
 hoặc 
 b d b c
 a2 b2 ab 2ab a2 2ab b2 (a b)2 a b
 HD : Ta cú = ( )2 (1)
 c2 d 2 cd 2cd c2 2cd d 2 (c d)2 c d
 a2 b2 ab 2ab a2 2ab b2 (a b)2 a b
 = ( )2 (2)
 c2 d 2 cd 2cd c2 2cd d 2 (c d)2 c d
 a b a b
 a b 2 a b 2 c d c d
 Từ (1) và (2) suy ra : ( ) ( ) 
 c d c d a b b a
 c d d c
Xột 2 TH đi đến đpcm
 a c
Bài 5 : Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
 b d
 2
 ab a2 b2 a b a2 b2
 và 
 cd c2 d 2 c d c2 d 2
 a c
HD : Xuất phỏt từ biến đổi theo cỏc 
 b d
 ab a2 b2 a2 c2 a2 b2 a b
hướng làm xuất hiện ( )2
 cd c2 d 2 b2 d 2 c2 d 2 c d
Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
 a b c d
 a b b c c d d a
 Tính M 
 c d d a a b b c
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
HD : Từ 
 a b c d
 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
 Suy ra : 1 1 1 1
 a b c d
 a b c d a b c d a b c d a b c d
 a b c d
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) 
 a b b c c d d a
 M = -4
 c d d a a b b c
 a b b c c d d a
Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d M = 4
 c d d a a b b c
 Bài 7 : a) Chứng minh rằng: 
 x y z
 Nếu 
 a 2b c 2a b c 4a 4b c
 4 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
 a b c
 Thì 
 x 2y z 2x y z 4x 4y z
 a b c
 b) Cho: .
 b c d
 3
 a b c a
 Chứng minh: 
 b c d d
 x y z a 2b c 2a b c 4a 4b c
HD : a) Từ 
 a 2b c 2a b c 4a 4b c x y z
 a 2b c 2(2a b c) 4a 4b c a
 (1)
 x 2y z x 2y z
 2(a 2b c) (2a b c) 4a 4b c b
 (2)
 2x y z 2x y z
 4(a 2b c) 4(2a b c) 4a 4b c c
 (3)
 4x 4y z 4x 4y z
 a b c
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : 
 x 2y z 2x y z 4x 4y z
 x y z t
Bài 8: Cho 
 y z t z t x t x y x y z
chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.
 x y y z z t t x
 P 
 z t t x x y y z
 x y z t y z t z t x t x y x y z
HD Từ 
 y z t z t x t x y x y z x y z t
 y z t z t x t x y x y z
 1 1 1 1
 x y z t
 x y z t z t x y t x y z x y z t
 x y z t
 Nếu x + y + z + t = 0 thỡ P = - 4
 Nếu x + y + z + t 0 thỡ x = y = z = t P = 4
 y z x z x y x y z
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khỏc 0 thỏa món điều kiện : 
 x y z
 x y z 
 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức : B = 1 1 1 
 y z x 
Bài 10 : a) Cho cỏc số a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh
 T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
 Biết x,y,z,t thỏa món:
 x2010 y2010 z2010 t 2010 x2010 y2010 z2010 t 2010
 a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
 b) Tỡm số tự nhiờn M nhỏ nhất cú 4 chữ số thỏa món điều kiện:
 M = a + b = c +d = e + f
 a 14 c 11 e 13
 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ; ; 
 b 22 d 13 f 17
 a b c
 c) Cho 3 số a, b, c thỏa món : .
 2009 2010 2011
 5 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
 Tớnh giỏ trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 
 Một số bài tương tự 
 Bài 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d
 a b c d
 a b b c c d d a
 Tính M 
 c d d a a b b c
Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khỏc 0 thỏa món điều kiện : 
 y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt
 ( n là số tự nhiờn)
 x y z t
 và x + y + z + t = 2012 . Tớnh giỏ trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
 Dạng 2 : Vận dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để tỡm x,y,z, 
 1+3y 1+5y 1+7y
Bài 1: Tỡm cặp số (x;y) biết : 
 12 5x 4x
 HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
 2y 2y
=> với y = 0 thay vào khụng thỏa món
 x 5x 12
 Nếu y khỏc 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:
 1 3y 2y 1
 y =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 
 12 2 15
 1
Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài
 15
 a b c
Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
 b c a
 Tớnh b, c.
 a b c a b c
 HD : từ 1 a = b = c = 2012
 b c a a b c
Bài 4 : Tỡm cỏc số x,y,z biết :
 y x 1 x z 2 x y 3 1
 x y z x y z
HD: Áp dụng t/c dóy tỉ số bằng nhau:
 y x 1 x z 2 x y 3 2(x y z) 1
 2 (vỡ x+y+z 0)
 x y z (x y z) x y z
Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đú tỡm được x, y, z
 1 2y 1 4y 1 6y
Bài 5 : Tỡm x, biết rằng: 
 18 24 6x
 1 2y 1 4y 1 6y 2(1 2y) (1 4y) 1 2y 1 4y (1 6y)
 HD : Từ 
 18 24 6x 2.18 24 18 24 6x
 6 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
 1 1
 Suy ra : x 1
 6 6x
 x y z
Bài 6: Tìm x, y, z biết: x y z (x, y, z 0 )
 z y 1 x z 1 x y 2
 x y z x y z 1
 HD : Từ x y z 
 z y 1 x z 1 x y 2 2(x y z) 2
 1 1 1 1
 Từ x + y + z = x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức ban đầu 
 2 2 2 2
để tỡm x.
 3x 3y 3z
Bài 7 : Tìm x, y, z biết và 2x2 2y2 z 2 1
 8 64 216
 2x 1 4y 5 2x 4y 4
Bài 8 : Tỡm x , y biết : 
 5 9 7x
 Chuyờn đề 3: Vận dụng tớnh chất phộp toỏn để tỡm x, y 
 1. Kiến thức vận dụng :
 - Tớnh chất phộp toỏn cộng, nhõn số thực
 - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
 A, A 0
 - Tớnh chất về giỏ trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ; A 
 A, A 0
 - Bất đẳng thức về giỏ trị tuyệt đối : 
 A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
 A m A m
 A m (m 0) ; A m (hay m A m) với m > 0
 A m A m
 - Tớnh chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A
Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn)
 0< A < B An < Bn ; 
 2. Bài tập vận dụng
 Dạng 1: Cỏc bài toỏn cơ bản
 Bài 1: Tỡm x biết
 a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 x 1 x 2 x 3 x 4
 b) 
 2011 2010 2009 2008
 HD : a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 x( 1 + 2 + 3 + .+ 2011) = 2012.2013
 2011.2012 2.2013
 x. 2012.2013 x 
 2 2011
 7 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
 b) Nhận xột : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
 x 1 x 2 x 3 x 4
 Từ 
 2011 2010 2009 2008
 (x 2012) 2011 (x 2012) 2010 (x 2012) 2009 (x 2012) 2008
 2011 2010 2009 2008
 x 2012 x 2012 x 2012 x 2012
 2
 2011 2010 2009 2008
 1 1 1 1
 (x 2012)( ) 2
 2011 2010 2009 2008
 1 1 1 1
 x 2 : ( ) 2012
 2011 2010 2009 2008
 Bài 2 Tỡm x nguyờn biết
 1 1 1 1 49
 a) .... 
 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2x 1) 99
 1006
 b) 1- 3 + 32 – 33 + .+ (-3)x = 9 1
 4
 Dạng 2 : Tỡm x cú chứa giỏ trị tuyệt đối 
 • Dạng : x a x b và x a x b x c
 Khi giải cần tỡm giỏ trị của x để cỏc GTTĐ bằng khụng, rồi so sỏnh cỏc giỏ trị đú để 
chia ra cỏc khoảng giỏ trị của x ( so sỏnh –a và –b)
 Bài 1 : Tỡm x biết :
 a) x 2011 x 2012 b) x 2010 x 2011 2012
 HD : a) x 2011 x 2012 (1) do VT = x 2011 0,x 
 nờn VP = x – 2012 0 x 2012 (*)
 x 2011 x 2012 2011 2012(vụly)
 Từ (1) 
 x 2011 2012 x x (2011 2012) : 2
 Kết hợp (*) x = 4023:2
 b) x 2010 x 2011 2012 (1)
 Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)
 Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) 
 Nếu x 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy)
 Vậy giỏ trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
 Một số bài tương tự:
 Bài 2 : a) Tìm x biết x 1 x 3 4
 b) Tìm x biết: x2 6x 2 x2 4 
 c) Tìm x biết: 2x 3 2 4 x 5
 8 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
 Bài 3 : a)Tìm các giá trị của x để: x 3 x 1 3x
 b) Tỡm x biết: 2x 3 x 2 x
Bài 4 : tỡm x biết :
 a) x 1 4 b) x 2011 2012
 Dạng : Sử dụng BĐT giỏ trị tuyệt đối
 Bài 1 : a) Tỡm x ngyờn biết : x 1 x 3 x 5 x 7 8
 b) Tỡm x biết : x 2010 x 2012 x 2014 2
HD : a) ta cú x 1 x 3 x 5 x 7 x 1 7 x x 3 5 x 8 (1) 
 Mà x 1 x 3 x 5 x 7 8 suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=” 
 1 x 7
Hay 3 x 5 do x nguyờn nờn x {3;4;5}
 3 x 5
 b) ta cú x 2010 x 2012 x 2014 x 2010 2014 x x 2012 2 (*)
 Mà x 2010 x 2012 x 2014 2 nờn (*) xẩy ra dấu “=” 
 x 2012 0
Suy ra: x 2012
 2010 x 2014
 Cỏc bài tương tự
 Bài 2 : Tỡm x nguyờn biết : x 1 x 2 ..... x 100 2500
 Bài 3 : Tỡm x biết x 1 x 2 ..... x 100 605x
 Bài 4 : Tìm x, y thoả mãn: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3
 Bài 5 : Tỡm x, y biết : x 2006y x 2012 0
 HD : ta cú x 2006y 0 với mọi x,y và x 2012 0 với mọi x
 Suy ra : x 2006y x 2012 0 với mọi x,y mà x 2006y x 2012 0
 x y 0
 x 2006y x 2012 0 x 2012, y 2
 x 2012 0
Bài 6 : Tìm các số nguyên x thoả mãn.
 2004 x 4 x 10 x 101 x 990 x 1000
 Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tỡm số tự nhiờn x, biết :
 a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162
 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = 2
 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162 3x – 1 = 27 x = 4
Bài 2 : Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y , biết:
 a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y
 22x 3y
 HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x 2x 1 3y x 
 2x 1 3x
 Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1
 b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y x = 2y
Bài 3 : Tỡm m , n nguyờn dương thỏa món : 
 a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
 9 CÁC CHUYấN ĐỀ BDHSG TOÁN 7
 n
 m n 2 1 1
 (2 -1)(2 – 1) = 1 m n 1
 m
 2 1 1
 b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 
Dễ thấy m n, ta xột 2 trường hợp :
 + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9
 + Nếu m – n 2 thỡ 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đú VT chứa TSNT khỏc 2, mà VT 
chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này khụng xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
 x 1 x 11
Bài 4 : Tỡm x , biết : x 7 x 7 0
 HD :
 x 7 x 1 x 7 x 11 0
 x 1 10
 x 7 1 x 7 0
 x 7 x 1 1 x 7 10 0
 x 1
 x 7 0
 10
 1 (x 7) 0 
 x 7 0 x 7
 (x 7)10 1 x 8
 x 6
Bài 5 : Tỡm x, y biết : x 2011y (y 1)2012 0
 HD : ta cú x 2011y 0 với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y 
 Suy ra : x 2011y (y 1)2012 0 với mọi x,y . Mà x 2011y (y 1)2012 0
 x 2011y 0
 x 2011, y 1
 y 1 0
 Cỏc bài tập tương tự :
Bài 6 : Tỡm x, y biết : 
 a) x 5 (3y 4)2012 0 b) (2x 1)2 2y x 8 12 5.22
 Chuyờn đề 4: Giỏ trị nguyờn của biến , giỏ trị của biểu thức :
 1 . Cỏc kiến thức vận dụng:
 - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
 - Phõn tớch ra TSNT, tớnh chất của số nguyờn tố, hợp số , số chớnh phương
 - Tớnh chất chia hết của một tổng , một tớch 
 - ƯCLN, BCNN của cỏc số 
 2. Bài tập vận dụng :
 * Tỡm x,y dưới dạng tỡm nghiệm của đa thức 
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2004)2 23 y2
 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
 10