Bài tập môn Đại số nâng cao Lớp 7

ĐẠI SỐ
1. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có giá trị dương.
a) A = x2 + 4x 	; 	
b) B = (x - 3) (x + 7) ; 	
c) C = 
2. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có giá trị âm:
a) D = x2 - x ; 	b) E =	;	c) F = 
3. Chứng minh rằng không tồn tại hai số hữu tỉ x và y trái dấu, không đối nhau thoả mãn đẳng thức: 
	 = + 
4. Tìm hai số hữu tỉ x và y (y ≠ 0) biết rằng:
	x - y = xy = x : y
5. Cho 100 số hữu tỉ trong đó tích của bất kỳ ba số nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 100 số đó là một số dương.
b) Tất cả 100 số đó đều là số âm.
Lũy thừa
1. Tìm x, y biết rằng:	
	x + = - x = y2
2. Tìm x biết:
a) 	5x . (53)2 = 625 	b) = - 	c) = 
3. Tìm x biết:
a) (5x + 1)2 = 	b) = 
c) (8x - 1)2n+1 = 52n+ 1 	(n Î N)
4. Tìm x, y biết:
a) x2 + = 0 	 b) + ≤ 0
5. Tìm x Î Z biết:	(x - 7)x+1 - (x - 7)x + 11 = 0
6. 	a) Tìm GTNN của biểu thức A = - 1
	b) Tìm GTLN của biểu thức B = + 3
7. Cho x + y = 2. Chứng minh rằng xy ≤ 1
Tỉ lệ thức
1. Cho = (a ≠ 5; b ≠ 6)....u như nhau).
3. Vận tốc riêng của một ca nô là 21km/h, vận tốc dòng sông là 3km/h. Hỏi với thời gian để ca nô chạy ngược dòng được 30km thì ca nô chạy xuôi dòng được bao nhiêu kilômét ?
4. Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h. Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng khoảng cách từ xe máy đến M.
5 Tìm 3 phân số tối giản biết tổng của chúng là 3, tử của chúng tỉ lệ với 2, 3, 5 còn mẫu tỉ lệ với 5, 4, 6.
Đại lượng tỉ lệ nghịch
1. Hai cạnh của một tam giác dài 25cm và 36cm. Tổng độ dài hai đường cao tương ứng là 48,8cm. Tính độ dài của mỗi đường cao nói trên.
2. Một xe ô tô chạy từ A đến B gồm 3 chặng đường dài bằng nhau nhưng chất lượng mặt đường tốt xấu khác nhau. Vận tốc trên mỗi chặng lần lượt là 72km/h; 60km/h; 40km/h. Biết tổng thời gian xe chạy từ A đến B là 4 giờ. Tính quãng đường AB.
3. Một ô tô dự định chạy từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 64km/h thì đến nơi sớm được 1 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 63km/h thì đến nơi sớm được 2 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi.
HÌNH HỌC
Hai đường thẳng vuông góc
1. Cho góc bẹt AOB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ta vẽ ba tia OM, ON và OC sao cho = < 90o và tia OC là tia phân giác của góc MON. Chứng tỏ rằng OC ^ AB.
2. Cho hai tia Ox, Oy vuông góc với nhau. Trong góc xOy ta vẽ hai tia OA, OB sao cho = = 30o. Vẽ tia OC sao cho tia Oy là tia phân giác của góc AOC. Chứng tỏ rằng:
a. Tia OA là tia phân giác của góc BOx
b. OB ^ OC
3. Cho góc MON có số đo 120o. Vẽ các tia OA, OB ở trong góc đó sao cho OA ^ OM; OB ^ ON.
a. Chứng tỏ rằng = 
b. Vẽ tia Ox và tia Oy thứ tự là các tia phân giác của các góc AON và BOM. Chứng tỏ rằng Ox ^ Oy
c. Kể tên những cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc.
Đường thẳng song song
B
y
b
B
E
D
F
C
A
50o
140o
40o
2
4
3
1
1
1
O
x
a
A
1. Xem hình rồi cho biết các góc có cạnh t...rên cạnh AB vẽ DE // BC (E Î AC). Hãy xác định vị trí của D để cho tia ED là tia phân giác của góc AEB.
Trường hợp c-c-c
1. Cho hai đường tròn tâm I và K cùng có bán kính 1,5cm, chúng cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của đường tròn tâm I sao cho AC = AB. Chứng minh rằng = = 
2. Cho DABC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ DACD sao cho AD = BC; CD = AB. Chứng minh rằng AB // CD và AH ^ AD
Trường hợp c-g-c
1. Cho tam giác đều ABC, phân giác BD và CE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng:
a) BD ^ AC và CE ^ AB
b) OA = OB = OC
c) = = từ đó suy ra số đo của mỗi góc ấy.
2. Cho O là trung điểm của AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC, vẽ các tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Lấy điểm M trên tia Ax, điểm N trên tia By sao cho AM = BN. Chứng minh rằng O là trung điểm của MN.
3. Cho DABC vuông tại A có = 45o. Vẽ phân giác AD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF=AB.
Chứng minh rằng BE = BF và BE ^ BF
1. Cho DABC. Các điểm D và M di động trên cạnh AB sao cho AD = BM. Qua D và M vẽ các đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC lần lượt tại E và N. Chứng minh rằng tổng DE + MN không đổi.
2. Cho DABC, A = 120o, phân giác BD và CE cắt nhau tại O. Trên cạnh BC lấy hai điểm I và K sao cho = = 30o. Chứng minh rằng:
a) OI ^ OK 	b) BE + CD < BC
3. Cho DABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác vuông cân ở A là ABE và ACF. Vẽ AH ^ BC. Đường thẳng AH cắt EF tại O. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Tổng hợp
1. Cho DABC, nhọn. Vẽ các đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I, trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho BI = AC và CK = AB. Chứng minh rằng DAIK vuông cân.
2. Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy. Lấy điểm E trên tia đối của tia Ox, điểm F trên tia Oy sao cho OE = OB; OF = OA
a) Chứng minh rằng AB = EF và AB ^ EF
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh rằng DOMN vuông cân.
3. Cho DABC. Qua A vẽ đường thẳn